La géométrie

Qu'est ce qu'est la géométrie ?

La géométrie euclidienne

Pour pouvoir faire de la géométrie complexe, il faut, au moins, comprendre comment l'humain a vu la géométrie pendant presque 2000 ans. En effet, la géométrie euclidienne est l'étude mathématique des plans / espaces, et des figures qui leur appartiennent. En général, on parle de figures en 2 dimensions (par exemple, sur papier) ou en 3 dimensions (comme la vraie vie). Cette géométrie est la plus utilisée, et de loin, puisque, à notre échelle, elle est omniprésente.

Heuresement pour nous, la géométrie euclidienne est précisément axiomatiséeavec 5 axiomes clés. Selon le 1er axiome d'Euclide, si vous prenez deux points quelconques, alors ils seront alignés entre eux. Selon le 2ème axiome d'Euclide, trois points sont alignés si la droite passant par deux de ces points passe aussi par l'autre point. D'un point de vue géométrique, un simple tracé suffit. D'un point de vue algébrique, il faut utiliser la notion de vecteur pour vérifier cela, étudiée plus loin. Seulement deux points de cette droite suffisent à la décrire. D'ailleurs, il est possible de n'étudier qu'une partie de cette droite, située entre deux points : c'est ce que l'on appelle un segment. Le troisième est le plan (applicable au minimum en deux dimensions). En deux dimensions, le plan représente (en général) l'espace total étudié. En trois dimensions, un plan représente une surface de l'espace (et donc, un sous-espace de l'espace). Une surface représente un ensemble de points où tous les points peuvent être représenté avec une simple paire de coordonnée. Il est défini par au moins deux droites non parallèles, et permet de réaliser de la géométrie 2D en 3D. Il permet aussi de représenter des nombres complexes, des projections...
Chacunes de ces notions seront approfondies plus tard.

En géométrie euclidienne, nous pouvons définir plusieurs objets "basiques", racines de tous les objets existants. Le premier est le point (applicable dans toutes les dimensions possibles). Un point représente une (et une seule) position / partie d'un espace géométrique. Il n'a donc n'y taille, ni surface, ni volume... Le deuxième est la droite (applicable au minimum en deux dimensions). Une droite représente un ensemble (généralement infini) de points alignés.

Définir le fonctionnement d'une géométrie

Les espaces vectoriels

En algèbre, un espace vectoriel d'un corps quelconque (comme celui des réels) est un ensemble précis que l'on peut créer avec ce corps, contenant des vecteurs. La définition algébrique d'un vecteur est plus complexe que la définition géométrique, assez simple. En effet, un espace vectoriel E (sur un corps K) doit définir pour ces éléments une addition (avec un même élément de E) commutative, associative, avec élément neutre et opposé, et une multiplication distributive avec un élément de K. La combinaison de ces additions est nommée combinaisons linéaires, représentant la base de l'algèbre linéaire. Une grande partie des corps K peuvent être des espaces vectoriels de eux mêmes : l'utilité du concept est ailleurs. Effectivement, l'ensemble des n-uplets d'un corps K représente aussi un espace vectoriel sur K. En effet, ce genre d'ensembles remplissent toutes les conditions nécessaire pour être des espaces vectoriels de K (addition et multiplication compatible). De manière assez évidente, les espaces les plus connus sont les espaces vectoriels définis sur le corps des réels, avec des 2-uplets (espace 2D) ou des 3-uplets (espaces 3D). En effet, ces 2-uplets ou 3-uplets, remplissent toutes les conditions nécessaires pour être des espaces vectoriels du corps des réels, et peuvent en plus se présenter comme des points géométriquement représentable.

Les espaces euclidiens

L'espace euclidien représente l'espace géométrique le plus "basique" que l'on connaisse. Un espace euclidien est un espace géométrique continu (comme un espace vectoriel) obéissant parfaitement aux axiomes d'Euclide. On y retrouve donc toutes les notions de base : angle, longueur, parallélisme...

Algébriquement, un espace euclidien est un espace vectoriel du corps des réels. L'objet principal est donc le vecteur. Cependant, l'autre caractéristique d'un espace euclidien est qu'il est muni d'une opération de produit scalaire. Algébriquement, il s'agit de la façon la plus "logique" de multiplier des vecteurs. Ce produit scalaire se note (pour les dimensions 2 ou 3) :

Dans une base othonormée, cette expression est aussi possible :

Pour des dimensions supérieures, son étude est plus complexe. L'utilisation du cosinus permet d'introduire la notion d'angle entre vecteurs, et de longueur de vecteur. Grâce à ça, nous pouvons définir la notion de perpendicularité entre vecteurs (lorsque leur produit scalaire vaut 0), nommée dans ce cas l'orthogonalité. Ce même concept permet de définir des bases obéissant à ce principe (les vecteurs de normes orthogonaux entre eux), nommés bases orthogonales. Il permet aussi de définir des opérations très intéressante, comme la projection. Beaucoup de démonstrations via le produit scalaire se fait via une inégalite (en réalité, assez évidente) : l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

Les espaces affines

En géométrie / algèbre, un espace affine représente un espace géométrique continu obéissant parfaitement aux axiomes d'Euclide, où les angles et longueurs ne sont pas utilisés. En fait, il s'agit algébriquement d'un espace vectoriel défini comme plus général, où les valeurs précises n'importent pas (seule l'existence de ces valeurs sous forme d'inconnues compte). Nous y retrouvons quand même les notions de parallélisme, d'alignement et de barycentre, mais pas de produit scalaire et d'orthogonalité. Cependant, certains théorèmes sont quand même valables dans ces espaces (ceux n'impliquant ni longueurs précises ni angles précis), comme le théorème de Thalès. Un repère définit dans un espace affine est nommé un repère affine.

Dans ces espaces, une transformation d'un espace affine vers un autre est dite affine si l'espace le subissant ne modifie pas sa structure affine (et donc celles de ces objets). Cette transformation peut aussi s'appeller une application affine. En d'autres termes, une transformation est affine si l'espace peut se transformer de la même façon que les objets.

Quand on pense à application affine, on peut penser aux fonctions affines, et c'est tout à fait logique. Pour rappel, une fonction transforme un espace en un autre. Dans le cas d'une fonction affine, on transforme l'ensemble des réels en un autre ensemble. Or, l'ensemble des réels représente une droite (la droite des réels), et l'ensemble obtenu représente... une droite : c'est une application linéaire. En fait, la notion d'application affine étend le concept de fonction affine.

Qu'est ce qu'est un vecteur ?

La définition pure

L'élément le plus important en géométrie est le vecteur. Bien qu'il peut s'agir de plusieurs notions, la définition brute d'un vecteur est un ensemble de nombres, en général réels(autant que de dimensions dans l'espace du vecteur). Les vecteurs peuvent aussi être assimilés à des matrices. Pour écrire un vecteur, il faut mettre une petite flèche au dessus de lui, et faire suivre ses coordonnées (si nécessaire) juste après, entre parenthèses, comme ça :

Pour représenter un vecteur en géométrie, il est conseillé (pas obligatoire mais conseillé) de le faire partir de sa base jusqu'à la coordonnée qu'il représente, comme ça :

La caractéristique principale d'un vecteur est de représenter un point de l'espace. En effet, il peut représenter une seule position de l'espace, et donc un point. Donc, deux vecteurs suffisent à définir une droite ou un segment. Cette approche permet de donner une existence algébrique aux droites. En effet, il est possible de définir un système d'équation, qui permet de vérifier si une certaine coordonnée fait partie de la droite ou pas.

Les propriétés des vecteurs

La longueur totale d'un vecteur est nommée la norme de ce vecteur. Si vous projetez visuellement le vecteur dans son espace, et que vous calculez sa longueur, vous obtenez la norme. La particularité de cette ensemble de nombres est que ces valeurs peuvent ne dépendre de rien d'autres que de leur espace. En d'autres termes, il est possible d'utiliser des vecteurs comme une base (arbitraire) pour d'autres vecteurs. Pour des raisons de simplicités, les vecteurs constituant une base doivent avoir une norme de 1, et être représentés comme partant du même point, nommé l'origine. Le combo origine et bases de vecteurs formes un repère de l'espace.

Les vecteurs peuvent représenter plusieurs objets. Pour en citer quelques-uns : points, mouvements, repères...

L'utilisation des vecteurs

Les figures géométriques

En géométrie, une figure représente un ensemble de points (un nombre fini de points) de l'espace géométrique. En général, ce terme est confondu avec le terme de "forme géométrique". De plus, une figure géométrique peut être accompagner d'informations pour rendre son ensemble de point cohérent (liens / segments entre les points, angles formés...).

Le type de figures les plus utilisées représentent les figures "polytopes". Bien que le terme "polytope" soit peu connu, il s'agit juste de la généralisation du terme 2D "polygône" et 3D "polyhèdres" en X dimensions. En 2D, un polygône représente un ensemble de points liés (par des segments) et fermés. En 3D, un ensemble de points liés (par des morceaux de plans) et fermés se nomme un polyhèdre. En X dimension, un ensemble de points liés (par des morceaux de sous-espaces de dimensions inférieures) et fermés se nomme un polytope. Il représentent aussi la délimitation d'un sous-espace de l'espace global. Pour une dimension N, l'objet le plus simple représentable dans cette dimension se nomme un simplexe. En 2D, il s'agit du triangle, et en 3D, il s'agit du tétrahèdre. En 4D, cette forme est nommé un pentatope. Il est constitué de n+1 délimitations de dimensions inférieures (le triangle est composé de 3 segments, le tétrahèdre de 4 triangles...). Une propriété très importante des polytopes de dimension n est que un polytope de dimension n peut se décomposer en un nombre (fini) de simplexes de dimensions n. Cela va aussi pour les polygônes se décomposant en triangles, ou les polyhèdres se décomposant en tetréhèdres. Grâce à ces concepts, on peut généraliser certains concepts communs de 2D et 3D en des dimensions quelconques.

Les figures dans les repères cartésiens

Les propriétés des équations trigonométriques

Certaines équations font intervenir des fonctions trigonométriques : ces équations sont dites trigonométriques. D'un point de vue pûrement géométrique, le plus simple pour résoudre ce genre d'équations est d'utiliser les propriétés du cercle trigonométrique (chercher un point ou un intervalle, grâce aux valeurs remarquables).

Le plan complexe

Utilisation basique

Prenez un nombre complexe "Z = a + bi". Vous pouvez représenter ce nombre dans un plan 2D (avec un repère canonique orthonormée) via un vecteur V(a, b), nommé le plan complexe. Le nombre complexe "Z" sera nommé l'affixe de "V", et "V" sera nommé l'image de "Z". Dans ce cas, la norme du vecteur est nommée le module M du nombre complexe, et l'angle formé par le vecteur par rapport au vecteur u(1, 0) est nommé l'argument A du nombre complexe. Cependant, il est aussi possible de les définir grâce à des coordonnées polaires. En effet, grâce à cet écriture, on peut en déduire une forme très spécial pour un nombre complexe : la multiplication du module du nombre avec un autre nombre complexe (de module 1), dont la valeur est la représentation trigonométrique de son vecteur (selon les règles du cercle trigonométrique). Cette forme s'écrit :
$Z=M*(\mathrm{cos(A)}+i*\mathrm{sin(A)})$
Nous pouvons démontrer facilement que la dérivée de "cos(x) + i * sin(x)" représente "i * (cos(x) + i * sin(x))" : elle même multipliée par "i". Dans ce cas, nous pouvons utiliser une écriture exponentielle, sous la forme :
$Z=M{e}^{\mathrm{iA}}$
Avec cette propriété, on peut effectuer des translations sur le vecteur grâce à une simple addition de son affixe, des rotations grâce à des multiplications de l'affixe par un complexe de module 1 et d'argument l'angle voulu et des remises à l'échelle avec des multiplications de l'affixe par un réel.