Le chapitre 5

La dérivation simple

Qu'est ce qu'est la dérivation ?

Bien que nous introduisons ce concept assez tard, la dérivation mathématique est un outil important, et donc "l'intuition" est assez simple à obtenir. Pour l'utiliser, nous allons commencer par le cas le plus simple : les fonctions réelles. En fait, la dérivation est un moyen d'étudier de manière extrêmement précise les variations d'une fonction réelle (et donc, de savoir comment elle croît / décroît à un certain point / une certaine partie de la fonction). Comme la continuité, la dérivation permet d'étudier un simple point d'une fonction, comme tout un intervalle.

Pour parler de ce concept, nous avons besoin d'un autre concept : les approximations affines. Une approximation affine est une approximation du comportement d'une fonction réelle en un point précis. Ici, l'idée est d'obtenir la façon dont la fonction croît / décroît en un certain point précis. Pour cela, on va calculer une sorte de moyenne correspondant à cette donnée de la fonction en ce point. L'idée est que, en considérant un point "a" d'une fonction, on peut calculer la moyenne du grossissement de cette fonction entre "a" et un autre point "b", en calculant le grossissement total entre "f(b)" et "f(a)", et en le divisant par "b - a" pour en obtenir une sorte de moyenne. En fait, si l'on maintenait le grossissement de la fonction en "f(a)" sur l'intervalle entre "a" et "b", on attendrait "f(b)".

Graphiquement, on peut tracer une droite entre "f(a)" et "f(b)", dont le coefficient directeur est la valeur que nous venons juste de calculer. Puisqu'il s'agit d'une droite, on peut la représente comme une fonction affine, d'où le nom. Effectivement, cette droite s'écrit comme une fonction affine "c * x + d" où "c" est la valeur que nous venons de calculer ("t") et "d" est "f(a) - a * c". Nous obtenons donc une formule pour notre droite actuelle :

Voici un exemple graphique pour la fonction "f(x) = 0.5*(x + 1)²" pour le point "a = -1" et "b = 2".

On peut modifier un peu la formule permettant d'obtenir "t", en ajoutant une variable nommée "h" représentant "b - a", et en déduire une nouvelle formule un peu différente. Ici, cette formule est nommée taux d'accroissement de "f" en "a".

Ce concept nous permet donc d'approximer le grossissement d'une fonction entre "a" et "b", cependant on aimerait savoir le grossissement de la fonction en "a". Pour cela, l'idée est de se rapprocher très proche de "a", en utilisant le concept de limite. On doit donc modifier un petit peu notre formule, en stipulant que "b" tend vers "a", pour représenter ce concept.

On peut aussi utiliser cette formule pour en déduire une limite avec le taux d'accroissement seulement.

Finalement, on peut aussi avoir une forme utilisant une fonction "alternative" nommée "r" tendant vers "0" quand son paramètre "x" tend vers "0" :

Ici, notre valeur "s" est donc une approximation de comment "f" croît en "a" (en sachant que les 3 formules sont équivalentes). De plus, "s" est nommé le nombre dérivé de "f" en "a", et représente la forme "locale" de la dérivation. Si ce nombre existe, il est unique, et l'on dit que la fonction "f" est dérivable en "a". Pour être utilisable, il faut obligatoirement que "f" soit définie et continue (pour utiliser la limite) dans le voisinage de "a".

On peut étendre ce concept avec le concept d'ensemble. En effet, si pour toute valeur d'un ensemble précis, une fonction admet un nombre dérivé, alors la fonction est dite dérivable. Finalement, l'ensemble de toutes les valeurs où "f" est dérivable est nommée le domaine de dérivabilité de la fonction. Bien évidemment, si une fonction est dérivable en un point / sur un ensemble, cette fonction est définie et continue sur cet ensemble (bien que l'inverse ne soit pas vrai, et représente même une erreur courante).

Il est possible de rendre ce concept plus pratique, en utilisant le formalisme des fonctions, avec les fonctions dérivées. En effet, la fonction dérivée d'une fonction "f" est une nouvelle fonction définie sur l'ensemble de dérivabilité de "f", qui transforme "x" en le nombre dérivé de "f" en "x". C'est un moyen d'exprimer le concept de dérivation avec une fonction entière. Pour noter la fonction représentant la fonction dérivée d'une autre, il existe beaucoup de notations, toutes historiques, et provenant de mathématiciens différents. Pour les exposer, posons une fonction réelle quelconque "f".

Historiquement, la première notation est dût à un mec intelligent. Elle utilise une idée assez simple : la variable muette "d". En fait, "d" est sensé représenté un accroissement infinitésimal de ceux à quoi il est accoler. Donc, "df" représente une variation infinitésimal de l'image de "f", et "dx" représente une variation infinitésimal du paramètre "x". On peut donc noter :

Dans ce cas, une variation infinitésimal de "f" représente 3 fois une variation infinitésimal de "x" : le nombre dérivé en ce "x" est "3". Généralement, on divise par "dx" des deux côtés. Donc, on se retrouve avec cette notation (la première est la fonction, et la deuxième est une valeur de la fonction) :

Ce n'est généralement pas la façon la plus utilisée en mathématique pure. En effet, la notation la plus utilisée en mathématique est dût à un mec intelligent. Ici, l'idée est de noter la fonction dérivée de "f" avec une apostrophe sur le côté : elle se noterait donc "f'".

Prenons un exemple assez simple : la fonction qui transforme "x" en "3 * x²". Comme nous l'avons vue, cette fonction est dérivable et continue sur tout "R" : essayons de généraliser le calcul de ses nombres dérivés.

Or, toutes les valeurs "6 * x" sont définies et bien utilisable : tout nombre dérivé de "3 * x²" s'écrit "6 * x". Donc, l'expression de la fonction dérivée de "3 * x²" est "6 * x".

De manière similaire, on peut démontrer un résultat assez intéressant : toute fonction définie via un monôme de la forme "a * x ^ b" avec "a" un réel différent de "0" et "b" un entier naturel différent de 0 admettent pour dérivée "a * b * x ^ (b - 1)". La démonstration est un peu technique : considérons cette fonction "a * x ^ b" et trouvons sa dérivée. Pour cela, nous aurons besoin d'utiliser des propriétés algébriques précises, comme le binôme de Newton :

Ici, les seules valeurs qui ne tendront pas vers 0 sont les monômes du développement contenant un seul "h" (ou"h exposant 1") à la fin, et ceux n'en contenons pas du tout. Déjà, la seule partie que ne contient pas de "h" est la partie où "k = 0", et donc où la partie du développement vaut "a * x ^ b" : cette partie va se faire annuler par la soustraction à droite du développement. En suite, la partie du développement contenant un seul "h" n'arrivera que quand "k" sera égal à "1". Appelons toutes les autres parties du polynôme (avec plusieurs "h", ou "h exposant n" avec "n" strictement supérieur à 1) "p".

Donc, toute fonction définie via un monôme de la forme "a * x ^ b" avec "a" un réel différent de "0" et "b" un entier naturel différent de 0 admettent pour dérivée "a * b * x ^ (b - 1)".

De manière analogue, on peut aussi facilement trouver la fonction dérivée de la fonction "sinus" et "cosinus". Commençons par le cosinus.

Utilisons la formule trigonométrique transformant "cos(h + a)" en "cos(h) * cos(a) - sin(h) * sin(a)".

Ici, on reconnait les limites fondamentales utilisant le "cosinus" et le "sinus" :

Donc, la dérivée de la fonction cosinus est la fonction sinus multipliée par "-1".

Quelques théorèmes pratiques

Avec les dérivées, nous pouvons énumérer beaucoup de théorèmes très pratiques. Commençons par un théorème assez simple, mais très important : le théorème de Fermat sur les points stationnaires (à ne pas confondre avec... tous les autres théorèmes de Fermat existants). Le théorème de Fermat sur les points stationnaires est un théorème qui stipule que si une fonction admet un extremum local en un point (et est dérivable au voisinage de ce point), alors la dérivée de la fonction en ce point est nulle. Intuitivement parlant, ce théorème est assez évident : si une fonction admet un extremum, alors il s'agit d'un point où la fonction arrête de croitre / décroitre, et ses variations infinitésimales en ce point sont donc nulles. La démonstration (juste ici) est assez simple, et un bon entrainement à la manipulation de limites.

Par exemple, pour la fonction "x²", sa dérivée est "2 * x", et la fonction "x²" admet un extremum en 0 : sa dérivée s'annule justement en 0.

Le deuxième théorème que nous allons voir est le théorème de Rolle (nommé en l'honneur du mathématicien français un mec intelligent). Le théorème de Rolle (ou lemme de Rolle) est un théorème garantissant que, entre deux points (distincts) de même image dans une fonction, il existe obligatoirement une valeur de la fonction dérivée qui est égale à 0 entre ces deux points. Pour cela, il faut que la fonction soit continue entre ses deux valeurs incluses, et dérivable entre ses deux valeurs (pas forcément incluses).

La démonstration de ce théorème est extrêmement simple : si une fonction est continue sur un intervalle fermé, alors elle admet un minimum et un maximum local quelque part sur cet intervalle. Si "f(a) = f(b)", alors "f(a)" et "f(b)" sont soit les maximums, soit les minimums : si ils sont les maximums, les minimums sont atteints autre part, et si ils sont les minimums, les maximums sont atteints autre part. Donc, le théorème de Fermat sur les points stationnaires s'applique sur ces autres points : leur dérivé est donc nulle, et il existe bel et bien une valeur entre "a" et "b" tel que sa dérivée soit nulle. Graphiquement parlant, ce théorème est assez évident aussi. Prenons l'exemple de la fonction "x²" entre "-1" et "1" : "f(-1) = f(1)", et un point fait bel et bien s'annuler la dérivée au milieu (le point "0").

Finalement, parlons du dernier théorème : le théorème des accroissements finis. Le théorème des accroissements finis est un théorème garantissant que, entre deux points d'une fonction, il existe une des valeurs de la fonction dérivée entre ces deux valeurs qui vaut le taux d'accroissement de la fonction de départ entre ces deux points. Ce théorème est un peu moins évident, mais sa démonstration est assez facile (présente juste ici). Il peut se noter ainsi :

Graphiquement parlant, ce théorème stipule qu'il existe un point entre "a" et "b" tel que la tengante à la courbe de la fonction en ce point est parallèle à la droite formée par "a" et "b". Reprenons le cas de notre fonction "x²", avec "a = -1" et "b = 2" : le point que nous cherchons existe (ici, la valeur de la dérivée cherchée est de "1"), et se situe en "1/2".

L'arithmétique des dérivées

Comme pour les limites et la continuité, il existe une forme d'arithmétique sur les formes dérivées.

Commençons par l'addition. En effet, la somme / différence de deux fonctions admet comme dérivée la somme / différence des dérivées des fonctions de départ. La démonstration est assez simple, et est présente juste ici. Comme pour la continuité, ce théorème peut s'étendre à tout un intervalle, voir à tout un ensemble de définition.

On peut en déduire directement la dérivée d'une fonction polynomiale (puisque l'on à calculer la dérivée d'un monôme plus haut). Pour des raisons de rigueurs, nous nommerons les fonctions représentant chaque monôme de degré "k" avec la lettre "g".

Avec un exemple :

Généralement, le polynôme associé à la fonction dérivée de la fonction polynomiale d'un polynôme "P" est nommé "polynôme dérivé de P".

Continuons avec la multiplication, qui a un fonctionnement... assez bizarre. En effet, le produit de deux fonctions admet comme dérivée la somme du produit de "f'" et "g" et du produit de "f" et "g'". Ce résultat est bizarre, mais s'obtient assez facilement avec une démonstration précise (présente juste ici.), mais qui demande un peu d'intuition à obtenir seul. Nous pouvons prendre un exemple très simple : la fonction "f(x) = (2 * x + 1)(3 * x - 1)". La méthode la plus simple serait de développer cette forme, mais procédons plutôt à l'utilisation de cette propriéte de multiplication. Déjà, comme nous l'avons vue plus tôt, la dérivée de "(2 * x + 1)" est "2" et celle de "(3 * x - 1)" est "3". Si nous développions, nous aurions le polynôme "6 * x² + x - 1", qui admet comme dérivée "12 * x + 1". Avec notre formule du produit, la dérivée de cette fonction serait "2 * (3 * x - 1) + 3 * (2 * x + 1)", ce qui donne "12 * x + 1" : exactement comme prévu.

Maintenant, généralisons pour de bon ce type de formule, avec une règle très importante en calcul différentiel : la règle de la chaîne. La règle de la chaîne stipule que la dérivée d'une fonction "f" représentant la composée de deux fonctions "g" et "h" (sous la forme de la fonction "g(h)") en un point "x" se note "g'(h(x)) * h(x)". Avec ce théorème, nous pourrons utiliser des dérivées bien plus complexes, et assez facilement. Sa démonstration est un peu technique, mais abordable (présente juste ici).

Les primitives

Mathématiquement parlant, le concept de primitive d'une fonction représente la réciproque du concept de dérivée. En effet, une primitive d'une fonction "f" est une nouvelle fonction "F", tel que la dérivée de "F" est "f".

Les développements limités

Parlons un peu d'une façon intéressante d'approcher la courbe d'une fonction quelconque, grâce aux dérivées. Avant, faisons une "introduction intuitive" pour mieux aborder ce concept.

Si vous avez une fonction quelconque, et que vous connaissez sa valeur pour un point quelconque, vous pouvez obtenir une droite d'équation "y = f(a)". Prenons un exemple assez simple : la fonction sinus. L'image du nombre réel "0" par la fonction sinus est "0" : essayons de tracer cette fonctio, et cette droite :

Bien évidemment, cette droite et la courbe de notre fonction se coupent quand "x" vaut "0". Or, au voisinage de "0", la courbe n'est pas forcément égale à la droite, mais on peut clairement voir que la droite et la courbe se rapproche. Donc, la différence entre la valeur en "x" de la droite et de la courbe tend vers "0" quand "x" tend vers "0". On peut donc écrire la différence suivante :

Donc, il existe une fonction qui s'exprime de cette façon, et qui tend vers "0" quand "x" tend vers "0".

On peut donc dresser la relation suivante :

Comme "R(x)" tend vers "0", elle est donc négligeable devant "0", et donc elle est un petit "o" de "1". Donc, nours pouvons réécrire notre fonction "sin(x + h)" :

Cette relation n'est pas très intéressante, mais nous allons très vite grandement l'améliorer.

Pour nous rapprocher de la courbe, l'idée serait de trouver une façon d'exprimer notre fonction avec une fonction tendant vers "0" de manière "plus rapide", pous se rapprocher plus fort de la courbe. On cherche donc à trouver une nouvelle expression de la fonction, en remplaçant "o(1)" par une autre forme. En fait, nous pouvons trouver une expression de fonction comme ceci, grâce à une de nos définitions de la limite.

L'idée serait d'isoler le "f(a + x)", avec quelques manipulations algébriques.

Pour rappel, "R(x) * (x - a)" tend vers 0 quand "x - a" tend vers "0", donc "R(x)" est négligeable devant "x - a", qui est négligeable devant "1".

Donc, avec les informations que nous avons, nous pouvons préciser notre fonction en utilisant cette nouvelle forme, qui semble tendre plus vite vers "0" qu'une fonction "o(1)". Nous avons donc une forme qui devrait permettre de se rapprocher plus vite de "sin(x)" : nous avons une approximation plus précise de "sin(x)".

Si nous traçons ceci, nous avons exactement ce que nous voulions.

En voyant ça, nous aimerions tenter quelque chose : affiner de plus en plus notre fonction, pour s'approcher le plus possible de la fonction "sin" (ou de quelconques autres fonctions existantes). Or, comment plus avancer dans notre raisonnement ? Pour celà, nous allons avoir besoin de la fonction "sin'(x)", que nous allons obtenir en utilisant la même formule que nous avons utilisé ici, en remplaçant "sin" par sa dérivée. Comme la formule de la dérivation marche avec toutes les fonctions dérivables, alors elle marche aussi avec la dérivée de "sin".

Ce résultat peut avoir l'air inutile, mais il va nous permettre de faire quelque chose de très pratique. Ici, l'idée est d'utiliser le formalisme des primitives, pour essayer de trouver la primitive de "sin'" en utilisant le développement que nous venons d'écrire. Dans ce cas, une primitive "F" de de "sin'" s'écrit donc :

Ici, la seule partie un peu bizarre est la suivante : "o(x)" devient "o(x²)". La démonstration n'est cependant pas très complexe. Pour rappel, un "o(x²)" est une fonction "r" négligeable devant "x²" en "0". On peut donc l'écrire ainsi :

Dérivons cette fonction grâce aux règles de dérivabilité vues plus tôt. Ici, "x²" devient "2 * x", et "p(x)" devient "p'(x)". Pour des raisons de simplicité, définissons la fonction "q" qui vaut "2 * p(x)" en "x".

Quand "x" tend vers "0", "p(x)" tend vers "0", et "x" aussi (évidemment). De plus, "p'(x)" est une fonction dérivée définie et continue en "x" : elle ne peut donc pas valoir "+ l'infini" en "x". Donc, elle ne peut pas tendre vers une valeur infinie : le produit de elle et d'une valeur tendant vers "0" tend aussi vers "0". On peut en déduire que "(q(x) + x * p'(x))" tend vers "0" quand "x" tend vers "0". Or, "r'(x)" est donc égal au produit de "x" et d'une valeur qui tend vers "0" quand "x" tend vers "0". Donc, par définition des formes négligeables, "r'(x)" est négligeable en "0".

Finalement, une primitive de "sin'(x)" est "sin", donc "sin" peut aussi s'écrire ainsi :

Notre "o(x)" est devenu un "o(x²)" (qui est lui même un "o(x)") : cette fonction s'approche plus vite de "0" que celle utilisant le "o(x)". Théoriquement, nous avons assez d'info pour dire que nous nous rapprochons de "sin" avec cette formule comparé à la première formule. Cependant, avec la fonction "sin", cette simple étape ne change rien à la partie principale.

Maintenant, essayons de généraliser ce système à toutes les fonctions possibles. Rapellons que :

C'est la même chose pour "f'(x)" :

Passons donc à la primitive.

Donc, ce système d'approche vers une fonction de reste négligeable devant "x²" fonctionne pour toutes les fonctions possibles. Avec ça, nous allons pouvoir approximer encore plus, en ré-itérant une étape. En effet, nous pouvons exprimer la dérivée de "f" en utilisant la formule utilisant le reste "x²" (ce qui n'était pas possible pour le "sin", car rien ne nous permettait de ré-écrire "sin'(x)" de cette façon).

On peut re-faire encore, encore et encore, autant de fois que nécessaire. Pour en finir avec les généralisation, faisons le cas où nous n'utilisons pas "f(0)" et ses dérivés, mais "f(a)" et ses dérivés. Cette étape est assez simple, puisqu'elle ne demande que d'adapter les formules vues avant, en changeant quelques petites choses précises.

Ici, nous pouvons voir quelque chose d'assez bizarre : nous multiplions par "x - a" et pas "x", comme pour les autres formes. En fait, on peut facilement remarquer que cela ne change rien après dérivation, en appliquant les règles calculatoires de la dérivation. De plus, cela nous permet de prouver que cette primitive de la dérivée de "f" est bien le même "f" qu'au départ, puisque cela nous permet d'affimer que la valeur en "a" de cette primitive est "f(a)", comme voulu. Finalement, le passage d'un reste à l'autre est assuré par les propriétés générales des fonctions négligeables (si une fonction est négligeable devant "x", elle l'est devant "x - a", et la réciproque est vraie).

D'ailleurs, on peut formaliser ce concept facilement, grâce à ce que l'on appelle la formule de Taylor-Young. La formule de Taylor-Young est une formule permettant de représenter une fonction comme la somme d'un polynôme quelconque et d'un reste négligeable devant le monôme de degré maximal de ce polynôme. Cependant, il faut bien s'arrêter un moment dans la représentation de cette formule. Ici, on arrête notre formule après un certain degré du polynôme principal (après lequel on rajoute le reste négligeable), représentant un nombre entier naturel nommé le degré de la formule. Avec tout ce que nous venons de faire, dresser cette formule sera assez simple.

Généralement, cette formule est couplé avec un théorème précis : le théorème de Taylor. En fait, le théorème de Taylor garantit l'égalité entre une fonction quelconque et son développement avec la formule de Taylor-Young. Dans le cas où "a = 0", on parle de formule de Taylor-Maclaurin.

Avec ce que l'on vient de voir, on peut appréhender un concept qui va nous permettre de faire cela, sous le nom de développement limité. Un développement limité d'une fonction "f" est un moyen d'approcher le voisinage d'un point sur cette fonction "f" grâce à une méthode calculatoire assez simple, avec un nombre limité d'opérations. Comprenez "approcher le voisinage d'un point sur une fonction" par "faire se rapprocher la courbe de la fonction et une courbe alternative se touchant en un point". C'est d'ailleurs ce fameux voisinage du point "a" qui se formule "a + h".

L'expression de cette formule est assez simple, et se caractérise par un nombre précis, nommé le degré du développement, généralement noté "n" (comme 95% des valeurs qui se formalisent avec des nombres entiers naturels). Pour une fonction "f", avec "x = a + h", cette formule (à l'ordre "n") s'écrit :

Chose très importante : les valeurs nommées derrière "b" sont des réels quelconques, et pas forcément des valeurs impliquant des dérivées. Or, la formule la plus simple de calcul de ces valeurs utilise des dérivés, et c'est pourquoi nous les avons utilisés pour notre "sin". Dans notre exemple, "a = 0" et la valeur "0" de "b" était "sin(a)", la valeur "1" de "b" était "sin'(a)", et nous nous sommes arrêté là (ce qui représente l'ordre "1" du développement), sans oublier le petit "o", bien sur. Il est à noter que cette approximation n'existe pas toujours, et que pour certaines fonctions, il n'existe pas de formule valide permettant d'approcher une fonction en un certain point.

L'intégration simple

Qu'est ce qu'est l'intégration ?

Après la dérivation, nous devons vous présenter son grand allié : l'intégration. Comme pour la dérivation, nous allons commencer par le cas le plus simple : les fonctions réelles. En fait, l'intégration est un moyen d'étudier de manière extrêmement précise l'aire sous les courbes dessinées par des fonctions réelles (entre la courbe de la fonction et l'axe des abscisses).

Des fonctions indispensables