SAASF - L'analyse

Les "fonctions simples"

Le calcul différentiel représente l'analyse de fonctions simples. Pour analyser une fonction simple, nous devons avant la définir précisément. Une fonction simple est une fonction (que nous avons déjà défini sur la page dédiée à l'algèbre) prenant comme entrée et comme sortie 1 unique nombre (aussi défini sur la page dédiée à l'algèbre), au maximum complexe. Comme elles n'ont qu'une sortie par entrée, l'étude en devient plus facile.

La dérivation

La dérivation est souvent considérée comme une des opérations primaires de l'analyse. En fait, nous pouvons l'appliquer à plusieurs objets différents (nombres, fonctions...), avec plusieurs interprétations différentes (mais de sens assez proche). Par exemple, la dérivée d'une fonction à un point d'abscisse x est la variation locale de la valeur de cette fonction à ce point là. En d'autre terme, il s'agit du taux d'accroissement de cette fonction à ce même point. Dans ce cas, on parle de nombre dérivé. De manière vulgarisée, si l'on prend ce point et un autre point infiniment proche de celui si, la variation entre ces deux points représente la dérivée de la fonction à ce même point. Par exemple, pour une fonction de vitesse d'un objet dans le temps, sa dérivée à un instant t représente la variation de la vitesse à ce même instant, aussi nommée accélération de l'objet à ce même point. En effet, ce concept est très utilisé en physique, pour pleins de branches diverses. Pour calculer de manière brute la dérivée d'une fonction f pour une certaine valeur f(x), il faut obtenir la différence entre cette valeur f(x) et une valeur f(w) avec w très proche de x (tellement que sa différence avec x, notée h, peut être considérée comme nulle) avec h = w - x, et remise à l'échelle (selon h). Donc, le calcul brut de la dérivée d'une fonction est :
${\displaystyle d=\frac{f(w)-<!--\; -\; -->f(x)}{w-<!--\; -\; -->x}=\frac{f(x+h)-<!--\; -\; -->f(x)}{h}\text{ avec h tendant vers 0.}}$
Si ce calcul marche pour une (ou un quelconque ensemble) valeur de x, la fonction est dite dérivable sur cette valeur (ou ce quelconque ensemble).

Cependant, ne nous limitons pas qu'aux antécédents de fonctions. Vous pouvez aussi dérivée l'entièreté de la fonction d'un coup, pour obtenir une fonction prédisant chaque nombres dérivés de la fonction pour une même image. Le calcul de l'image dérivée est le même que celui présenté en haut, en gardant comme "x" l'inconnu x et en remplaçant "d" par la fonction dérivée (notée plus loin). Un nombre dérivé de la fonction f pour x = a se note :
${\displaystyle f^{}\text{'}\left(x\right)\text{ ou }\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dx}}\left(x\right)}$
Une fonction dérivée de la fonction f se note :
${\displaystyle f^{\prime }\text{ ou }\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dx}}}$
Cependant, imagineons une fonction f(x, y), comment dériver une fonction avec plusieurs variable ? La façon la plus simple est de dériver la fonction avec une variable en considérant toutes les autres constantes. Pour la fonction f(x, y), dériver la fonction via une seule variable, comme x, demande de considérer y constante : cette opération s'appelle la dérivée partielle de f par rapport à la variable x. Appart cela, son calcul est exactement similaire à celui de la dérivée, en considérant "x" comme seulement la variable à dériver et en ne touchant pas aux autres. La dérivée partielle de f d'image f(x, y) par rapport à x pour y = a se note :
${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,a)}$
La dérivée partielle de f(x, y) par rapport à x se note :
${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; ?\; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; ?\; -->}x}}$
Le symbôle ∂ est nommé "d rond". La somme de toutes les dérivées partielles de toutes les variables d'une fonction pour un certain point est nommée la différentielle totale de la fonction en ce point.. Dans le cas où la fonction n'a qu'une variable, la dérivée partielle de cette variable est égale à la dérivée de la fonction (aussi égale à sa différencielle).

Bien que le calcul d'une fonction dérivée peut sembler compliquée, il existe des raccourcis possibles, pour déduire la fonction dérivée facilement. En effet, en découpant votre fonction, vous pouvez savoir comment dériver chaque parties de la fonction. Voici une compilation de quelques formes de f(x) et la valeur de f'(x) :

C'est formules sont toutes déduites via la formule vue plus haut. Si la fonction est composée d'opérations entre différentes formes mentionnées dans le tableau, vous pouvez aussi appliquer certaines formules pour obtenir leur dérivée. Voici quelques exemples de formules applicables, avec deux formes déduites de f(x) nommées u(x) et v(x) :

L'intégration

Après la dérivation, l'intégration est la deuxième opération de base de l'analyse. Pour comprendre ce que c'est, imaginez une fonction quelconque, tracée dans un repère orthonormé (x, y). Ici, l'intégrale représente l'aire de la forme formée par la courbe de la fonction et l'axe des abscisse. C'est, en quelque sorte, la somme de toutes les surfaces formées par les valeurs de la fonction. Elle est aussi très utilisée dans la physique, pour ces propriétés d'étude de surfaces.

Les limites de fonction

Parfois, certaines images ne sont pas compatibles avec une fonction, pour diverses raisons (divisions par 0, infini...). Bien que nous ne pouvons pas les atteindre, nous pouvons nous en rapprocher. Une limite de fonction en une valeur non-définie z est une valeur théorique que prendrait la fonction si on lui passait z comme antécédent. En général, ce concept est beaucoup utilisé pour des valeurs de z touchant l'infini (+ ou - infini). D'ailleurs, elle n'est pas utile si la valeur de z est définie, puisque l'on connait parfaitement f(z).

La géométrie différentielle

En géométrie, la façon la plus simple de réaliser de l'analyse est via la géométrie différentielle. En fait, la géométrie différentielle est l'application du calcul différentiel à des concept géométriques. Un façon intéressant d'appréhender cette forme de géométrie est via le concept de gradient. Dans le cas d'une fonction f à n paramètres avec n > 1 (qui peut d'ailleurs s'interpréter comme un vecteur à n coordonnées), le gradient permet de représenter les dérivées de la fonction, pour chaque valeurs possibles de chaque paramètres f. C'est, en quelques sorte, la dérivée d'une fonction prenant un vecteur géométrique en paramètre.