La géométrie

Les bases de la géométrie euclidienne

Pour pouvoir faire de la géométrie complexe, il faut, au moins, comprendre comment l'humain a vu la géométrie pendant presque 2000 ans. En effet, la géométrie euclidienne est l'étude mathématique des plans / espaces, et des figures qui leur appartiennent. En général, on parle de figures en 2 dimensions (par exemple, sur papier) ou en 3 dimensions (comme la vraie vie). Cette géométrie est la plus utilisée, et de loin, puisque, à notre échelle, elle est omniprésente.

Comme décrit plus haut, elle a été introduite par Euclide dans son livre, Les éléments. Dans ce livre, Euclide introduit 5 axiomes extrêmement importants :

• Deux points peuvent être relié pour former une droite.
• Un quelconque segment peut être prolongé en droite infinie (en puissance).
• Un segment quelconque peut être le rayon d'un clercle, en définissant le centre de ce cercle comme une extrémité du segment.
• Tous les angles droits sont congruents (ou, en termes vulgarisés, égaux entre eux).
• Si deux droites sont sécantes (touchent en 1 point) une autre droite, avec les angles formés au point de contact inversement égaux, alors les deux droites sont parallèles.

Pour utiliser de la géométrie, il faut absolument comprendre le concept d'espace. En mathématique, un espace est un objet pouvant contenir d'autres objets géométriques. Comme n'importe quelle ensemble, un espace peut être découpé en sous-espace. En soit, il n'y a pas vraiment de limites à ce que l'on peut mettre dans un espace, tant que l'on peut le positionner dedans. Les définitions précises de l'espace dépend de la façon dont on veut l'étudier : il peut être topologique, métrique, de Minkowsi... Le type d'espace le plus utilisé en géométrie est l'espace vectoriel, un espace où toutes les opérations vectorielles de bases sont utilisables.. Chaque espace peut contenir un certain nombre de dimensions. Un espace peut être infini ou fini (et délimité par un autre espace, généralement de dimension inférieure, plus communément appelé une frontière ou un bord). En géométrie, un espace tout seul ne permet pas d'étudier grand chose. Pour l'étudier plus précisément, on peut y introduire une base. Une base contenue dans un champ vectorielle est un moyen de représenter concrètement tous les vecteurs dans ce champ vectoriel grâce à des vecteurs de bases (appelés canoniques), en sachant qu'il y a autant de vecteurs de bases que de dimensions dans l'espace. Grâce à ce système, on peut utiliser le concept de coordonnée. En fait, les coordonnées d'un vecteur représentent chaque multiples des vecteurs de bases nécessaires pour obtenir la position du vecteur dans la base. Si chaque vecteurs de bases d'une base sont orthogonaux (perpendiculaires) et de la même norme, la base est dite orthonormée.

Les vecteurs

Grâce à des coordonnées, vous pouvez définir des vecteurs. D'un point de vue géométrie euclidienne, un vecteur est un ensemble fini de coordonnées. Il s'écrivent avec une petite flèche au dessus de leur nom. En réalité, il s'agit d'un objet fourre-tout : beaucoup de choses peuvent être représentés avec des vecteurs. Par exemple, un vecteur peut directement désigner une position par rapport à un repère, un mouvement (ou, de manière plus mathématique, une translation), une remise à l'échelle... Cependant, ces objets étant plus complexes, il est nécessaire de leur définir certaines règles bien connues. Ils ont aussi des implications en physiques, pour divers objets. En prenant deux vecteurs en référentiel et en les traçant, ils peuvent ne pas avoir la même direction : ils forment un angle entre eux. Cet angle se note :

Cette définition est important pour permettre d'utiliser des référentiel communs à plusieurs vecteurs. La longueur d'un vecteur (la distance entre la position du vecteur et la position de l'origine, généralement (0, ..., 0)) est nommée sa norme. Si le vecteur a une norme de 1, il est dit unitaire (généralement utilisé pour définir des bases). La norme d'un vecteur s'exprime :

Ils ont l'avantage d'être définie grâce à toute une algèbre : l'algèbre linéaire. Cette algèbre (et donc, les vecteurs qui la composent) respectent les applications linéaires : l'addition vectorielle (addition des coordonnées de vecteurs) et la multiplication par un nombre (multiplication des coordonnées du vecteur). Il existe aussi des opérations vecteur à vecteurs, comme le produit scalaire ou le produit vectoriel. Vous pouvez même effectuer des applications linéaires sur tout le plan (et donc également sur tout ce qui le compose). Si vous faites cette application sur un plan, et que vous étudiez le plan transformé via le plan de départ, vous faites ce que l'on appelle un endomorphisme linéaire. Ici, le produit scalaire de deux vecteurs permet d'obtenir un produit des vecteurs, en prenant en compte leurs normes, mais aussi l'angle les séparant. Le produit vectoriel, qui ne marche que en dimension 3, permet d'obtenir un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs, et de taille égale à leur produit scalaire