La mécanique

Qu'est ce qu'est la cinématique

La définition brute

La cinématique représente l'étude des mouvements possibles d'un système. Ce domaine représente l'extension de la géométrie, en y ajoutant une valeur temporelle, permettant l'étude d'un mouvement. Cependant, il représente le socle de la mécanique, parce qu'à l'inverse de cette dernière, on n'étudie ni les causes, ni les conséquences de ces mouvements. Pour étudier quoique ce soit en cinématique, il nous faut définir un espace géométrique, et un repère géométrique dans cette espace, mais aussi un repère temporel, comme une horloge. Comme en géométrie, nous allons étudier des points et des figures.

Les référentiels en cinématique

En cinématique, chaque objet a son propre repère. Pour étudier un objet, nous avons besoin d'un repère d'un autre objet, appeler le référentiel d'étude. Ce référentiel est généralement utilisé géométriquement, mais il peut aussi l'être temporellement, bien que ce soit plus rare.

Pour réaliser l'étude, le référentiel est considéré comme géométriquement "fixe" par rapport aux autres : tous les objets (et donc référentiels) sont en mouvement, sauf lui. Dans ce cas, il est préférable de prendre pour l'étude un référentiel simple à utiliser. Par exemple, sur Terre, le référentiel de la Terre (le sol), nommé référentiel terrestre, peut très facilement être considéré comme "fixe" par rapport à tout ce qui existe à notre échelle, puisque tout ce qui existe à notre échelle voient la Terre comme parfaitement inaltérable, et donc stable. De plus, dans un ensemble de référentiel possible, le référentiel le plus "fixe" est dit "absolu". À notre échelle, le référentiel terrestre en est le meilleur exemple. Pour le système solaire, le meilleur référentiel est le soleil.

Les liens géométrie - temps

Le concept de mouvement

En cinématique, un mouvement représente une application géométrique (translation, rotation...) dans le temps d'un objet. Pour l'étudier, nous avons obligatoirement besoin d'un référentiel extérieur. Pour un mouvement, la ligne tracée par l'objet en mouvement est nommée la trajectoire. Si cette ligne est une droite, la trajectoire est dite "rectiligne".

Le mouvement total d'un point représente la somme des mouvements subis par ce point. De plus, il existe des mouvements "primaires" pour un point. En 3D, ces mouvements primaires représentent des mouvements dont la trajectoire est modélisable sur un plan, nommés mouvement plan. Avec un peu de recherche, tous les mouvements cinématiques peuvent se décomposer comme ça. Pour rappel, en cinématique, on n'étudie que le mouvement, et pas ces causes / conséquences : les mouvements ne changent pas dans le temps. Ce n'est pas le cas en mécanique (c'est ce qui différencie les deux). Grâce à ces mouvement primaires, on peut décomposer tous mouvements 3D en une suite d'objets géométriques 2D, permettant de les étudier très facilement.

Les vitesses et les accélérations

Une trajectoire n'est pas suffisante pour décrire un mouvement. En effet, en plus de la trajectoire, un mouvement nécessite une accélération pour être distinguer. En cinématique, une accélération représente la modification à un instant T de la vitesse d'un mouvement. De plus la vitesse représente la modification à un instant T de l'état de l'objet soumit au mouvement. Mathématiquement, l'accélération est la dérivée de la vitesse, et la vitesse est la dérivée de l'état de l'objet.

Qu'est ce qu'est la dynamique ?

Un domaine de la mécanique

Nous avons déjà défini la cinématique un peu plus tôt. Or, en cinématique, on étudie le mouvement sans implications extérieures. La dynamique représente l'étude des mouvements (via la cinématique), et de leurs causes et conséquences. Elle fait donc intervenir des concepts très connus : force, couple, action... En réalité, elle comprend aussi les cas de corps soumis à aucune modification, nommée la statique. En effet, si un objet ne subit aucune modification extérieure, il est dit statique / en équilibre. Il est à noter que ces deux concepts (mécanique et dynamique) sont souvent tellement mélés qu'ils en deviennent difficile à distinguer entre eux (ce qui n'est pas vraiment un problème, puisque cette distinction n'est pas vraiment utile).

Le principe fondamental de la dynamique

Avant d'énumérer ce principe, rappelons en un autre : le principe d'inertie. En dynamique, le principe le plus utilisé représentent la deuxième lois de Newton : l'accélération d'un objet est proportionnel à la force qui la génère. En effet, l'accélération représente la force qui la génère divisée par la masse de l'objet. On peut donc en obtenir un autre principe très important : le principe d'inertie (ou première loi de Newton). Selon le principe d'inertie, si la somme des forces exercées sur l'objet est nulle, alors il n'accélère pas (la réciproque est vraie). Donc, sa vitesse et sa trajectoire ne change pas.

Dans le cas d'une rotation, le calcul est plus compliqué. Pour bien comprendre la suite, nous allons exprimer le nombre de tour de l'objet en rotation en tours par seconde (sans unités), et utiliser le terme de vitesse angulaire pour parler de l'angle du cercle parcouru par seconde (en degrés par secondes). En effet, en toute logique, pour un disque tournant, plus on s'éloigne du centre de rotation, plus la taille d'un cercle (de centre le centre de rotation) est grande. Or, le nombre de tour par seconde (et donc, la vitesse angulaire) sera le même pour les deux cercles, et le plus grand sera entièrement parcouru en un temps similaire aux plus petits. Dans ce cas, nous allons parler de vitesse, qui sera toujours plus importante pour un cercle éloigné que pour un cercle proche du centre. Donc, plus on s'éloigne, plus la vitesse de rotation est grande, et donc plus il faut une accélération importante pour atteindre une vitesse similaire que pour un cercle plus proche (et plus petit).

Le théorème de l'équilibre

Si il existe un principe fondamental de dynamique, il en existe aussi un en statique : le théorème de l'équilibre. Ce théorème est très simple : un objet est à l'équilibre (par rapport à un référentiel quelconque) si la somme de toutes les forces appliquées sur lui est nulle. En gros, selon le principe d'inertie, dans un objet à l'équilibre, la vitesse et la trajectoire ne change pas.

Les tenseurs

Pour se représenter tout ça mathématiquement, il existe un outil très pratique : le tenseur. En mathématique, un torseur représente un champ de vecteurs 3D. L'objet principal pour décrire un torseur est nommée la résultante. Il peut s'agit d'un pseudovecteur, comme d'un vecteur simple. Une seule règle est nécessaire : les pseudovecteurs engendrant les vecteurs (ou vice versa) tournent autour d'un axe précis. Une relation existe entre la résultante de cette axe et les vecteurs du tenseur : la relation (mécanique) de Varignon. En dynamique, il est possible d'utiliser cet objet, pour savoir comment un objet réagit à une force.

Les différentes formes de dynamique

Qu'est ce qu'est un choc ?

La notion de collision

Par soucis de simplicité, nous allons commencer par définir une collision. En mécanique, une collision représente un contact entre deux (ou plus, bien que ce soit rare) objets. Ce genre de contact génère une force sur les deux objets (selon le principe mécanique d'inertie), proportionnel à la vitesse relative des deux objets.

Il existe plusieurs types de collisions différentes. Le type de collision le plus simple est la collision élastique Une collision élastique est une collision où l'entiereté de la force provoquée par la collision est utilisée pour modifier la trajectoire et la vitesse des deux objets. Le principe de conservation de l'énergie est parfaitement respecté et retrouvable ici. La somme de l'énergie des deux objets est donc constante. Mathématiquement, si l'objet est parfaitement circulaire ou sphérique, un calcul vectoriel (dans un plan 2D) suffit à trouver la force réelle exercée. Il faut juste penser à utiliser le bon référentiel à chaque fois. Cependant, si l'objet est plus complexe, il faut aussi prendre en compte son moment précis et sa forme, rendant les calculs plus complexes.

Les chocs mécaniques

Parler de choc est plus facile après avoir assimilé la notion de collision. En effet, un choc mécanique représente un moment où un objet quelconque perd (ou gagne) une certaine vitesse, presque instantanément. Donc, une collision représente un choc exercé sur les deux objets : la force générée sur les deux objets leur fait changer de vitesse extrêmement vite.

Mathématiquement, il est (bien évidemment) possible de représenter la vitesse d'un objet sous la forme d'une fonction (plus ou moins précise), prenant comme paramètre le moment précis de la vitesse étudiée. Dans ce cas, un choc rend cette fonction presque discontinue au moment du choc. En effet, le changement est tellement rapide que l'on peut presque le considérer comme mathématiquement discontinue. Donc, une étude de la fonction vitesse comportant ce moment doit se faire avec une fonction de Heaviside (ou, du moins, son approximation). Grâce à ça, on peut en déduire mathématiquement que le choc provoque une forte accélération, et le calculer facilement.

Étudier un fluide

Qu'est ce qu'est un fluide ?

À échelle microscopique, la matière peut être décrite comme un ensemble de particules (atomes ou molécules). Un fluide est un ensemble de ces particules parfaitement déformable. Les particules peuvent donc prendre plusieurs positions les unes des autres. En d'autres termes, un fluide n'a pas de forme propre : il va tout faire pour prendre la forme du milieu dans lequel il est contenu. À l'inverse, un milieu déformable, mais gardant une forme est dit "solide déformable", étudié par la mécanique des solides déformables. Dans tous les cas, les milieux formés par ces objets (et leurs atomes / molécules) sont appelés milieux continus. La caractérisation précise du milieu dépend d'énormément de paramètres, en général venant de la molécule ou de l'atome formant le milieu.

Parmi les fluides, il existe deux catégories précises de fluides. Un fluide est dit newtonien si les efforts internes aux fluides (forçant son écoulement) sont proportionnels aux déformations du fluide. Ici, le taux de proportionnalité entre ces deux valeurs représente la viscosité du fluide. En gros, un fluide est newtonien si les efforts appliqués sur le fluide sont similaires aux déformations de ce fluide : sa viscosité est donc constante. Dans certains cas, il n'y a pas proportionnalité entre ces deux valeurs, le fluide est dit non newtonien. Par exemple, si vous appliquez une grande force sur ce fluide et qu'il ne se déforme pas, la proportionnalité est extrêmement élevé. En revanche, si une force plus petite le déforme, alors sa proportionnalité baisse : sa viscosité n'est donc pas constante.

Dans un fluide, la propriété permettant au fluide de résister (plus ou moins) aux forces extérieures est nommée la viscosité du fluide. Elle se mesure en pascal par secondes. Cette propriété en provoque une autre : la contrainte de cisaillement. La contrainte de cisaillement dans un fluide représente la différence de mouvement entre deux parties du fluide. En effet, si un fluide s'écoule sur un solide, la zone (où, du moins, les particules) en contact avec le solide seront moins rapides que celles qui ne sont pas en contact. Cependant, les propriétés du fluide provoquent un ralentissement des particules les plus rapides, attirées par les plus lentes : c'est la contrainte de cisaillement dans le fluide. Cette propriété se mesure en pascals, et donc en newtons par mètres carrés. D'un point de vue plus claire, la contrainte de cisaillement est la différence de force entre la partie accélérant le plus vite par écoulement naturel et la partie accélérant le moins vite par écoulement naturel. Avec cette propriété, on peut en définir une autre, le taux de cisaillement, représentant la façon dont contrainte de cisaillement réagit à une déformation du milieu.

Une forme complexe de mécanique

La mécanique d'un fluide newtonien

Pour étudier un fluide newtonien, il existe une famille d'équation très utile : les équations de Navier-Stokes.