L'algèbre

L'arithmétique

Pour être très précis, l'arithmétique est la branche des mathématiques consacrée à l'étude des nombres bruts. Elle offre une découpe précise des nombres, permettant de les catégoriser et de les utiliser de la manière la plus logique possible. Le premier stade des nombres représente l'ensemble des nombres entiers naturels, représentant des quantités réelles et entières (comme 1, 2, 8...). En rajoutant un signe (+ ou -) devant les nombres entiers naturels permettant d'inverser leurs propriétés, on obtient l'ensemble des nombres entiers relatifs. La division d'un nombre entier relatif avec un autre correspond à un nombre rationnel (exprimé sous la forme de fractions). Finalement, tous les autres nombres simples font partie des nombres réels. Dans ce cas, les catégories de nombres sont en réalité des ensembles de nombres, piqués de la théorie des ensembles. Leurs propriétés précises (et extrêmement nombreuses) seront étudiées plus loin.

Pour pouvoir être utilisé, les nombres ont besoins d'être... utilisable. Pour cela, on doit pouvoir y effectuer des opérations basiques, tel que l'addition ou la multiplication. Bien évidemment, toutes les célèbres opérations numériques peuvent être appliquées à chaque ensembles vus plus haut. Cependant, les règles d'utilisation de ces opérations peuvent changer légèrement selon l'ensemble. Comme vue dans la page sur la logique mathématique,ces opérations ont besoin d'axiomes pour exister. Bien qu'une grande quantité de systèmes d'axiomes existent, tous avec leurs avantages / défauts, mais les axiomes principalement utilisées sont les axiomes de Peano. En théorie, il ne s'agit que d'axiomes traitant des nombres entiers naturels. En pratique, avec un peu de débrouille, on peut redéfinir toute l'arithmétique en ne partant que d'eux.

Le principe de l'algèbre

Pourquoi avoir défini l'arithmétique avant l'algèbre ? En fait, l'arithmétique permet de définir une catégorie d'algèbre utilisant des chiffres. Pour être précis, l'algèbre est une branche mathématique permettant de définir des règles (opérations, équations, interprétations...) à une certaine catégorie d'objets. Grâce à l'arithmétique, on peut définir une algèbre donnant des règles à des nombres, nommée algèbre classique. Cependant, l'algèbre toute seul ne sert pas à grand chose. Pour la rendre utile, il faut la combiner à d'autres branches mathématiques, comme l'arithmétique, la géométrie, la topologie... Cependant, à elle toute seule, elle contient quand même quelques propriétés très utiles, comme le concept d'équations. La forme la plus complète (et moderne) d'algèbre est nommée algèbre générale.

Pour définir ces règles sur l'objet que l'on veut étudier, nous pouvons nous aider d'un concept assez pratique : les structures algébriques. Une structure algébrique est un moyen de définir ces règles (avec, bien évidemment, des axiomes), permettant une certaine cohérence entre chaque structures. Selon l'objet étudier, une structure peut être munie de certains règles / opérations bien connues et définies, comme l'addition, la multiplication... Les opérations sont aussi nommées "lois de compositions internes" dans ce contexte là. De même, une loi de composition interne peut aussi obéir à certaines propriétés (plus technique), comme l'associativité, la commutativité... Ici, une loi est associative si x # (y # z) = (x # y) # z, avec # l'opérateur permettant l'application de cette règle. Une loi est commutative si x # y = y # z, avec # l'opérateur permettant l'application de cette règle. Par exemple, dans l'algèbre classique, l'addition obéit à ces deux principes, mais pas la division (vous pouvez le tester en essayant un calcul vite fait). Selon le nombre de lois et leurs propriétés, la structure peut appartenir à une certaine famille de structures algébriques. Bien qu'il en existe une très (trop) grande quantité, nous pouvons citer les plus importantes :

• Un magma est une structure avec au moins une loi de composition interne quelconque.
• Un groupe est un magma, où la loi est associative, symétrique est admet un élément neutre.
• Un anneau est une structure avec au moins deux lois de compositions internes, obéissant à plusieurs propriétés spécifiques (associativité, distributivité...).
• Un corps commutatif est un anneau, où toutes les règles / opérations communes des nombres sont appliquées (division, symétrie, inverses...).

Au final, on a beaucoup de mots "compliqués" pour un concept, en réalité, assez simple. Une structure s'écrit (E, #, $), où E est l'ensemble des objets qu'étudie la structure, # la première loi de composition interne, et % la deuxième loi de composition interne (si elle existe). Par exemple, nous pouvons définir un corps permettant de travailler sur les nombres réels, comme ça : (R, +, X).

Les fonctions

Quand on pense aux fonctions, il nous vient souvent en tête la définition très scolaire de ses dernières. Cependant, nous pouvons aller plus loin que ça, car, malgré leur caractère insignifiant, elle représentent un des piliers de l'algèbre. En effet, les fonctions représentent un moyen de lier un objet mathématique (appelé ici antécédent) avec une transformation de ce dernier, et d'étudier l'objet transformé (appelée image). De plus, elles ne se limitent pas à de simples nombres, mais peuvent prendre et transformer tout et n'importe quoi, tant que la transformation est logique. Tous les objets transformables de la fonction sont définis dans un ensemble, nommé ensemble de définition. En soit, le concept de fonction n'est qu'une façon d'étudier une transformation mathématique quelconque. Cependant, beaucoup de travaux ont été fait autour, pour généraliser le plus possible leur fonctionnement, selon de multiples paramètres (ensembles de définition, paramètres, composition...).

Bien évidemment, la manière la plus utilisée d'utiliser une fonction est via des ensembles de définitions composés de nombres (réels, complexes, naturels...). Ce type de fonction est la base de toutes les analyses de fonctions, d'une façon ou d'une autre, via la branche mathématique dédiée à l'analyse. Pleins d'opérations sont possibles avec ses fonctions de nombres : dérivations, limites, intégration... En théorie, n'importe quel forme numérique peut être utilisée dans une fonction (tant que seuls les résultats existant soient dans l'ensenble de définition), et analysée de la sorte. Si ce concept est si important, c'est car son pouvoir généralisant entre différentes formes permettent de les étudier plus précisément, sans trop de prise de tête.

Pleins d'antécédents différents peuvent être utilisés dans une fonction. En général, il y a un ou deux antécédents, qui sont des nombres d'un quelconque ensemble numérique. Cependant, il est aussi commun de passer des objets plus complexes, comme des vecteurs, des matrices, des champs.... L'image de l'objet passer peut être de n'importe quel forme aussi, indépendamment des antécédents. Par exemple, une fonction "distance" devrait prendre deux points (donc, deux coordonnées), et retourner leur distance (donc, un nombre réel). Selon les formes passées / transformées et la nature de la transformation, la fonction peut obéir à différentes propriétés, la rendant plus simple à analyser.

La théorie des nombres

Nous avons défini les ensembles les plus utilisés un peu plus haut, mais ils ne sont pas les seuls ensembles de nombres existants. Le contre exemple le plus connu est l'ensemble des nombres complexes Z. Il faut savoir que la puissance d'un nombre réel est toujours positive. Or, il est possible de définir un nombre dont le carré vaut -1, qui n'est donc pas un nombre réel. Ce nombre est donc appelé un nombre imaginaire, noté "i". La somme d'un nombre réel et d'un multiple de ce fameux "i" est nommé un nombre comple. L'algèbre des nombres complexes représente un corps commutatif (la seule différence est que la multiplication de "i" par "i" donne "i" au carré, soit -1). Un nombre complexe z s'écrit comme ça :

${\displaystyle z=a+bi}$

Avec "a" nommé "la partie réelle" de z (aussi noté "Re(z)") et "b" nommé "la partie imaginaire" de z (aussi noté "Im(z)"). De plus, un nombre z_ ayant même partie réelle qu'on nombre z et la partie imaginaire opposé de z est nommé le conjugué de z.

Il est possible d'utiliser les nombres complexes en géométrie 2D. En effet, il est possible de faire correspondre un nombre comple z a un vecteur V(a, b) : on dit que z est l'affixe de V. La norme de V est nommée le module de z. L'angle formé entre V et le vecteur u(1, 0) est nommé l'argument de z. Il est donc possible de définir un nombre complexe avec des coordonnées cartésiennes et polaires. Les propriétés multiplicatives des nombres complexes (avec "i" carré égal à -1) lui permet de rendre les opérations vectorielles associées bien plus intéressantes (avec, par exemple, des rotations). De plus, la forme polaire de ces nombres permet une écriture dite trigonométrique, qui est elle même une écriture exponentielle.

${\displaystyle z=m\ast <!--\; *\; -->(\cos (c)+i\sin (c))=m\ast <!--\; *\; -->e^{ic}}$

Avec m le module, c l'argument.