Le chapitre 5
Le calcul différentiel
La dérivation simple
Qu'est ce qu'est la dérivation ?
Bien que nous introduisons ce concept assez tard, la dérivation mathématique est un outil important, et donc "l'intuition" est assez simple à obtenir. Pour l'utiliser, nous allons commencer par le cas le plus simple : les fonctions réelles. En fait, la dérivation est un moyen d'étudier de manière extrêmement précise les variations d'une fonction réelle (et donc, de savoir comment elle croît / décroît à un certain point / une certaine partie de la fonction). Comme la continuité, la dérivation permet d'étudier un simple point d'une fonction, comme tout un intervalle.
Pour parler de ce concept, nous avons besoin d'un autre concept : les approximations affines. Une approximation affine est une approximation du comportement d'une fonction réelle en un point précis. Ici, l'idée est d'obtenir la façon dont la fonction croît / décroît en un certain point précis. Pour cela, on va calculer une sorte de moyenne correspondant à cette donnée de la fonction en ce point. L'idée est que, en considérant un point "a" d'une fonction, on peut calculer la moyenne du grossissement de cette fonction entre "a" et un autre point "b", en calculant le grossissement total entre "f(b)" et "f(a)", et en le divisant par "b - a" pour en obtenir une sorte de moyenne. En fait, si l'on maintenait le grossissement de la fonction en "f(a)" sur l'intervalle entre "a" et "b", on attendrait "f(b)".
Graphiquement, on peut tracer une droite entre "f(a)" et "f(b)", dont le coefficient directeur est la valeur que nous venons juste de calculer. Puisqu'il s'agit d'une droite, on peut la représente comme une fonction affine, d'où le nom. Effectivement, cette droite s'écrit comme une fonction affine "c * x + d" où "c" est la valeur que nous venons de calculer ("t") et "d" est "f(a) - a * c".
On peut modifier un peu cette formule, en ajoutant une variable nommée "h" représentant "b - a", et en déduire une nouvelle formule un peu différente. Ici, cette formule est nommée taux d'accroissement de "f" en "a".
Ce concept nous permet donc d'approximer le grossissement d'une fonction entre "a" et "b", cependant on aimerait savoir le grossissement de la fonction en "a". Pour cela, l'idée est de se rapprocher très proche de "a", en utilisant le concept de limite. On doit donc modifier un petit peu notre formule, en stipulant que "b" tend vers "a", pour représenter ce concept.
On peut aussi utiliser cette formule pour en déduire une limite avec le taux d'accroissement seulement.
Ici, notre valeur "s" est donc une approximation de comment "f" croît en "a". De plus, "s" est nommé le nombre dérivé de "f" en "a", et représente la forme "locale" de la dérivation. Si ce nombre existe, il est unique, et l'on dit que la fonction "f" est dérivable en "a". Pour être utilisable, il faut obligatoirement que "f" soit définie et continue (pour utiliser la limite) dans le voisinage de "a".
On peut étendre ce concept avec le concept d'ensemble. En effet, si pour toute valeur d'un ensemble précis, une fonction admet un nombre dérivé, alors la fonction est dite dérivable. Finalement, l'ensemble de toutes les valeurs où "f" est dérivable est nommée le domaine de dérivabilité de la fonction. Bien évidemment, si une fonction est dérivable en un point / sur un ensemble, cette fonction est définie et continue sur cet ensemble (bien que l'inverse ne soit pas vrai, et représente même une erreur courante).
Il est possible de rendre ce concept plus pratique, en utilisant le formalisme des fonctions, avec les fonctions dérivées. En effet, la fonction dérivée d'une fonction "f" est une nouvelle fonction définie sur l'ensemble de dérivabilité de "f", qui transforme "x" en le nombre dérivé de "f" en "x". C'est un moyen d'exprimer le concept de dérivation avec une fonction entière. Prenons un exemple assez simple : la fonction qui transforme "x" en "3 * x²". Comme nous l'avons vue, cette fonction est dérivable et continue sur tout "R" : essayons de généraliser le calcul de ses nombres dérivés.
Or, toutes les valeurs "6 * x" sont définies et bien utilisable : tout nombre dérivé de "3 * x²" s'écrit "6 * x". Donc, l'expression de la fonction dérivée de "3 * x²" est "6 * x".
De manière similaire, on peut démontrer un résultat assez intéressant : toute fonction définie via un monôme de la forme "a * x ^ b" avec "a" un réel différent de "0" et "b" un entier naturel différent de 0 admettent pour dérivée "a * b * x ^ (b - 1)". La démonstration est un peu technique : considérons cette fonction "a * x ^ b" et trouvons sa dérivée. Pour cela, nous aurons besoin d'utiliser des propriétés algébriques précises, comme le binôme de Newton :
Ici, les seules valeurs qui ne tendront pas vers 0 sont les monômes du développement contenant un seul "h" (ou"h exposant 1") à la fin, et ceux n'en contenons pas du tout. Déjà, la seule partie que ne contient pas de "h" est la partie où "k = 0", et donc où la partie du développement vaut "a * x ^ b" : cette partie va se faire annuler par la soustraction à droite du développement. En suite, la partie du développement contenant un seul "h" n'arrivera que quand "k" sera égal à "1". Appelons toutes les autres parties du polynôme (avec plusieurs "h", ou "h exposant n" avec "n" strictement supérieur à 1) "p".
Donc, toute fonction définie via un monôme de la forme "a * x ^ b" avec "a" un réel différent de "0" et "b" un entier naturel différent de 0 admettent pour dérivée "a * b * x ^ (b - 1)".
L'arithmétique des dérivées
Comme pour les limites et la continuité, il existe une forme d'arithmétique sur les formes dérivées.
Commençons par l'addition. En effet, la somme / différence de deux fonctions admet comme dérivée la somme / différence des dérivées des fonctions de départ. La démonstration est assez simple, et est présente juste ici. Comme pour la continuité, ce théorème peut s'étendre à tout un intervalle, voir à tout un ensemble de définition.
On peut en déduire directement la dérivée d'une fonction polynomiale (puisque l'on à calculer la dérivée d'un monôme plus haut). Pour des raisons de rigueurs, nous nommerons les fonctions représentant chaque monôme de degré "k" avec la lettre "g".
Avec un exemple :
Généralement, le polynôme associé à la fonction dérivée de la fonction polynomiale d'un polynôme "P" est nommé "polynôme dérivé de P".
Continuons avec la multiplication, qui a un fonctionnement... assez bizarre. En effet, le produit de deux fonctions admet comme dérivée la somme du produit de "f'" et "g" et du produit de "f" et "g'". Ce résultat est bizarre, mais s'obtient assez facilement avec une démonstration précise (présente juste ici.).