Le chapitre 4

Chapitre 4 - démonstrations

Les anneaux et les corps

Les anneaux

4.0.0.0

Démontrons que, dans l'anneau "(Z, +, .)", tout sous-ensemble "nZ" (avec "n" un nombre entier naturel) de "Z" forme un sous-anneau de "(Z, +, .)". Déjà, nous avons démontré à plusieurs reprises que "nZ" est inclut dans "Z".

\forall a, \forall n \in N, a \in nZ \Rightarrow a \in Z

De plus, nous avons déjà démontré que le groupe "(nZ, +)" est un sous-groupe de "(Z, +)" : il est stable par l'addition. Finalement, la stabilité par la multiplication est aussi assez simple à prouver.

\forall a, b \in nZ, \exists c, d \in Z, a = n * c, b = n * d

a * b = (n * c) * (n * d) = n * (c * n * d) = n * e, e = (c * n * d)

Donc, l'anneau "(nZ, +, .)" est un sous-anneau de "(Z, +, .)"

Les polynômes

4.0.1.0

Démontrons que dire qu'un polynôme "P(X)" admet une racine "r" équivaut à dire que ce polynôme est divisible par "X - r". Procédons par double implication.

Prouvons que dire qu'un polynôme "P(X)" est divisible par "X - r" implique que "P(X)" admet une racine "r". Si "P" est divisible par "X - r", il existe un "Q(X)" tel que le produit de "Q(X)" et "X - r" donne "P".

\exists Q \in K[X], (X - r) * Q(X) = P(X) De manière évidente, "r" permet d'annuler "(X - r)". Par transitivité de l'égalité, "r" annule aussi "P(X)". X = r \Rightarrow (X - r) = 0 \Rightarrow (X - r) * Q(X) = P(X) = 0

Donc, dire qu'un polynôme "P(X)" est divisible par "X - r" implique que "P" admet une racine "r".

Prouvons qu'un polynôme "P(X)" admet une racine "r" implique que "P(X)" est divisible par "X - r". Pour cela, nous devons juste prouver l'existence d'un polynôme "Q" tel que "X - r" multiplié par "Q" donne "P". Cela implique que la division euclidienne de "P(X)" par "X - r" (qui existe bel et bien) donne un reste nul.

P(X) = Q(X) * (X - r) + R(X)

Nous savons qu'une division euclidienne de polynômes est unique. Donc, la division euclidienne de ce polynôme pour "X = r" est exactement la même que pour tous "X". Or, si "X = r", "P(X) = 0" et "Q(X) * (X - r) = 0" : il n'y a pas besoin de reste, qui est bel et bien nul.

X = 0 \Rightarrow (P(X) = Q(X) * (X - r) + R(X) \land R(X) = 0 \Leftrightarrow P(X) = Q(X) * (X - r)) \Rightarrow R(X) = 0

Donc, un polynôme "P(X)" admet une racine "r" implique que "P(X)" est divisible par "X - r".

Les deux implications sont vérifiées : dire qu'un polynôme "P(X)" admet une racine "r" équivaut à dire que ce polynôme est divisible par "X - r".

Les espaces vectoriels

Les applications linéaires

4.1.0.0

Démontrons que, pour tout "w" et "z" appartenant à "R", l'application allant de "R²" vers "R²" transformant "(x, y)" en "(w * x, z * y)" est linéaire. Déjà, la première propriété est respectée, et l'on peut le vérifier de manière algébrique.

\forall a, b \in R^{2}, \exists x, x', y, y' \in R, a = (x, y), b = (x', y'), f(a + b) = f(x + x', y + y') = (w * (x + x'), z * (y + y')) = (w * x + w * x', z * y + z * y') = (w * x, z * y) + (w * x', z * y') = f(a) + f(b)

La deuxième propriété est aussi vraie, et ce n'est pas si difficile que ça à démontrer non plus.

\forall a, b \in R^{2}, \exists x, y, c \in R, a = (x, y), f(c * a) = f(c * x, c * y) = (w * c * x, z * c * y) = c * (w * x, z * y) = c * f(a)

Finalement, "f(0, 0) = (0, 0)", donc cette application est belle est bien linéaire. Donc, pour tout "w" et "z" appartenant à "R", l'application allant de "R²" vers "R²" transformant "(x, y)" en "(w * x, z * y)" est linéaire.