Le chapitre 1

La mécanique newtonienne

La mécanique pré-Newton

La mécanique est une branche de la physique vieille comme le monde. Précisément, la mécanique est la branche de la physique qui étudie les mouvements / transformations des objets physiques dans le temps. Par exemple, le mouvement effectué par un ballon de football peut s'étudier avec de la mécanique. Historiquement, le scientifique considéré comme le fondateur de la mécanique classique est un mec intelligent. Cependant, ce n'est pas le premier, et là discipline est apparue bien avant.

Dans l'histoire, ce concept apparaît très tôt, avec les grecs et les égyptiens, vers -300 avant notre ère. Cette discipline a été créée pour (principalement) deux raisons : étudier les astres et étudier les machines. Foncièrement parlant, cette mécanique est l'ancêtre de notre mécanique actuelle, en bien moins remplie et rigoureuse.

Le début de la formalisation moderne est apparue avec un mec intelligent.

Les bases de la mécanique newtonienne

Pour comprendre la mécanique newtonienne, nous avons besoin de quelques concepts bien précis.

Un des concepts les plus importants (apporté par Galilée) est le concept de référentiel. Un référentiel (aussi nommé un repère) est un objet du système à partir duquel on observe le système entier. En fait, le référentiel que vous choisissez dépend intuitivement de "où" et "comment" vous observez le système. C'est avec ce concept qu'on peut définir un autre : la position. La position d'un objet représente l'information permettant de repérer / d'atteindre l'objet en partant d'un référentiel. Pour représenter cette position sous forme de nombres, nous avons besoin d'une donnée étalon (fournie par le référentiel), représentant une unité de position. Ici, la mesure de la position d'un objet donne la quantité minimale de "donnée étalon" nécessaire (en ne changeant ni la taille, ni la direction de cette donnée) pour atteindre cet objet. De plus, les nombres nécessaires pour représenter une position sous forme de nombres se nomment les coordonnées de l'objet dans le référentiel (qui changent donc selon le référentiel). Généralement, si l'on ne change pas la direction de cette donnée étalon, il faut plusieurs donnée différentes (avec des directions différentes) pour correctement mesurer cette position. Le nombre de donnée nécessaire pour faire cette mesure représente la dimension de l'espace dans lequel on évolue. Voici un exemple, où les deux mesures étalons sont (dans l'ordre) la ligne rouge puis la ligne bleue, et donc où la position de la particule sont (avec les nombres dans le même ordre que les mesures respectives) -4 et 2. En général, les coordonnées se notent entre parenthèses, comme (-4, 2).

Un exemple simple est l'exemple du jeu d'échec. Plaçons nos pièces de telle manière que nous mettons un pion "A" dans le coin inférieur gauche, un pion "B" à sa droite, et un pion "C" dans le coin supérieur droit. Du point de vue du pion "A", le pion "B" se situe à une case à la droite. Cependant, du point de vue du pion "C", le pion "B" se situe à 6 cases à gauches et 7 cases en bas. La position du pion "B" diffère selon le point de vue qu'on choisi : elle diffère donc selon le référentiel choisi.

Mathématiquement parlant, un référentiel représente un système de coordonnées possible dans le système, à partir du quel on peut observer le système entier.

De manière un peu plus avancée, on peut étudier l'évolution de la position d'un objet, grâce au concept de mouvement. Le mouvement représente l'ensemble des informations correspondant à l'évolution de la position d'un objet.

L'objet le plus simple dans l'étude d'un mouvement est le concept de déplacement. Si un objet était a une position, et se retrouve à une nouvelle position, le vecteur représentant la différence entre la nouvelle position et l'ancienne position se nomme le vecteur déplacement. Comme ce concept représente l'évolution d'une information, on peut le noter avec le caractère delta. Si l'on note la première position "p indice 1" et la deuxième position "p indice 2", le déplacement se note :

Ces deux "p indice n" sont donc séparés par une durée précise. Hors, nous pouvons imaginer une expérience qui fait se rendre compte du problème avec ce concept. Imaginez une voiture voyageant en France, où nous allons mesurer sa position (disons que nous prenons un référentiel fixe : 2000 kilomètres au dessus du centre géographique de la France métropolitaine). Avant le voyage, mesurons la position de notre voiture : la voiture se situe à une position qui correspond à Marseille. Après 10 heures, re-mesurons la position de notre voiture : la voiture se situe à une position qui correspond à Lyon. Donc, le déplacement de la voiture sur ces 10 heures et donc le vecteur allant de Marseille vers Lyon. On pourrait donc tracer un vecteur déplacement comme ceci (traçons le sur un schéma ultra simplifié) :

Selon Google Maps, le trajet entre Marseille et Lyon peut se faire en 3h30 : notre mesure est donc parfaitement réaliste. Or, nous avons attendu 10h, rien nous prouve que notre voiture n'a pas été autre part pendant tout ce temps. Selon Google Maps, le trajet Marseille - Montpellier - Clermont-Ferrand - Lyon dure 8 heures : il peut aussi avoir eu lieu pendant ces 10 heures. Or, nous pouvons ici obtenir 3 vecteurs déplacements, qui représente des durées de moins de 10h (et qui arrivent les uns après les autres d'un point de vue temporel) : Marseille - Montpellier, Montpellier - Clermont-Ferrand puis Clermont-Ferrand - Lyon.

D'ailleurs, il est évident que nous pouvons encore rendre chacun de ces vecteurs de plus en plus précis. Par exemple, entre Marseille et Montpellier, il y a beaucoup de villes : Salon-de-Provence, Saint-Gilles, Gallargues-le-Montueux... Et mêmes, entre ces villes, on peut noter chaque village, chaque quartier, chaque rue... Dans tous les cas, la durée associée à chaque vecteur et de plus en plus petit. Ici, l'idée est assez simple : plus les durées sont petites, plus on est précis et proche de la réalité.

Reprenons les mathématiques. Comme tout ce qui existe, on peut représenter la position de la voiture (ou de n'importe quel objet) comme une fonction, allant de l'ensemble des nombres réels positifs vers un ensemble de coordonnées. Ici, l'ensemble d'arrivée représente l'ensemble des unités de temps (comme des secondes) possibles après le départ de la voiture. De plus, pour notre exemple, nous pouvons représenter les positions des villes avec seulement deux axes : ouest - est et nord - sud. Donc, nous avons une fonction (que nous allons noter "p") allant de "R" vers "R²".

Un déplacement entre deux moments "t indice 1" et "t indice 2" se notre donc très simple "p(t indice 2) - p(t indice 1)".

Les lois du mouvement de Newton

En fait, tout le concept de mécanique newtonienne repose sur 3 lois principales, que nous allons énumérer ici. Elle furent énumérer en premier dans le livre de Newton "Philosophiæ naturalis principia mathematica" en 1687.

La première loi est le principe d'inertie. .

Introduction aux systèmes dynamiques

Qu'est ce qu'est un système dynamique ?

La théorie des systèmes dynamiques est une théorie qui trouvent ses racines en mathématiques, mais est utile dans une quantité faramineuse de domaines (physique, biologie...). En plus, elle est aussi une théorie mathématique particulièrement intéressante et fournie.

Avant tout de chose, définissons le concept de système. Un système est un ensembles d'objets quelconques, dont le comportement est régit par des règles / lois quelconques. En voyant ça, on peut très vite s'apercevoir de la quantité de choses possibles avec ce concept. On pourrait imaginer par exemple un système composé d'élèves et de professeurs dans une école, et où les lois pourraient représenter la façon dont ils se comportent entre eux. Cependant, cela pose problème : il n'existe généralement pas de définition mathématique globale pour le concept de "système". Cela est dût au fait qu'il est beaucoup trop large, et qu'il est donc difficile de trouver des propriétés mathématiques communes à tous les systèmes possibles et imaginables.

Rendons nos systèmes dynamiques. Ici, un système dynamique est un systèmes où le comportement des objets dans le temps est décrit par une loi précise. Pour reprendre notre exemple de l'école, une loi représenterait comment les élèves (et les données qui leur sont "attachées") évoluent dans le temps (notes, relations amicales...). Il existe deux catégories importantes de systèmes dynamiques (que nous traiterons après) : les systèmes dynamiques discrets et les systèmes dynamiques continus.

Mathématiquement parlant, on peut définir une chose intéressante avec ces systèmes : un état du système. Un état (aussi appelée phase) d'un système dynamique est l'ensemble des données nécessaires pour décrire intégralement un système à un instant précis. Un état est donc décrit par une certaine quantité d'informations, qui sont généralement des nombres réels, où des objets construits à partir de nombres réels (comme des vecteurs réels). Généralement, ses informations sont notés "q indice i", où "i" représente la "i-ème" information. Chose importante : les états sont tous décrit par les exacts mêmes types d'informations, seules les valeurs de ces informations changent. Ici, le nombre de types d'informations différents est nommé le degré de liberté du système.

Prenons un exemple : un système 2D composé d'une particule. La question est : comment décrire rigoureusement ce système ? Ici, nous allons dire que les seules informations importantes du système concernent notre particule. Si nécessaire, on peut rajouter des objets contenant informations (d'autres particules, un autre objet dynamique...). Le choix des objets à prendre en compte dépend fortement du contexte. Avec tout ça, nous pouvons prendre pleins d'informations par rapport à cette particule : position, vitesse, masse, couleur... Ici, nous allons dire que les deux informations importantes sont la position et la vitesse de la particule. Donc, un exemple d'état du système peut être une position de "(2, -1)" unités de distance et une vitesse de "(-6, 4)" unités de distance / unités de temps :

On peut creuser un peu plus ce concept, avec celui d'espace des phases. L'espace des phases d'un système dynamique représente l'ensemble des états possibles du système. Selon le contexte, cette espace peut être très petit, ou absolument gigantesque (voir infini). Généralement, cet espace des phase est noté avec la lettre grecque gamma majuscule.

Reprenons l'exemple de notre système avec notre particule. Nous avons deux informations importantes pour décrire un état du système : la position et la vitesse de la particule. Dans les deux cas, la position d'une particule peut se décrire grâce à des coordonnées dans un espace géométrique à deux dimensions, et c'est la même chose pour la vitesse de la particule. Mathématiquement parlant, ces deux valeurs représentent des espaces euclidiens de dimension 2, et donc "R²". Donc, l'ensemble des états possibles du système (et donc, de la particule) est donc l'ensemble des coordonnées en deux dimensions, deux fois (et donc le produit cartésien de "R²" sur lui même, qui représente donc "R exposant 4"). Ici, le degré de liberté de notre système est donc de 4.

Si l'on rajoute une particule, nous devons en plus prendre en compte deux nouvelles coordonnées de "R²" : la position et la vitesse de la deuxième particule. Dans ce cas, nous travaillerons sur "R exposant 8".

Les espaces dynamiques discrets

Commençons par définir les systèmes dynamiques discret. En effet, ce type de système dynamique a une définition mathématiques rigoureuse et facilement utilisable. Intuitivement parlant, un système dynamique est dit discret si il existe un temps entre chaque état connu des objets du système, obtenu via la loi du système. Donc, deux états obtenus avec la loi sont (au minimum) espacés d'un temps précis.

Mathématiquement parlant, un système dynamique discret s'étudier avec une application assez simple : une application allant de l'espace des phases vers lui même. De manière plus intuitive, cette application est telle que si vous avez un état à un moment "t", vous pouvez avoir le prochain état en passant votre état actuel dans la fonction.

On doit, dans ce cas, choisir un premier état "x indice 0", que nous allons faire évoluer petit à petit.

Si possible, on essaye de faire de telle manière que cette application soit bijective. En effet, si l'application est bijective, il existe alors une application réciproque. Donc, si nous avons l'application réciproque, nous pouvons facilement "remonter le temps" dans notre système. Cependant, ce n'est pas obligatoire.

Les espaces dynamiques continus