Le chapitre 6

Les nombres complexes

Définir les nombres complexes

Qu'est-ce que un nombre complexe ?

Parmi tout ce qui existe en mathématique, l'une des branches de la discipline les plus appréciés est celle traitant des nombres complexes. Pour les définir, nous allons premièrement donner la définition simpliste et la définition la plus connue. Un nombre complexe est un objet mathématique représentant la somme d'un nombre réel par le produit d'un nombre réel et d'un objet mathématique précis noté "i", se comportant comme un nombre réel, à la différence près que son carré vaut "-1". Ici, nous allons donc définir un objet "i", se comportant exactement comme un objet du corps des réels, tel que son carré vaut "-1".

i^{2} = -1

Dans ce cas (en considérant "a" et "b" deux nombres réels), un nombre complexe s'écrit donc ainsi :

a + i * b

Comme pour tous les ensembles de nombre que nous avons défini, nous devons être très rigoureux pour le définir : posons ici une définition bien plus rigoureuse. En fait, un nombre complexe est un couple de deux réels, auquel on défini des propriétés calculatoires précises, permettant de faire à ce que ce nombre se comporte (de manière aléatoire) comme si il représentait la somme du premier réel par le produit du second réel et d'une valeur telle que son carré vaut "-1". Tout ce qu'on a fait ici est définir une façon bien plus rigoureuse de définir un nombre réel, en n'ayant pas à définir de nouveaux objets trop complexes. Dans ce cas, on peut dire que l'ensemble des nombres complexes représente donc le produit cartésien de "R" par lui même.

= R \times R

Ici, si on a un couple de réel (qui représente un complexe), on peut passer à la notation avec le "i", en faisant la somme du premier réel par le produit de "i" et du deuxième réel. Pour définir rigoureusement les nombres complexes, nous allons devoir nous restreindre à la notation avec le couple, mais nous passerons très vite à la notation présente ci-dessous.

\forall z = (a, b) \in, z = a + i * b

Cependant, cela n'est pas le plus important : le plus important avec l'ensemble des complexes est l'ajout des propriétés calculatoires précises entre les éléments de cet ensemble. Ici, on va rajouter deux lois de composition à cet ensemble de complexes : une loi représentant une addition, et une loi représentant une multiplication. L'addition va être très proche (voir parfaitement similaire) à celle des vecteurs dans "R²". Cependant, la multiplication est plus complexe : la multiplication doit se comporter comme si le deuxième élément du couple de réel se comportait dans le nombre complexe comme étant multiplié par une valeur dont le carré vaut "-1".

\forall z, z' \in, \exists a, b, c, d \in R, z = (a, b) \land z' = (c, d)

z + z' = (a + c, b + d) z * z' = (a * c - b * d, a * d + b * c)

Pour bien comprendre la multiplication, on va considérer un élément dont le carré vaut "-1", que l'on va appeler "i" (comme plus haut). On va aussi considérer que ce fameux "i" se comporte exactement comme un réel de manière calculatoire. On pourrait donc écrire :

z * z' = (a + i * b) * (c + i * d) = a * c + a * i * d + i * b * c + i^{2} * b * d = (a * c - b * d) + i * (a * d + b * c)

Dans ce cas,on peut voir que l'ensemble des nombres complexes comme un corps commutatif, avec cette addition et cette multiplication. Pour l'addition,la démonstration est parfaitement similaire à celle de la démonstration que "R²" est un groupe additif,nous n'allons pas y revenir ici. Cependant,pour la multiplication,cela mérite d'être traité.

Nous pouvons d'un point de vue purement calculatoire vérifier l'associativité :

$\forall x, y, z \in, \exists a, b, c, d, e, f \in R, x = (a, b) \land y = (c, d) \land z = (e, f)$
$(x * y) * z = (a * c - b * d, a * d + b * c) * (e, f) = ((a * c - b * d) * e - (a * d + b * c) * f, (a * c - b * d) * f + (a * d + b * c) * e)$
$(x * y) * z = (a * c * e - b * d * e - a * d * f - b * c * f, a * c * f - b * d * f + a * d * e + b * c * e) = (a * c * e - b * d * e - a * d * f - b * c * f, a * c * f - b * d * f + a * d * e + b * c * e)$
$(x * y) * z = (a * (c * e - d * f) - b * (d * e + c * f), b * (c * e - d * f) + a * (c * f + d * e)) = x * (y * z)$

De manière similaire, on peut démontrer la commutativité de cette multiplication.

\forall x, y \in, \exists a, b, c, d \in R, x = (a, b) \land y = (c, d)

x * y = (a * c - b * d, a * d + b * c) = (c * a - d * b, b * c + a * d) = y * x

Ici, l'identité représente simplement le nombre "(1, 0)" (ou "1 + i * 0"), ce qui se démontre facilement.

\forall x \in, \exists a, b \in R, x = (a, b)

(1, 0) * x = (a * 1 - 0 * b, 1 * b + 0 * a) = (a, b) = x

De manière similaire, on peut noter un élément absorbant : "(0, 0)". Finalement, pour l'inverse, nous allons devoir ruser un peu. En effet, nous allons devoir utiliser un gros système assez moche (nous verrons des manières plus simples de calculer l'inverse d'un nombre complexe plus tard). Avant, nous devons cependant dresser quelques conditions. Déjà, il n'existe pas d'inverse du nombre complexe "(0, 0)". De plus, comme (pour tout "a" étant un nombre réel) "(a, 0)" se comporte comme "R", il est très facile de lui trouver un inverse.

\forall x \in *, \exists a, b \in R, x = (a, b)

b = 0 \Rightarrow x * (\frac{1}{a}, 0) = (a * \frac{1}{a} - 0 * 0, a * 0 + 0 * \frac{1}{a}) = (1, 0)

On peut aussi généraliser dans le cas où "(a, b)" avec "a" différent de "0" (ce qui est obligatoire, car on va à certain moments diviser par "a"). Pour cela, nous allons utiliser un petit système linéaire.

\forall x, y \in *, \exists a, b, c, d \in R, x = (a, b) \land y = (c, d)

a \neq 0 \Rightarrow x * y = (1, 0) \Leftrightarrow (a * c - b * d, a * d + b * c) = (1, 0) \Leftrightarrow a * c - b * d = 1 \land a * d + b * c = 0

\Rightarrow d = c * - \frac{b}{a} \land a * c - b * c * - \frac{b}{a} = 1 \Rightarrow c * (b * \frac{b}{a} + a) = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{(\frac{b^{2}}{a} + a)} = \frac{a}{a^{2} + b^{2}}

\Rightarrow d = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} * - \frac{b}{a} = - \frac{b}{a^{2} + b^{2}}

D'ailleurs, dans le cas "(a, 0)" avec "a" quelconque, les formules que nous venons juste d'obtenir pour "c" et "d" marche.

b = 0 \Rightarrow c = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a}{a^{2}} = \frac{1}{a} \land d = - \frac{b}{a^{2} + b^{2}} = 0

Comme l'opération est commutative,on peut rapidement vérifier que la valeur que nous avons obtenu est un inverse à droite et à gauche. Donc,dans tous les cas (les cas "(a,b)" avec "a" et "b" quelconques,mais aussi "(c,0)" avec "c" quelconque),on peut trouver un inverse par la multiplication d'un nombre complexe avec une formule:

\forall z \in *, \exists a, b \in R, z = (a, b)

z^{-1} = (\frac{a}{a^{2} + b^{2}}, - \frac{b}{a^{2} + b^{2}})

Nous avons donc un groupe abélien sur l'ensemble des complexes muni de l'addition,et un groupe abélien sur l'ensemble des complexes privé de "0" muni de la multiplication : l'ensemble des complexes est donc un corps commutatif. Ici,on peut donc définir rigoureusement la façon de noter les nombres complexes avec une somme d'un réel et d'un produit d'un autre réel et de "i". En fait,"i" est égal à "(0, 1)" dans la définition que nous avons adopté ici, et les propriétés calculatoires que nous venons de déduire rendent la formule parfaitement définie.

i = (0, 1)

\forall z \in, \forall a, b \in R, z = (a, b) \Leftrightarrow z = a + i * b