Le chapitre 1

La mécanique classique

La mécanique newtonienne

La mécanique pré-Newton

La mécanique est une branche de la physique vieille comme le monde. Précisément, la mécanique est la branche de la physique qui étudie les mouvements / transformations des objets physiques dans le temps. Par exemple, le mouvement effectué par un ballon de football peut s'étudier avec de la mécanique. Historiquement, le scientifique considéré comme le fondateur de la mécanique classique est Newton. Cependant, ce n'est pas le premier, et là discipline est apparue bien avant.

Dans l'histoire, ce concept apparaît très tôt, avec les grecs et les égyptiens, vers -300 avant notre ère. Cette discipline a été créée pour (principalement) deux raisons : étudier les astres et étudier les machines. Foncièrement parlant, cette mécanique est l'ancêtre de notre mécanique actuelle, en bien moins remplie et rigoureuse.

Le début de la formalisation moderne est apparue avec un mec intelligent.

Les bases de la mécanique newtonienne

Pour comprendre la mécanique newtonienne, nous avons besoin de quelques concepts bien précis.

Un des concepts les plus importants (apporté par Galilée) est le concept de référentiel. Un référentiel (aussi nommé un repère) est un objet du système à partir duquel on observe le système entier. En fait, le référentiel que vous choisissez dépend intuitivement de "où" et "comment" vous observez le système. C'est avec ce concept qu'on peut définir un autre : la position. La position d'un objet représente l'information permettant de repérer / d'atteindre l'objet en partant d'un référentiel. Pour représenter cette position sous forme de nombres, nous avons besoin d'une donnée étalon (fournie par le référentiel), représentant une unité de position. Ici, la mesure de la position d'un objet donne la quantité minimale de "donnée étalon" nécessaire (en ne changeant ni la taille, ni la direction de cette donnée) pour atteindre cet objet. De plus, les nombres nécessaires pour représenter une position sous forme de nombres se nomment les coordonnées de l'objet dans le référentiel (qui changent donc selon le référentiel). Généralement, si l'on ne change pas la direction de cette donnée étalon, il faut plusieurs donnée différentes (avec des directions différentes) pour correctement mesurer cette position. Le nombre de donnée nécessaire pour faire cette mesure représente la dimension de l'espace dans lequel on évolue. Voici un exemple, où les deux mesures étalons sont (dans l'ordre) la ligne rouge puis la ligne bleue, et donc où la position de la particule sont (avec les nombres dans le même ordre que les mesures respectives) -4 et 2. En général, les coordonnées se notent entre parenthèses, comme (-4, 2).

Un exemple simple est l'exemple du jeu d'échec. Plaçons nos pièces de telle manière que nous mettons un pion "A" dans le coin inférieur gauche, un pion "B" à sa droite, et un pion "C" dans le coin supérieur droit. Du point de vue du pion "A", le pion "B" se situe à une case à la droite. Cependant, du point de vue du pion "C", le pion "B" se situe à 6 cases à gauches et 7 cases en bas. La position du pion "B" diffère selon le point de vue qu'on choisi : elle diffère donc selon le référentiel choisi.

Mathématiquement parlant, un référentiel représente un système de coordonnées possible dans le système, à partir du quel on peut observer le système entier.

Le mouvement en mécanique newtonienne

De manière un peu plus avancée, on peut étudier l'évolution de la position d'un objet, grâce au concept de mouvement. Le mouvement représente l'ensemble des informations correspondant à l'évolution de la position d'un objet.

L'objet le plus simple dans l'étude d'un mouvement est le concept de déplacement. Si un objet était a une position, et se retrouve à une nouvelle position, le vecteur représentant la différence entre la nouvelle position et l'ancienne position se nomme le vecteur déplacement. Comme ce concept représente l'évolution d'une information, on peut le noter avec le caractère delta. Si l'on note la première position "p indice 1" et la deuxième position "p indice 2", le déplacement se note :

Δ p = p_{2} - p_{1}

Ces deux "p indice n" sont donc séparés par une durée précise. Hors, nous pouvons imaginer une expérience qui fait se rendre compte du problème avec ce concept. Imaginez une voiture voyageant en France, où nous allons mesurer sa position (disons que nous prenons un référentiel fixe : 2000 kilomètres au dessus du centre géographique de la France métropolitaine). Avant le voyage, mesurons la position de notre voiture : la voiture se situe à une position qui correspond à Marseille. Après 10 heures, re-mesurons la position de notre voiture : la voiture se situe à une position qui correspond à Lyon. Donc, le déplacement de la voiture sur ces 10 heures et donc le vecteur allant de Marseille vers Lyon. On pourrait donc tracer un vecteur déplacement comme ceci (traçons le sur un schéma ultra simplifié) :

Selon Google Maps, le trajet entre Marseille et Lyon peut se faire en 3h30 : notre mesure est donc parfaitement réaliste. Or, nous avons attendu 10h, rien nous prouve que notre voiture n'a pas été autre part pendant tout ce temps. Selon Google Maps, le trajet Marseille - Montpellier - Clermont-Ferrand - Lyon dure 8 heures : il peut aussi avoir eu lieu pendant ces 10 heures. Or, nous pouvons ici obtenir 3 vecteurs déplacements, qui représente des durées de moins de 10h (et qui arrivent les uns après les autres d'un point de vue temporel) : Marseille - Montpellier, Montpellier - Clermont-Ferrand puis Clermont-Ferrand - Lyon.

En fait, notre vecteur déplacement ici n'est qu'une moyenne du déplacement "réel" entre les deux endroits où l'on effectue les mesures. D'ailleurs, il est évident que nous pouvons encore rendre chacun de ces vecteurs de plus en plus précis. Par exemple, entre Marseille et Montpellier, il y a beaucoup de villes : Salon-de-Provence, Saint-Gilles, Gallargues-le-Montueux... Et mêmes, entre ces villes, on peut noter chaque village, chaque quartier, chaque rue... Dans tous les cas, la durée associée à chaque vecteur et de plus en plus petit. Ici, l'idée est assez simple : plus les durées sont petites, plus on est précis et proche de la réalité.

Il y a autre chose que l'on peut mesure ici : la longueur d'un déplacement. En effet, quand on effectue et mesure un déplacement, il est évident qu'il existe une distance entre les deux points du déplacement, distance qui représente un nombre réel positif ou nul. Ici, nous pouvons utiliser une formule pour calculer la longueur d'un déplacement avec son vecteur : la formule de la norme euclidienne de ce vecteur (qui est donc mathématiquement la distance la plus proche entre le point au départ du déplacement et le point à la fin du déplacement). Si nous notons la distance "d", et que nous utilisons un vecteur 3D (noté "(x, y, z)"), "d" se calcule ainsi :

d = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

Si nous notons la distance "d", et que nous utilisons un vecteur 2D (noté "(x, y)"), "d" se calcule ainsi :

d = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Quand vous êtes en une dimension (avec un vecteur 1D noté "(x)"), "d" est tout simplement égal à "x".

d = x

Si votre vecteur s'appelle "v", il est aussi possible de noter sa norme en notons "||v||".

d = || \vec{v} || Grâce à ça, nous pouvons introduire un nouveau concept : la vitesse. De manière très générale,

La vitesse représente l'évolution dans le temps d'une information sur un objet. L'idée est donc de prendre une information évoluant dans le temps,et de représenter cette évolution. Dans notre contexte actuel,La vitesse représente l'évolution dans le temps de la position d'un objet. En fait,pour un déplacement précis,on peut obtenir une moyenne de comment la position de l'objet à varier pendant ce déplacement. Pour être précis,on sait que le déplacement a eu lieu de telle manière que, entre le moment du début du déplacement et de la fin du déplacement, l'objet à bouger d'une distance de "d" unités. Donc,l'objet à bouger de telle manière qu'il à bouger de "d" unités en "t indice 2" - "t indice 1" secondes. Cela veut donc dire que,un 1 unité de temps,l'objet à bouger d'une quantité d'unités telle que si on la multipliez par "t indice 2" - "t indice 1",on obtiendrait "d". Donc,en une unité de temps, l'objet à bouger de en moyenne "d" unités divisés par "t indice 2 - t indice 2" unités de temps. Généralement,on note cette moyenne "v".

v = \frac{d}{t_{2} - t_{1}}

Ici,on peut dire que l'objet à bouger de "d" unités,mais on peut aussi préciser comment à bouger l'objet dans chacune des coordonnées qui ont variés pendant le déplacement. Dans ce cas,"v" devient un vecteur,où chaque composante représente la différence entre chaque composantes des vecteurs de départ (vecteur d'arrivé moins vecteur de départ),divisé par cette même valeur de temps. En 3D,on note :

\vec{v} = (\frac{x}{t_{2} - t_{1}}, \frac{y}{t_{2} - t_{1}}, \frac{z}{t_{2} - t_{1}})

En 2D, on note :

\vec{v} = (\frac{x}{t_{2} - t_{1}}, \frac{y}{t_{2} - t_{1}})

Dans tous les cas, on peut par le calcul retrouver les valeurs calculées avec "v" tout seul plus haut :

\vec{v} = (\frac{x}{t_{2} - t_{1}}, \frac{y}{t_{2} - t_{1}}, \frac{z}{t_{2} - t_{1}})

|| \vec{v} || = \sqrt{{(\frac{x}{t_{2} - t_{1}})}^{2} + {(\frac{y}{t_{2} - t_{1}})}^{2} + {(\frac{z}{t_{2} - t_{1}})}^{2}}

|| \vec{v} || = \sqrt{\frac{x^{2}}{{(t_{2} - t_{1})}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(t_{2} - t_{1})}^{2}} + \frac{z^{2}}{{(t_{2} - t_{1})}^{2}}}

|| \vec{v} || = \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{{(t_{2} - t_{1})}^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{d}{t_{2} - t_{1}}

Comme cette grandeur mesure la variation de la position (grandeur qui dépend du référentiel d'étude),la vitesse dépend aussi du référentiel d'étude. Par exemple,considérons 3 objets "a","b" et "c" en 2D tel que,depuis un référentiel extérieur,la vitesse de "a" est "(0,0)",celle de "b" est "(4,0)" et celle de "c" est "(5,0)". Après une unité de temps,"a" n'aura pas bougé,"b" aura bougé de "(4,0)",et "c" aura bougé de "(5,0)". Depuis "a","b" aura bougé de "(4,0)" et "c" aura bougé de "(5,0)". Cependant,depuis "b","a" aura bougé de "(-4,0)",et "c" aura bougé de "(1,0)". Finalement,depuis "c","a" aura bougé de "(-5,0)" et "b" aura bougé de "(-1,0)".

Cependant, cet exemple est un peu simple, prenons un exemple plus technique. Imagineons que (depuis un référentiel extérieur) "a" ai toujours une vitesse de "(0, 0)", que "b" ai une vitesse de "(5, 0)" et "c" ai une vitesse de "(0, 5)". Ici, depuis "a", la vitesse de "b" est "(5, 0)" et la vitesse de "c" est "(0, 5)". Or, si nous étudions la vitesse de "c" dans le référentiel de "b", tout devient plus difficile. En effet, on peut confirmer (soit calculatoirement, soit par un dessin) que la vitesse de "c" dans le référentiel de "c" est de "(-5, 5)". De même, la vitesse de "b" dans le référentiel de "c" est "(5, -5)".

Reprenons les mathématiques. Comme tout ce qui existe, on peut représenter la position de la voiture (ou de n'importe quel objet) comme une fonction, allant de l'ensemble des nombres réels positifs vers un ensemble de coordonnées. Ici, l'ensemble de départ représente l'ensemble des unités de temps (comme des secondes) possibles après le départ de la voiture, et l'image de l'une de ces valeurs représente une position (et donc, les coordonnées) de la voiture. De plus, pour notre exemple, nous pouvons représenter les positions des villes avec seulement deux axes : ouest - est et nord - sud. Donc, nous avons une fonction (que nous allons noter "p") allant de "R+" vers "R²".

p : R_{+} ⟶ R^{2}

Dans beaucoup de contexte,cette fonction est continue, et même dérivable. Ici,nous allons considérer que c'est le cas. Un déplacement de la voiture entre deux moments "t indice 1" et "t indice 2" (que l'on peut noter "delta p") se calcul donc très simplement : "p(t indice 2) - p(t indice 1)".

Δ p = p(t_{2}) - p(t_{1})

Pour obtenir une vitesse moyenne entre deux moments sur chaque coordonnées, on peut donc utiliser la formule vue plus haut avec notre fonction.

v = \frac{f (t_{2}) - f (t_{1})}{t_{2} - t_{1}}

Si on note "h" la différence de temps entre "t indice 2" et "t indice 1" (et donc, "h" étant "t indice 2" moins "t indice 1"), on peut modifier la formule de manière plus reconnaissable :

{\vec{v}}_{m} = \frac{f (t_{1} + h) - f (t_{1})}{h}

Comme nous l'avons vue,plus "h" est petit,plus nous avons un résultat précis. Ici,en utilisant le formalisme des limites mathématiques, on peut donc dire que la vitesse instantanée au moment "t indice 1" est la valeur que nous avons donné à "v indice m" quand "h" tend vers "0". Nous allons noter cette valeur "v".

{\vec{v}}_{t_{1} =\lim_{h⟶0}\frac{f (t_{1} + h) - f (t_{1})}{h}}

Or,mathématiquement parlant,cette valeur représente le nombre dérivée de "f" en "t indice 1". On peut donc obtenir la fonction dérivée de "p",qui pour toute valeur de temps,représente donc la vitesse instantanée de l'objet à ce moment précis. En physique,pour utiliser des dérivées,on utilise généralement la notation de Leibniz.

\vec{v} = \frac{dp}{dt}

Nous pouvons aussi faire le chemin inverse. En effet,si l'on a la fonction représentant la vitesse d'un objet dans le temps dans un référentiel donné,nous pouvons calculer la trajectoire (toujours dans ce référentiel) parcourue par l'objet dans le temps avec une intégrale.

\int v(t)dt

Ici,nous savons que la résolution de cette intégrale va nous donner la somme d'une fonction et d'un réel quelconque. En fait,la fonction associe à chaque valeur "t" la position de l'objet à cet instant "t" à partir de la position de départ. Pour obtenir la position précise dans le référentiel,il faut sommer à cette fonction la position de départ de l'objet.

Avec la vitesse,nous pouvons définir un nouveau concept similaire : l'accélération. L'accélération représentent l'évolution d'une vitesse dans le temps. Dans le contexte actuel,si vous avez une vitesse,vous pouvez étudier la façon dont elle évolue dans le temps grâce au concept d'accélération. En fait,l'accélération est à la vitesse ce que la vitesse est à la position (étude de l'évolution dans le temps). Encore une fois,une accélération est un vecteur de même nature que la vitesse (vecteur 2D,3D ou autre).

\vec{a} = (x, y, z)

Ici,la mesure de cette information se fait de manière parfaitement similaire : on prend deux instants différents, on obtient la vitesse, et on calcule la différence moyenne de la vitesse entre les deux points.

Δ \vec{v} = {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1}

{\vec{a}}_{m} = \frac{Δ \vec{v}}{t_{2} - t_{1}}

Il est très important de bien distinguer les deux notions : la vitesse mesure la modification de la position, et l'accélération mesure la modification de la vitesse. D'ailleurs, une particule peut avoir une certaine vitesse et une accélération totalement opposée à un instant "t", sans que cela pose problème. Cependant, si nous évoluons dans le temps, la vitesse sera impactée par l'accélération.

Comme pour la vitesse,l'accélération dépend aussi du référentiel d'étude. Prenons le même exemple qu'avec la vitesse,avec nos objets "a","b" et "c". Imagineons que (depuis un référentiel extérieur) "a" ai une accélération de "(0,0)",que "b" ai une accélération de "(5,0)" et "c" ai une accélération de "(0,5)". Ici,depuis "a",l'accélération de "b" est "(5,0)" et l'acceleration de "c" est "(0,5)". Depuis "b",l'accélération de "a" est "(-5,0)" et l'accélération de "c" est aussi "(-5,5)". Finalement,depuis "c",l'accélération de "a" est "(0,-5)"et l'accélération de "b" est "(5,-5)".

Mathématiquement parlant,nous pouvons raisonner comme pour la vitesse pour quantifier l'accélération. En effet,la fonction modélisant l'accélération est la dérivée de la fonction représentant la vitesse. D'ailleurs,on peut aussi se rendre compte que la fonction représentant l'accélération représente donc la dérivée seconde de la fonction représentant la position.

\vec{a} = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2} p}{{dt}^{2}}

Encore une fois,nous pouvons aussi faire le chemin inverse. En effet,si l'on a la fonction représentant l'accélération d'un objet dans le temps dans un référentiel donné,nous pouvons calculer la vitesse (toujours dans ce référentiel) atteinte par l'objet dans le temps avec une intégrale.

\int a(t)dt

Encore une fois,la fonction obtenue via l'intégrale (en considérant la constante étant nulle) associe à chaque valeur "t" la vitesse de l'objet à cet instant "t" à partir de la vitesse de départ. Pour obtenir la vitesse précise dans le référentiel,il faut sommer à cette fonction la vitesse de départ de l'objet.

La dynamique et la cinématique

Pour l'instant, tout ce que nous avons fait implique du pratique pure : devenons un peu plus théorique.

Nous avons étudier la conséquence,étudions maintenant la cause. Pour cela,parlons d'une discipline précise : la dynamique. La dynamique est l'étude de ce qui engendre le mouvement. Ici,on n'étudie pas ce le mouvement en tant que tel,mais l'on étudie ce qui le fait arriver.

Pour cela,nous allons introduire un concept fondamental en physique : la force. Une force est un objet permettant d'étudier une modification de la vitesse d'un objet dans un contexte réaliste. En fait,une force permet d'augmenter ou de diminuer la vitesse d'un objet dans le temps. Une force est donc un vecteur,de même nature que le vecteur vitesse de l'objet.

\vec{F}

Cette définition peut sembler très similaire à la définition de l'accélération. En effet,si une force est appliquée sur on objet, l'objet va acquérir une accélération, avec une valeur proportionnelle à la force. Il y a cependant une distinction à faire : une force constante ne fait pas évoluer l'accélération d'un objet dans le temps,mais l'accélération va elle aussi rester constante. Nous pouvons donc dresser une sorte d'égalité entre la force et l'accélération : la question ici est comment dresse rigoureusement cette égalité. Pour cela,il existe un principe fondamental en physique : la seconde loi de Newton. La seconde loi de Newton est une loi de mécanique / dynamique qui dit que si l'on applique une force sur un objet (supposé isolé de tout autre interaction), l'accélération de cet objet va être égale au vecteur de la force divisé par la masse de l'objet. En d'autre terme,la force appliquée sur un objet provoque une accélération qui est égale à exactement la valeur de la force divisée par la masse. Algébriquement,cela équivaut à dire que la force est égale à la masse multipliée par l'accélération.

\vec{F} = m \vec{a} \Leftrightarrow \vec{a} = \frac{1}{m} \vec{F}

Comme son nom l'indique,on doit celle loi à Newton. Cependant,nous avons le cas où nous n'avons qu'une seule force,mais nous pouvons généraliser dans le cas où nous avons plusieurs forces. En fait,si nous avons un objet tel que plusieurs forces sont appliquées sur lui, l'accélération est égale à la somme des forces divisées par la masse.

\vec{a} = \frac{\sum {\vec{F}}_{i}}{m}

Ici,nous pouvons citer plein d'exemples de forces. Un premier exemple de force peut être la force appliqué sur un ballon de football quand on tape dessus (lui créant une accélération,et donc un mouvement au ballon). Ici,nous avons à faire à une force provoquée par un contact direct (nommée force de contact). Cependant,on peut citer un deuxième exemple : la force faisant descendre le ballon,si nous envoyons le ballon en l'air. Ici,cette force est la même force qui fait tomber les objets (la célèbre gravité), qui n'est pas provoquée par un contact direct, mais qui agit à distance de l'objet. Généralement,les forces engendrées par des phénomènes naturels observables de ce genre sont nommés des forces réelles. Cette appelation implique qu'il existe des forces qui ne sont pas vraiment "réelles",que nous verrons un peu plus tard.

Pour étudier une force,nous devons prendre en compte un autre paramètre : le point d'application de la force. Le point d'application d'une force subit par un objet est le point de l'objet où la force agit sur l'objet. Par exemple,si vous poussez un objet,le point d'application sera à l'endroit où vous êtes en contact avec l'objet (et où vous lui transmettez la force). Bon,il y a cependant une chose à dire : si vous poussez un objet,la zone de contact exacte n'est pas un simple point,mais toute une surface 2D. En fait,le point choisi ici est le centre de la surface par rapport à l'intensité de la force transmise par chaque partie de cette surface. Bien que l'on peut (plus ou moins) perdre en précision,cette façon de faire facilite grandement l'étude de l'action de la force sur l'objet.

Ici,on peut se demander si il est possible de généraliser ce concept dans le cas d'une force à distance. Dans le cas d'une force à distance,nous avons le même problème que dans le cas d'une force de contact : la force ne s'applique pas sur un point,mais sur chaque point de l'objet,il va donc falloir approximer. En fait,le point que nous allons choisir est le point de l'objet où la grandeur qui provoque la force (masse dans le cas de la gravité, charge électrique dans le cas d'une force électrique) se situe en moyenne dans tout l'objet.

Ce concept va nous permettre d'observer quelque chose de (plus ou moins) étrange. Si un objet subit une force réelle, on aura donc toujours une accélération. Cependant, il y a une distinction importante à faire. En effet, imagineons une expérience extrêmement simple : un stylo fermé que l'on pose sur une table. Considérons que nous poussons ce stylo au niveau de son bouchon, avec une force perpendiculaire à la longueur du stylo.

Si vous le voulez,vous pouvons faire cette expérience chez vous. On peut remarquer plusieurs choses. La moins intéressantes (dans notre contexte actuel) est que le stylo est très vite freiné par le frottement sur la table (c'est pour cela qu'il vaut mieux faire ça sur une table très lisse). Cependant,parlons de la plus intéressante. Si vous poussez le stylo de cette manière,le stylo va accéléré vers l'avant, mais va aussi gagner une légère rotation. En effet,il y a certains cas où une partie de l'accélération provoquée sur l'objet est utilisée pour augmenter la vitesse de rotation de l'objet. Cependant,si vous reprenez votre stylo et que vous le poussez au niveau de (plus ou moins) son milieu,la modification de la vitesse de rotation va être beaucoup plus faible,mais la modification de la vitesse de la position est beaucoup plus forte.

Pour expliquer rigoureusement ce qu'il se passe,nous allons devoir définir un concept : le centre d'inertie. Le centre d'inertie (aussi nommé centre de masse) d'un objet est un point dans cet objet qui représente le point central de l'objet en ne considérant que la masse de l'objet. En d'autres termes,il s'agit de l'endroit dans l'objet qui représente la position moyenne de la masse dans l'objet. On peut aussi dire que ce point est là où toute la masse de l'objet se projette le mieux. Nous pouvons donc déduire quelque chose de très importante : l'étude d'un objet quelconque se fait généralement presque exclusivement via son centre d'inertie. Quand on dit que l'objet a une vitesse / une accélération,nous parlons du centre d'inertie. Il est cependant possible d'étudier un autre point qui a un mouvement parfaitement similaire au centre d'inertie,mais cela présente un risque,pour des raisons que nous verrons dans quelques phrases.

En fait,quand nous observons une rotation du stylo après l'avoir poussé, nous observons une rotation autour du centre d'inertie du stylo. On peut d'ailleurs observer que plus on est loin de ce point,plus la force est mise dans la rotation,et moins la force est mise dans l'accélération de l'objet (via le centre d'inertie). Nous avons d'ailleurs un léger paradoxe : si on force loin du centre d'inertie,les points à l'endroit où on touche vont accélérer de manière cohérente avec le principe fondamental de la dynamique vue plus haut,mais pas le centre d'inertie.

Parlons maintenant d'un autre principe de la mécanique : le principe d'inertie. L'inertie est un principe de mécanique qui stipule que si la somme des forces qui agissent sur un objet est nulle, alors l'objet ne va pas accélérer (et vice-versa). En d'autres termes,si ce principe est vérifiée,seules les forces peuvent créer un changement de vitesse,et (réciproquement) un changement de vitesse est forcément engendré par une force. D'ailleurs,ce principe nous dit aussi que si plusieurs forces agissent sur un objet mais s'annulent entre elles,l'objet ne bouge pas. Mathématiquement,on note :

\vec{a} = 0 \Leftrightarrow \sum \vec{F} = 0

En réalité,ce principe n'est pas toujours respectée dans tous les référentiels d'études possibles. En fait,pour savoir si ce principe est respécté, nous avons juste à avoir quelques informations sur le référentiel d'étude utilisé. Ce concept va nous permettre dans introduire un autre très pratique : les référentiels galiléens. Un référentiel est dit galiléen (ou inertiel) si le principe d'inertie y est toujours respecté. En d'autres termes,un référentiel n'est pas inertiel si des accélérations arrivent sans qu'une force réelle puisse expliquer leur existence.

Prenons un exemple concret. Imaginez un système avec quatres boules, tel que trois de ces boules soit liées à des ficelles, que nous allons tirer indéfiniment (pour provoquer une fource sur ces boules). Prenons première le référentiel de la première boule (qui est la boule non-reliée à une ficelle). Ici, considérons que la deuxième boule se situe au départ en "(1, 0)", la troisième boule se situe en "(0, 1)" et la quatrième boule se situe en "(1, 1)". Nous allons tirer la deuxième boule vers la droite, de telle manière que la force engendre une accélération de "(1, 0)" unité d'accélération. De plus, nous allons tirer la troisième boule vers la droite, de telle manière que la force engendre une accélération de "(0, 1)" unité d'accélération. Finalement, nous allons tirer la quatrième boule vers la droite, de telle manière que la force engendre une accélération de "(2, 0)" unité d'accélération. Depuis ce référentiel (première boule), toutes les accélérations sont explicables par des forces réelles (ici, les seules accélérations sont les accélérations causées par la ficelle) : ce référentiel est galiléen.

Cependant, prenons le référentiel de la deuxième boule. Depuis ce référentiel, la position au départ de la première boule est "(-1, 0)", et la position de la troisième boule est "(-1, 1)". Si nous mesurons l'accélération, nous nous rendons compte que l'accélération de la premire boule est "(-1, 0)", l'accélération de la troisième boule est "(-1, 1)" et l'accélération de la quatrième boule est "(1, 0)".

Ici,on peut décomposer l'accélération de la troisième boule en "(-1,0) +(0,1)". La deuxième partie de cette somme est explicable par l'action de la ficelle sur cette boule,mais la première partie n'est pas explicable par une force subit par cette troisième boule. C'est l'exacte même chose dans le cas de la quatrième boule : on peut décomposer l'accélération en "(2,0) +(-,0)",où le premier est explicable par l'action de sa ficelle,mais le deuxième n'est pas explicable par une force subit par cette quatrième boule. C'est la même chose pour la première boule. D'ailleurs,si vous changer de référentiel d'étude pour prendre celui de la troisième ou quatrième boule,vous aurez l'exact même problème. En d'autres termes,si l'on prend le référentiel de la première boule, le principe d'inertie est respecté, mais si l'on prend le référentie de la deuxième, troisième ou quatrième boule, le principe d'inertie n'est pas respecté.

Ce principe implique quelque chose d'autre : dans un référentiel galiléen, tout objet ne subissant pas de force évolue dans un mouvement rectiligne et uniforme. Ici,dire que le mouvement est rectiligne équivaut à dire que la trajectoire est une simple droite,et dire que le mouvement est uniforme équivaut à dire que la vitesse est constante. Le fait que la vitesse soit constante est assez évident si il n'y a pas de force (pas d'accélération =pas de modification de la vitesse),et la trajectoire en droite est du au fait que l'intégrale de la vitesse donne donc une fonction linéaire (et donc,la position évolue de façon linéaire).

Avec cela,nous pouvons introduire un concept permettant de reformuler cette équation : la quantité de mouvement. La quantité de mouvement d'un objet à un instant "t" est le produit entre la vitesse d'un objet et la masse de cet objett (à cet instant "t"). Encore une fois,il s'agit d'un vecteur. Il se note généralement avec la lettre "p".

\vec{p} = m \vec{v}

Pour rappel, l'accélération représente la dérivée de la vitesse par rapport au temps. Cela nous permet de retrouver algébriquement une nouvelle formule du calcul de la force. Nous pouvons donc écrire :

\vec{p} = m \frac{d \vec{v}}{dt} * \frac{dt}{d}

\frac{d \vec{p}}{dt} = m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \vec{a} = \sum F_{i}

La théorie des systèmes dynamiques

Introduction aux systèmes dynamiques

Qu'est ce qu'est un système dynamique ?

La théorie des systèmes dynamiques est une théorie qui trouvent ses racines en mathématiques, mais est utile dans une quantité faramineuse de domaines (physique, biologie...). En plus, elle est aussi une théorie mathématique particulièrement intéressante et fournie.

Avant tout de chose, définissons le concept de système. Un système est un ensembles d'objets quelconques, dont le comportement est régit par des règles / lois quelconques. En voyant ça, on peut très vite s'apercevoir de la quantité de choses possibles avec ce concept. On pourrait imaginer par exemple un système composé d'élèves et de professeurs dans une école, et où les lois pourraient représenter la façon dont ils se comportent entre eux. Cependant, cela pose problème : il n'existe généralement pas de définition mathématique globale pour le concept de "système". Cela est dût au fait qu'il est beaucoup trop large, et qu'il est donc difficile de trouver des propriétés mathématiques communes à tous les systèmes possibles et imaginables.

Rendons nos systèmes dynamiques. Ici, un système dynamique est un système où le comportement des objets dans le temps est décrit par une loi précise. Pour reprendre notre exemple de l'école, une loi représenterait comment les élèves (et les données qui leur sont "attachées") évoluent dans le temps (notes, relations amicales...). Il existe deux catégories importantes de systèmes dynamiques (que nous traiterons après) : les systèmes dynamiques discrets et les systèmes dynamiques continus.

Mathématiquement parlant, on peut définir une chose intéressante avec ces systèmes : un état du système. Un état (aussi appelée phase) d'un système dynamique est l'ensemble des données nécessaires pour décrire intégralement un système à un instant précis. Un état est donc décrit par une certaine quantité d'informations, qui sont généralement des nombres réels, où des objets construits à partir de nombres réels (comme des vecteurs réels). Généralement, ses informations sont notés "q indice i", où "i" représente la "i-ème" information. Chose importante : les états sont tous décrit par les exacts mêmes types d'informations, seules les valeurs de ces informations changent. Ici, le nombre de types d'informations différents est nommé le degré de liberté du système.

E = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})

Prenons un exemple : un système 2D composé d'une particule. La question est : comment décrire rigoureusement ce système ? Ici, nous allons dire que les seules informations importantes du système concernent notre particule. Si nécessaire, on peut rajouter des objets contenant informations (d'autres particules, un autre objet dynamique...). Le choix des objets à prendre en compte dépend fortement du contexte. Avec tout ça, nous pouvons prendre pleins d'informations par rapport à cette particule : position, vitesse, masse, couleur... Ici, nous allons dire que les deux informations importantes sont la position et la vitesse de la particule. Donc, un exemple d'état du système peut être une position de "(2, -1)" unités de distance et une vitesse de "(-6, 4)" unités de distance / unités de temps :

Généralement, quand nous voulons ajouter un paramètre au système, nous ajoutons aussi généralement un paramètre représentant la façon dont il varie dans le temps. Comme nous l'avons vue plus haut, la variation dans le temps se formalise grâce à des dérivées. Donc, ce nouveau paramètre est la "dérivée" de notre paramètre de départ.

\frac{{dq}_{i}}{dt}

On peut creuser un peu plus ce concept, avec celui d'espace des phases. L'espace des phases d'un système dynamique représente l'ensemble des états possibles du système. Selon le contexte, cette espace peut être très petit, ou absolument gigantesque (voir infini). Généralement, cet espace des phase est noté avec la lettre grecque gamma majuscule.

Γ

Reprenons l'exemple de notre système avec notre particule. Nous avons deux informations importantes pour décrire un état du système : la position et la vitesse de la particule. Dans les deux cas, la position d'une particule peut se décrire grâce à des coordonnées dans un espace géométrique à deux dimensions, et c'est la même chose pour la vitesse de la particule. Mathématiquement parlant, ces deux valeurs représentent des espaces euclidiens de dimension 2, et donc "R²". Donc, l'ensemble des états possibles du système (et donc, de la particule) est donc l'ensemble des coordonnées en deux dimensions, deux fois (et donc le produit cartésien de "R²" sur lui même, qui représente donc "R exposant 4"). Ici, le degré de liberté de notre système est donc de 4.

R² * R² = R^{4}

Si l'on rajoute une particule, nous devons en plus prendre en compte deux nouvelles coordonnées de "R²" : la position et la vitesse de la deuxième particule. Dans ce cas, nous travaillerons sur "R exposant 8".

R² * R² * R² * R² = R^{8}

Les espaces dynamiques discrets

Commençons par définir les systèmes dynamiques discret. En effet, ce type de système dynamique a une définition mathématiques rigoureuse et facilement utilisable. Intuitivement parlant, un système dynamique est dit discret si il existe un temps entre chaque état connu des objets du système, obtenu via la loi du système. Donc, deux états obtenus avec la loi sont (au minimum) espacés d'un temps précis.

Mathématiquement parlant, un système dynamique discret s'étudier avec une application assez simple : une application allant de l'espace des phases vers lui même. De manière plus intuitive, cette application est telle que si vous avez un état à un moment "t", vous pouvez avoir le prochain état en passant votre état actuel dans la fonction.

d : Γ ⟶ Γ

On doit, dans ce cas, choisir un premier état "x indice 0", que nous allons faire évoluer petit à petit.

x_{0}, x_{1} = d(x_{0}), x_{2} = d(x_{1})

Si possible, on essaye de faire de telle manière que cette application soit bijective. En effet, si l'application est bijective, il existe alors une application réciproque. Donc, si nous avons l'application réciproque, nous pouvons facilement "remonter le temps" dans notre système. Cependant, ce n'est pas obligatoire.