La logique mathématique

En termes généraux, la logique représente un ensemble de règles permettant de justifier correctement un propos. Par exemple, l'affirmation "je suis une licorne" demande une justification logique pour être acceptée (justification impossible à produire ici, car les licornes n'existent pas). Cependant, l'affirmation "je suis un homme", qui demande une justification logique pour être acceptée, peut être justifiée par l'apport d'une photo de ma carte d'identité (et une explication de pourquoi elle prouve que je suis un homme pour plus de rigueur). Elle rend aussi possible la jonction de plusieurs affirmations pour en former une nouvelle, comme les deux affirmations "la carte d'identité permet de prouver mon genre" et "ma carte d'identité indique que je suis un homme", qui permettent de prouver "je suis un homme". Cette definition là est applicable pour tout ce qui se passe dans nos vies.

La logique en mathématique

En mathématique, le sens est très similaire, mais plus précis pour mieux coller à la discipline. En mathématiques, la logique représente un ensemble de règles permettant de justifier correctement un propos dans le langage des mathématiques. Elle fait intervenir la possibilité d'utilisation des outils mathématiques, comme les nombres ou les inconnus (et tout ce qui en découle : théorèmes, calculs...).

Comme pour la logique simple, la logique en mathématique permet de former une affirmation à partir d'autres affirmations plus primaires. En mathématique, les affirmations les plus primaires de chaque branches sont nommées des axiomes. Les axiomes sont des propositions théoriquement indémontrées (mais qui, en pratique, sont tout à fait """"logiques""""", en accord avec les autres sciences et ne nécessitent pas de démonstration) qui servent de bases à toutes les mathématiques. En général, chaque branche utilise plusieurs axiomes différents, comme la géométrie qui peut utiliser les 26 axiomes de Hilbert. Grâce à ces axiomes, on peut réaliser des propositions un peu plus complexes, nommées des démonstrations. Les démonstrations peuvent utiliser plusieurs axiomes, ou d'autres démonstrations (pouvant utiliser eux même des axiomes ou d'autres démonstrations...). Ce phénomène de lien axiomes-théorèmes est nommée la déduction logique. D'ailleurs, une affirmation démontrée comme vraie est nommée un théorème. Une immense quantité de théorèmes existent, comme le théorème de Pythagore (assez simple à démontrer).