Le chapitre 5

Chapitre 5 - démonstrations

Le calcul différentiel

Propriétés basiques

5.0.0.0

Démontrons le théorème de Fermat sur les points stationnaires, stipulant que :

a, b \in R, \forall c \in]a, b[, \exists d \in R, d = f'(c)

\forall v \in [a, b], \exists x \in]a, b[, {f(x) \geq v \lor f(x) \leq v} \Rightarrow f'(x) = 0

Rappelons la définition la plus simple de la dérivée :

f'(x) = \lim_{h⟶0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Si "x" est un extremum local, alors "f(x + h) - f(x)" est toujours de même signe (positif si il s'agit d'un minimum, négatif sinon), quelque soit le signe de "h". Or, le signe de "h" dépend... du signe de "h". Le signe de la dérivée de "f'(x)" dépend donc entièrement de celui de "h". De plus, comme la fonction est supposée continue en "x", alors la limite à gauche (avec un "h" négatif) et à droite (avec un "h" positif) sont les mêmes. Donc, f'(x) est en même temps positif et négatif : le seul nombre respectant cette propriété est "0".

0 \geq f'(x) \leq 0

Donc, "f'(x)" s'annule.

f'(x) = 0

5.0.0.1

Démontrons le théorème des accroissements finis, stipulant que :

a, b \in R, a < b, \forall d \in]a, b[, \exists f'(d)

\exists c \in]a, b[, \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)

Remarquons que la fraction exposée dans le théorème représente un accroissement précis, représentant par définition la moyenne de l'accroissement de la fonction entre "a" et "b". Or, il existe énormément de fonction ayant la même moyenne d'accroissement entre "a" et "b", à commencer par la plus simple : la fonction affine de pente l'accroissement moyen de "f" entre "a" et "b" auquel on soustrait le produit de "a" et de cette même pente, puis "f(a)" (pour qu'elle passe bien par "f(a)" en "a" et "f(b)" en "b").

g : R ⟶ R, x ⟶ f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a} * (x - a)

Ici, on peut définir une nouvelle fonction "h", représentant la différence entre "f" et "g". Par l'arithmétique des fonctions continues / dérivées, cette nouvelle fonction est continue et dérivable entre "a" et "b".

h : R ⟶ R, x ⟶ f(x) - g(x)

Comme "f(a) = g(a)" et "f(b) = g(b)", alors "h(a) = h(b) = 0". Selon le théorème de Rolle (dont "h" rempli toutes les conditions, comme mentionné plus tôt), il existe donc un point "c" entre "a" et "b" tel que "h'(c) = 0".

\exists c \in]a, b[, h'(c) = 0

Or, selon l'arithmétique des dérivées :

h'(x) = f'(x) - g'(x)

De plus, comme "g" est une fonction linéaire, la valeur de sa dérivée est égale à la valeur de sa pente.

g'(x) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Donc, pour ce point "c" :

h'(c) = 0 \Rightarrow f'(c) - g(c) = 0 \Rightarrow f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0 \Rightarrow f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Donc, il existe bel et bien un point "c" tel que l'égalité demandée existe.

\exists c \in]a, b[, f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

L'arithmétique des dérivées

5.0.1.0

Démontrons que l'addition de deux fonctions admet comme dérivée en un point la somme / différence des dérivées en ce point des fonctions de départ. Soit deux fonctions réels "f" et "g", dérivables en un point "a" :

f : R ⟶ R, x ⟶ f(x)

g : R ⟶ R, x ⟶ g(x)

Admettons une fonction "s" comme étant la somme de "f" et "g".

s : R ⟶ R, x ⟶ s(x) = f(x) + g(x)

Déjà, nous savons que "f" et "g" sont dérivables, et donc continues en "a" : "s" est donc continue en "a" selon le théorème 3.1.4.0. Calculons sa dérivée en "a" :

s'(x) = \lim_{h⟶0} \frac{s(x + h) - s(x)}{h} = \lim_{h⟶0} \frac{f(x + h) + g(x + h) - f(x) - g(x)}{h} = \lim_{h⟶0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \frac{g(h + x) - g(x)}{h}

Or, nous reconnaissons parfaitement la dérivée de "h" en "a" comme étant la somme de la dérivée de "f" en "a" et de "g" en "a". Donc, cette dérivée existe bien, et vaut la dérivée de "f" en "a" plus la dérivée de "g" en "a".

5.0.1.1

Démontrons que le produit de deux fonctions admet comme dérivée la somme du produit de "f'" et "g" et du produit de "f" et "g'". Soit deux fonctions réels "f" et "g", dérivables en un point "a" :

f : R ⟶ R, x ⟶ f(x)

g : R ⟶ R, x ⟶ g(x)

Admettons une fonction "s" comme étant la somme de "f" et "g".

s : R ⟶ R, x ⟶ s(x) = f(x) * g(x)

Déjà, nous savons que "f" et "g" sont dérivables, et donc continues en "a" : "s" est donc continue en "a" selon le théorème 3.1.4.1. Calculons sa dérivée en "a", en utilisant la formule remplaçant "b - a" par "h" :

s'(x) = \lim_{h⟶0} \frac{s(x + h) - s(x)}{h} = \lim_{h⟶0} \frac{f(x + h) * g(x + h) - f(x) * g(x)}{h}

Dans le numérateur, nous allons ajouter deux valeurs qui s'annulent : "-f(x + h)g(x)" et "f(x + h)g(x)".

s'(x) = \lim_{h⟶0} \frac{f(x + h) * g(x + h) + f(x + h) * g(x) - f(x + h) * g(x) - f(x) * g(x)}{h}

Factorisons proprement pour obtenir une forme plus intéressante :

s'(x) = \lim_{h⟶0} \frac{f(x + h) * (g(x + h) - g(x)) + (f(x + h) - f(x)) * g(x)}{h} = \lim_{h⟶0} f(x + h) * \frac{(g(x + h) - g(x))}{h} + \lim_{h⟶0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} * g(x)

Ici, comme "h" tend vers "0", alors "f(x + h)" tend vers "f(x)", et "g(x)" tend vers... "g(x)". De plus, nous reconnaissons les différentes limites de "f" et "g". Donc :

s'(x) = \lim_{h⟶0} f(x + h) * \frac{(g(x + h) - g(x))}{h} + \lim_{h⟶0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} * g(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

5.0.1.2

Démontrons la règle de la chaîne, stipulant que la dérivée d'une fonction "f" représentant la composée de deux fonctions "g" et "h" (sous la forme de la fonction "g(h)") en un point "x" se note "g'(h(x)) * h(x)". Soit deux fonctions réels "f" et "g", dérivables en un point "a" :

f : R ⟶ R, x ⟶ f(x)

g : R ⟶ R, x ⟶ g(x)

Admettons une fonction "s" comme étant la somme de "g" et "j".

s : R ⟶ R, x ⟶ s(x) = g(j(x))

Déjà, nous savons que "g" et "j" sont dérivables, et donc continues en "a" : "s" est donc continue en "a" selon le théorème 3.1.4.1. Calculons sa dérivée en "a", en utilisant la formule remplaçant "b - a" par "h" :

s'(a) = \lim_{h⟶0} \frac{s(a + h) - s(a)}{h}

s'(a) = \lim_{h⟶0} \frac{g(j(a + h)) - g(j(a))}{h}

Or, nous connaissons "j(a + h)", grâce à la formule de la dérivation associée :

j(a + h) = j(a) + j'(a) * h + t(h) * h

Ici, "t(h)" tend vers "0" quand "h" tend vers "a". Donc :

s'(a) = \lim_{h⟶0} \frac{g(j(a) + j'(a) * h + t(h) * h) - g(j(a))}{h}

Considérons une variable "k" avec comme valeur (assez complexe, je l'admet) "j'(a) * h + t(h) * h". Dans ce cas, on peut réécrire notre formule :

s'(a) = \lim_{h⟶0} \frac{g(j(a) + k) - g(j(a))}{h}

Nous pouvons ici expliciter "g(j(a) + k)", avec la même formule que nous noterions "g(a + h)" (ici, "a" sera donc égal à "j(a)", et "k" sera égal à "k") :

s'(a) = \lim_{h⟶0} \frac{g(j(a)) + g'(j(a)) * k + r(h) * k - g(j(a))}{h} = \lim_{h⟶0} \frac{(g'(j(a)) + r(h)) * k}{h}

Ici, explicitons "k", et voyons ce qu'il se passe :

s'(a) = \lim_{h⟶0} \frac{(g'(j(a)) + r(h)) * k}{h} = \lim_{h⟶0} \frac{(g'(j(a)) + r(h)) * (j'(a) * h + t(h) * h)}{h} = \frac{(g'(j(a)) + r(h)) * (j'(a) + t(h)) * h}{h}

Simplifions par "h" :

s'(a) = \lim_{h⟶0} \frac{(g'(j(a)) + r(h)) * (j'(a) + t(h)) * h}{h} = \lim_{h⟶0} (g'(j(a)) + r(h)) * (j'(a) + t(h))

Pour rappel, "t(h)" et "r(h)" tendent vers "0" si "h" tend vers "0", et le reste de la formule est invariant de "h". Donc :

s'(a) = g'(j(a)) * j'(a)

Le calcul intégral

Propriétés basiques

5.1.0.1

Démontrons la relation de Chasles concernant les intégrales. Considérons une fonction "f" Riemann-intégrable sur un intervalle "[a, c]". Déjà, rappelons l'encadrement de l'intégrale entre les fonctions escaliers minimum "l" et maximum "m".

\int_{a}^{c} l(x) dx \leq \int_{a}^{c} f(x) dx \leq \int_{a}^{c} m(x) dx

Posons "b" étant un réel appartenant à "[a, c]". Déjà, nous savons que "l" et "m" sont des fonctions escaliers, avec chacune une subdivision adaptée sur "[a, c]".

Posons une construction précise pour une fonction escalier "d" de subdivision adaptée "[a, c]". Pour chacune de ces subdivisions, nous pouvons obtenir des sous-subdivisions "[a, b]" et "[b, c]" de "[a, c]", que nous allons nommer respectivement "S1" et "S2". Théoriquement, des fonctions escaliers construites sur "S1" et "S2" où chaque valeur des intervalles dans la subdivision représente la valeur de l'intervalle respectif sur "d" représente une restriction de "d". Cependant, nous pouvons à partir des ces sous-subdivisions, construire deux nouvelles subdivisions sur "[a, c]", l'une représentant "S1" puis où nous passons directement de "b" à "c", et l'autre représentant "S2" puis où nous passons directement de "a" à "b". Nommons ces deux nouvelles subdivisions "T1" et "T2". Avec cela, nous pouvons construire de nouvelles fonctions escalier "u" et "v" avec "T1" et "T2", où l'intervalle "[b, c]" est nulle dans la fonction de "T1", et où l'intervalle "[a, b]" est nulle dans la fonction de "T2". Pour les autres valeurs, chaque valeur des intervalles dans la subdivision représente la valeur de l'intervalle respectif sur "d". Donc, la somme de ces deux fonctions donne notre fonction escalier de départ.

d = u + v

Comme "d" est une fonction escalier sur l'intervalle "[a, c]", elle est Riemann-intégrable sur "[a, c]". On a donc :

\int_{a}^{c} d(x) dx = \int_{a}^{c} u(x) dx + \int_{a}^{c} v(x) dx

Or, comme "u" et "v" sont nulles sur des intervalles précis, ces parties de la fonctions sont nuls dans la somme permettant de donner leur intégrale. Donc, on peut écrire :

\int_{a}^{c} u(x) dx = \int_{a}^{b} u(x) dx

\int_{a}^{c} v(x) dx = \int_{b}^{c} v(x) dx

Finalement, on sait que "d" restreinte sur l'intervalle "[a, b]" représente "u", et que "d" restreinte sur l'intervalle "[b, c]" représente "v". Donc :

\int_{a}^{b} d(x) dx = \int_{a}^{b} u(x) dx

\int_{b}^{c} d(x) dx = \int_{b}^{c} v(x) dx

Finalement :

\int_{a}^{c} d(x) dx = \int_{a}^{b} d(x) dx + \int_{b}^{c} d(x) dx

La relation de Chasles est donc vérifiée dans le cas des fonctions escaliers. Utilisons maintenant "l" et "m" pour prouver que la relation de Chasles est vérifiée dans chaque cas. Rappelons l'inégalité entre les fonctions minimum, maximim et la fonction de départ.

\int_{a}^{b} l(x) dx \leq \int_{a}^{b} f(x) dx \leq \int_{a}^{b} m(x) dx

\int_{b}^{c} l(x) dx \leq \int_{b}^{c} f(x) dx \leq \int_{b}^{c} m(x) dx

Nous pouvons sommer ces deux inégalités.

\int_{a}^{b} l(x) dx + \int_{b}^{c} l(x) dx \leq \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx \leq \int_{a}^{b} m(x) dx + \int_{b}^{c} m(x) dx

Avec ce que nous avons vue plus haut, comme "l" et "m" sont des fonctions escaliers, on peut noter (pour un pas fixé) :

\int_{a}^{c} l(x) dx \leq \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx \leq \int_{a}^{c} m(x) dx Comme nous avons vue, si nous faisons tendre le "pas" vers "0", les fonctions "l" et "m" changent, et la valeur de leur intégrale après passage à la limite vaut donc la somme de celle de "f" entre "a" et "b" et entre "b" et "c". Donc : \lim_{p⟶0} \int_{a}^{c} l(x) dx = \lim_{p⟶0} \int_{a}^{c} m(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx Donc, nous avons l'égalité prouvée. Donc, les intégrales sont bel et bien soumises à une relation de Chasles.