Le chapitre 4

Des structures algébriques avancées

Qu'est ce qu'est un anneau ?

L'anneau est une structure algébrique très importante, et la première que nous introduirons avec deux lois de compositions internes. En algèbre, un anneau (aussi nommé anneau unitaire) est une structure algébrique définie sur un ensemble, avec deux lois de compositions internes : une formant un groupe abélien, et une formant un monoïde, distributive par rapport à la première. Il est aussi possibble de voir le terme "anneau" abrégé en tant que "anneau unifère" (ou "anneau unitaire"). Cette notation vient du fait que certains auteurs les différencient (selon eux, un "anneau" n'a pas forcément de neutre pour la multiplication) : nous ne feront pas la différence ici. Rappelons toutes les propriété nécéssaire, pour un anneau "A" muni d'une opération "+" et ".".

La structure (A, ¤) est un groupe abélien.

"¤" est associative :

"¤" permet à E d'admettre un neutre :

"¤" permet à chaque élément de E d'admettre un opposé :

"¤" est commutative :

La structure (A, .) est un monoïde.

"." est associative :

"." permet à E d'admettre un neutre :

La loi "¤" est algébriquement lié à ".".

"." est distributive à gauche par rapport à "+" :

"." est distributive à droite par rapport à "+" :

Si la deuxième loi est "." commutative, alors l'anneau est dit "commutatif". La branche de l'algèbre qui étudie les anneaux commutatifs se nomment "l'algèbre commutative".

Si l'anneau ne comporte pas de diviseur de 0 (autre que 0), il est dit "intègre".

L'exemple le plus simple est l'anneau formé par "Z", et par l'addition et la multiplication sur "Z". Cet anneau est commutatif et intègre.

Les sous-anneaux, idéaux et anneaux quotients

Comme il existe des sous-groupes de groupes, il existe des sous-anneaux d'anneaux. Un sous-anneau A d'un anneau B est un anneau sur un sous-ensemble de l'ensemble de A, où l'addition forme un sous-groupe du groupe additif de "A", où "B" est stable par la multiplication et où le neutre de la multiplication de "A" se situe dans "B". Leurs propriétés sont très proches de celles des sous-groupes. En fait, un sous-anneau est un anneau sur un ensemble représentant un sous-ensemble de l'ensemble de départ. Donc, il est stable par l'addition et par la multiplication. Un exemple assez simple est l'anneau "(2Z, +, .)", qui est un sous-anneau de "(Z, +, .)". Déjà, nous avons démontré à plusieurs reprises que "2Z" est inclut dans "Z".

De plus, nous avons déjà démontré que le groupe "(2Z, +)" est un sous-groupe de "(Z, +)" : il est stable par l'addition. Finalement, la stabilité par la multiplication est aussi assez simple à prouver.

Donc, l'anneau "(2Z, +, .)" est un sous-anneau de "(Z, +, .)" De plus, de manière similaire, on peut démontrer que, pour tout "n" dans "N", l'anneau "(nZ, +, .)" est un sous-anneau de "(Z, +, .)"(démontré ici).

Bien qu'il existe plein de catégories de sous-anneaux différents, parlons d'un des plus intéressants : les idéaux. Un idéal A d'un anneau B est un sous-anneau de B où tous les éléments de "A" restent dans "A" si ils sont multipliés par un quelconque élément de "B". Il s'agit donc d'un sous-anneau stable par la multiplication des éléments de l'anneau entier. Pour un idéal "A" d'un anneau "B", on peut écrire :

Prenons un exemple très simple : pour tout "n" dans "N", l'anneau "(nZ, +, .)" est un idéal de "(Z, +, .)". La démonstration est extrêmement simple : comme tout élément de "nZ" s'écrit sous la forme "n * c" (avec "c" un nombre entier décimal quelconque), le multiplier par un élément de l'anneau revient à multiplier "c" par un élément de l'anneau, ce qui donne "n" multiplié par quelque chose : un élément de "nZ".

Comme pour les groupes, si l'anneau n'est pas commutatif, alors on peut parler d'idéal à gauche / à droite selon la multiplication est stable à gauche ou à droite. Si l'anneau est commutatif, ces deux termes sont confondus.

Les anneaux principaux et euclidiens

Les anneaux principaux et euclidiens sont des anneaux extrêmement importants pour étudier le concept de division en mathématiques, de manière plus avancée qu'avec des nombres entiers.

Qu'est ce qu'est un corps ?

Un corps représente une version des anneaux possédant plus de propriétés. En effet, un corps est un anneau où chaque élement (non-nul) possède un inverse par la deuxième opération. La deuxième opération permet donc de former un groupe avec l'ensemble associé au corps.

La structure (E*, .) est un groupe.

Comme pour les anneaux, un corps dont la deuxième loi est commutative est nommée un corps commutatif. Selon les auteurs, tous les corps sont commutatifs, mais nous allons dire ici que seul les "corps commutatifs" le sont.

Grossièrement, un corps est une structure algébrique où l'on peut utiliser les opération "+", "-", "*" et "/". L'exemple le plus simple est le corps formé par "Q", et par l'addition et la multiplication sur "Q".

Le corps le plus utile est probablement le corps formé par "R", et par l'addition et la multiplication sur "R".

Il est possible de trouver des corps qui contiennent d'autres corps, grâce au concept d'extension de corps. Une extension de corps "K" est un couple composé d'un corps "L" tel que "K" soit un sous-corps de "L", et d'un morphisme de "K" dans "L". Généralement, quand on parle d'extension, on parle juste du corps, et pas du morphisme. L'exemple le plus simple est le corps "(R, +, .)", qui est une extension du corps "(Q, +, .)".

Les polynômes

Qu'est ce qu'est un polynôme

Plus tôt, nous avons à de multiples reprises envisagé des fonctions de la forme "a * x ² + b * x + c". Cependant, ce concept se généralise assez facilement, grâce aux polynômes. Un polynôme est une forme précise d'objet mathématique, représentant la somme du produit d'éléments (nommés coefficients) dans un corps quelconque par des indéterminés d'un corps quelconque (qui peut être le même, mais pas obligatoirement) élevés à des exposants naturels. Par exemple, "4 * x² + 8" est un polynôme. De plus, un monôme est une forme précise d'objet mathématique, représentant le produit d'éléments (nommés coefficients) dans un corps quelconque par des indéterminés d'un corps quelconque (qui peut être le même, mais pas obligatoirement) élevés à des exposants naturels (et donc, un polynôme ne contenant pas de somme). C'est la version "simplifiée" du polynôme. Ici, l'indéterminée s'écrit généralement "x", ou "X". Pour construire rigoureusement un polynôme, on peut procéder de la sorte :

Une confusion assez courante est de mélanger le concept de polynôme et de fonction. En effet, un polynôme n'est qu'une formule, et pas une application, il ne s'agit donc pas directement d'une fonction. Cependant, il est assez courant de définir une fonction via un polynôme, en définissant l'expression de la fonction comme le polynôme étudié. Dans ce cas, on parle de fonction polynomiale, et on l'a note généralement avec le même nom que le polynôme associé, avec une petite vaguelette sur le haut (pour un polynôme "P", cette vaguelette se dit avec le mot "tilde", ce qui donne "P tilde").

Les polynômes possèdent une arithmétique assez simple et intuitive. Déjà, il est possible d'additionner deux polynômes, en utilisant la première loi de composition du corps des coefficients des polynômes. Les lois restent exactement les mêmes que pour des indéterminées classiques, et les propriétés du corps sont conservés avec les polynômes (groupe additif abélien). La définition de cette multiplication est assez simple : on additionne entre eux les coefficients partageant des inconnus élevés au même exposant (d'où on en déduit les propriétés additives des polynômes).

En plus, il est possible de multiplier deux polynômes, en utilisant la seconde loi de composition du corps des coefficients des polynômes. Cela inclut certaines propriétés de la multiplication, comme l'associativité ou la distributivité. Pour la définir correctement, commençons par définir la multiplication entre un polynôme et un monôme. L'idée est de multiplier tous les coefficients du polynôme par celui de monôme et d'ajouter à chaque indéterminée du polynôme l'exposant du monôme (selon les lois de distributions du corps).

Donc, multiplier deux polynômes revient à en décomposer un en monôme, effectuer tous les multiplications comme vue, et d'additionner tous les résultats obtenus.

Généralement, l'ensemble de tous les polynômes sur un anneau "A" est noté "A[X]". De plus, les polynômes peuvent être munis d'une addition et d'une multiplication : l'ensemble des polynômes sur un anneau (unitaire) forme un nouvel anneau unitaire.

Les racines de polynômes

Une des caractéristiques des polynômes est l'ensemble de leurs racines. En fait, une racine d'un polynôme est une valeur tel que, si on la substitue à l'indéterminée du polynôme, la valeur obtenue est "0". C'est un nombre qui "annule" le polynôme. Un exemple assez simple : prenons le polynôme à coefficients dans "Q" s'écrivant "X² + X - 2". Ce polynôme est très simple, suffisamment pour pouvoir en déduire de tête des racines "évidents" : "1" et "-2". Nous pouvons confirmer graphiquement ces résultats.

Nous pouvons ici effectuer une modification assez intéressante du polynôme. En effet, restons sur notre polynôme "X² + X - 2", et essayons de l'écrire sous la forme d'un produit de polynômes de degré inférieur. Déjà, quelque soit la forme avec laquelle nous écrirons ce polynôme, celui si s'annulera en "1" et en "-2". Donc, si on l'écrit sous la forme de produit de deux polynôme "Q" et "R", un des deux vaudra "0" en "1" et en "-2". Or, nous pouvons trouver deux polynômes s'annulant en "1" et en "-2" (qui sont par ailleurs les polynômes "les plus simples" s'annulant en ces valeurs) : le polynôme "X - 1" s'annule en "1", et "X + 2" s'annule en "-2". Si nous multiplions ces deux polynômes, nous obtenons quelque chose de formidable : "X - 1" multiplié par "X + 2" donne "X² + X - 2", notre polynôme de départ.

Ce résultat peut être généralisé. En effet, un polynôme quelconque admettant une racine quelconque "r" peut s'écrire comme le produit de "X - r" et d'un autre polynôme. De manière équivalente, un polynôme quelconque admettant une racine quelconque "r" est divisible par "X - r". En plus, la réciproque est aussi vraie : un polynôme quelconque divisible par "X - r" admet une racine "r". La démonstration (présente ici) est assez simple et n'utilise que des propriétés basiques de la division de polynômes.

Selon l'appartenance ou la non-appartenance de racines de polynômes à coefficients dans un corps K dans ce même corps K, on peut en déduire certaines propriétés sur le corps.

Un type précis de structure

Qu'est ce qu'est un espace vectoriel ?

Grâce aux corps, nous pouvons définir une nouvelle structure algébrique particulièrement utile : l'espace vectoriel. Un espace vectoriel est une structure algébrique construire à partir d'un corps, sur un ensemble quelconque (qui n'est pas forcément celui du corps), tel qu'il contient une opération (généralement une forme d'addition) formant un groupe abélien sur l'espace vectoriel et qu'il existe une loi externe à gauche sur l'espace vectoriel avec les éléments du corps (qui doit être associative, admettre un neutre et distributive à gauche par rapport à la première loi de l'espace vectoriel). Bien que ce concept puisse sembler complexe, il est la base de choses très importantes et basiques en mathématiques. Prenons un corps "K" sur un ensemble "A", et un espace vectoriel "E" sur un ensemble "B".

Dans ce cas, l'espace vectoriel "E" admet une addition, tel que cette addition forme un groupe abélien sur "B".

En suite, il existe une loi externe à gauche entre un élément de "A" et un élément de "B" vers un élément de "B". Généralement, cette loi est notée comme une multiplication, avec généralement un "*".

Attention : il est impossible d'utiliser cette loi entre deux éléments de "B", seulement entre un élément de "A" et un élément de "B". Cependant, il est possible d'utiliser cette loi sur une opération entre des élements de "A" qui donnent un nouvel élément de "A", avec une opérations entre des éléments de "B", qui donnent un nouvel élément de "B". Cette propriété va nous être très utile pour les propriétés qui suivront. Déjà, cette loi est associative, ce qui veut dire qu'opérer deux éléments "a" et "c" de "A" avec la deuxième opération du corps puis utiliser cette opération avec un élément "b" de "B" est égal à opérer "c" et "b", puis "a" au résultat. Si l'on considère la deuxième opération du corps comme une multiplication et la loi externe de l'espace vectoriel comme une multiplication aussi, alors cela revient à dire que l'ordre de réalisation des multiplications n'importent pas.

La distributivité à gauche s'écrit comme dans un anneau, à la différence prés qu'il faut faire attention à l'ordre des opérandes pour respecter l'opération :

C'est la même chose pour la distributivité à droite.

Finalement, l'élément neutre du corps pour sa deuxième opération est aussi un élément neutre pour cette opération...

Si vous avez toutes ces conditions grâce à un corps "K", vous avec un espace vectoriel sur "K". L'exemple le plus simple d'espace vectoriel sur "K" est... "K". En effet, "K" est un espace vectoriel sur lui même. Comme "K" est un corps, sa première loi est bel et bien un groupe abélien, et sa deuxième loi se comporte comme une opération d'un élément de l'ensemble de "K" et... de l'ensemble de "K" (avec associativité, neutre et distributivité).

Plaçons nous dans le corps le plus simple pour définir des espaces vectoriels : "R". Déjà, comme nous l'avons vue, "R" est un espace vectoriel sur lui même. Or, il est possible de construire des ensembles de tous les "n-uplets" de "R", qui sont eux aussi des espaces vectoriels(généralement, nous noterons ces ensembles "R exposant n", comme avec un produit cartésien). Il faut cependant bien définir leurs propriétés. Déjà, nous allons définir une opération d'addition entre les "n-uplets", où la somme de deux "n-uplets" donne un nouveau "n-uplet" ou le k-ième élément du résultat représente la somme du k-ième élément du premier "n-uplet" et du k-ième élément du second "n-uplet". Comme cette opération se comporte comme plusieurs additions dans "R" disjointes, alors la structure de ces "n-uplets" et de cette opération ont les mêmes propriétés que dans "R" : un groupe abélien par cette addition.

En suite, nous allons définir une opération entre ces "n-uplets" et "R", où l'on multiplie chaque élément du "n-uplet" par un élément de "R". Comme cette opération se comporte comme plusieurs multiplications dans "R" disjointes, alors la structure de ces "n-uplets" et de cette opération ont les mêmes propriétés que dans "R" : associativité, neutre (1) et distributivité.

Donc, "R exposant n" est un espace vectoriel sur "R". C'est d'ailleurs grâce à ce résultat que l'on peut démontrer que "R exposant 2" et "R exposant 3" sont des espaces vectoriels sur "R". Grâce à ce résultat, on peut lier géométrie et algèbre, puisque le plan 2D et l'espace 3D sont tout deux des espaces vectoriels. Ce résultat nous donne une façon précise de définir certains types précis de transformation géométrique, grâce à de l'algèbre.

Comme pour beaucoup de structures algébriques de ce genre, si il existe un "espace vectoriel", il existe la notion de "sous-espace vectoriel". Un sous-espace vectoriel est une structure algébrique construire à partir d'un espace vectoriel, sur un ensemble inclut dans l'espace vectoriel de départ, et où les éléments de cet ensemble sont stables par addition et par multiplication par un scalaire. Un exemple très simple : l'ensemble des vecteurs de la forme "(a, 0)" avec "a" un nombre réel quelconque de "R²" forme un sous-espace vectoriel de "R²". En effet, additionner deux éléments de ce genre "(b, 0)" et "(c, 0)" revient à calculer "(b + c, 0)" (qui appartient toujours à cet espace), et multiplier "(d, 0)" par un réel "e" revient à calculer "(e * d, 0)" (qui appartient toujours à cet espace). Graphiquement parlant, ce sous-espace vectoriel de "R²" représente... la droite des abscisses.

Avec ce concept, on peut en introduire un autre qu'il lui est directement lié : les vecteurs. Un vecteur est un élément quelconque d'un espace vectoriel. Par exemple, dans l'espace vectoriel formé par "R²" (comme défini plus haut), "(4, 8)" est un vecteur.

Les espaces vectoriels possèdent aussi des propriétés permettant de définir un type de formule précis : les combinaisons linéaires. Une combinaison linéaire est un type de formule possible dans un espace vectoriel sur un corps "K", représentant la somme de produits d'éléments de "K" et de vecteur de l'espace vectoriel. Le nom "linéaire" provient du fait qu'une combinaison linéaire est une somme de termes représentant des fonctions linéaires (un scalaire multiplié par un vecteur de l'espace). En fait, une combinaison linéaire dans un espace vectoriel représente une valeur qui est toujours dans l'espace vectoriel, puisque le produit d'éléments de "K" et de vecteurs donne un vecteur, et la somme de vecteurs donne un vecteur. Grâce à ça, on peut utiliser des indéterminées facilement dans un espace vectoriel, en représentant des éléments de "K" indéterminées, ou même des vecteurs indéterminées, permettant de résoudre des équations. Voici quelques exemples de combinaisons linéaires possibles, dans "R²".

Ici, toutes ces combinaisons donnent des résultats nets et précis. Or, il existe des équations formulables avec des équations linéaires ne possédant aucune solution dans "R²".

Les combinaisons linéaires vont aussi nous permettre d'énumérer un fait très important. En effet, pour un vecteur donné, il est possible d'obtenir tout un ensemble de nouveau vecteur avec une combinaison linéaire de ce vecteur. Ici, si l'on nomme ce vecteur "u", alors toutes les combinaisons linéaires possibles avec ce vecteur sont de la forme "a * u", où "a" est un nombre réel quelconque. Par exemple, avec le vecteur "(1, 1)", vous pouvez formuler tous les vecteurs de la forme "a * (1, 1)", comme "(2, 2)", "(72, 72)", "(-0.1475, -0.1475)"...

Nous pouvons faire la même chose avec tous les vecteurs possibles. Par exemple, prenons le vecteur "(1, 0)" : nous pouvons engendré "(3, 0)", "(pi, 0)" ou "(-0.000000000001, 0)". Ici, nous pouvons obtenir une combinaison linéaire de nos deux vecteurs d'exemple : "(1, 1)" et "(1, 0)". Nous obtenons donc une combinaison linéaire de la forme "a * (1, 1) + b * (1, 0)" avec "a" et "b" des nombres réels quelconques. Ici, on peut se poser une question : quel est l'ensemble précis des vecteurs calculables via cette combinaison linéaire? Quelques exemples peuvent s'obtenir en remplaçant "a" et "b" par des valeurs connues.

Prenons un exemple bien plus aléatoire : "(55, -44)". Ici, nous pouvons poser une équation qui devrait nous permettre de trouver une solution, si elle existe.

Vous pouvez prendre autant de valeurs que vous le voulez : vous trouverez toujours des valeurs fonctionnelles pour "a" et "b". Et donc, une question se pose : est ce que tout "R²" est obtensible avec une simple combinaison linéaire de "(1, 1)" et "(1, 0)"? Pour cela, considérons un vecteur "(x, y)" quelconque (faisant partie de "R²"), et voyons si, pour tout "x" et "y", nous pouvons trouver un "a" et un "b" fonctionnelle. Posons cela sous la forme d'une équation.

Or, ici, "y" est bel et bien un réel, et "x - y" aussi : tout "(x, y)" possède des "a" et "b" fonctionnelles, tout "(x, y)" de "R²" peut s'écrire comme une combinaison linéaire de "(1, 1)" et "(1, 0)". En procédant de manière similaire, on peut trouver plein de couples de vecteurs permettant aussi d'écrire tout "R²" : "(1, 1)" et "(1, 2)", "(1, 0)" et "(1, 1)", "(5, 100)" et "(5, 101)".... À l'inverse, nous pouvons trouver des couples de vecteurs, comme "(1, 0)" et "(-3, 0)", pour lesquelles l'ensemble des vecteurs obtensible par combinaison linéaire n'est pas "R²". Dans l'exemple pris ici, on démontre que l'ensemble des vecteurs obtenus ne représente pas "R²", car un élément de "R²" pris arbitrairement (bien qu'il y en ai une infinité possible) est absent de ces valeurs.

Dans tous les cas, nous formons un ensemble constitué d'une certaine quantité de vecteurs (ici 2), qui permettent d'obtenir des vecteurs possibles dans l'espace. Généralement, pour parler d'ensemble de vecteurs, on utilie le terme de famille. En mathématiques, une famille est une généralisation du concept de suite. Donc, nous définissons des ensembles de vecteurs, que nous nommons des familles de vecteurs, tel que leur combinaison linéaire puisse représenter des espaces quelconques.

Avec ces combinaisons linéaires, nous pouvons en déduire un théorème extrêmement important : l'ensemble des vecteurs calculables avec une combinaison linéaire d'un espace vectoriel quelconque avec une famille de vecteurs fixés et des coefficients "libres" dans le corps est un sous-espace vectoriel de cet espace vectoriel de départ. La démonstration de ce théorème est très simple, et est parfaitement algébrique. Déjà, rappelons la définition d'une combinaison linéaire (et rappelons que, algébriquement parlant, tout élément d'une combinaison linéaire appartient à l'espace vectoriel, validant la première condition disant que l'ensemble du sous-espace vectoriel doit être inclut dans l'ensemble de l'espace).

Déjà, nous pouvons facilement prouver la stabilité par l'addition, en additionnant deux combinaisons de même famille de vecteurs entre elles.

Petit point important : ici, quand nous disons que les vecteurs sont fixés, nous voulons dire que, dans une opération de combinaisons linéaires, les vecteurs doivent rester les mêmes. Cependant, cela n'empêche pas que cela fonctionne pour toute famille de vecteur possible (comme nous l'avons quantifier au début de la démonstration), choisi au préalable. Finalement, on peut facilement prouver la stabilité par la multiplication par un scalaire.

Les deux stabilités demandées sont bel et bien respectées : tout ensemble formé des vecteurs calculables avec une combinaison linéaire dans un espace vectoriel donne un sous-espace vectoriel de ce même ensemble.

Avec ceci, nous pouvons introduire un concept primordial en algèbre linéaire : les sous-espaces vectoriels engendrés. Un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs "A" est un sous-espace vectoriel dont les éléments ne représentent que des combinaisons linéaires des vecteurs de la famille "A". Une grande partie des théorèmes d'algèbre linéaire s'appuient entièrement sur ce concept. Généralement, pour une famille de vecteurs "f", le sous-espace vectoriel engendré par "f" est nommé "Vect(f)".

Intéressons nous à ce concept de famille de vecteur. Déjà, . Par exemple, la famille de vecteur de "R²" "{(1, 1), (3, 3)}" contient un vecteur que l'on peut obtenir par combinaison linéaires d'autres (ici, "3 * (1, 1) = (3, 3)"). Ce genre de famille a un nom : les familles liées. Une famille de vecteur est dite liée (ou linéairement dépendante) si l'un des vecteurs de la famille peut s'écrire comme combinaison linéaire non-nulle des autres vecteurs de la famille. Par définition, si une famille est liée à cause d'un vecteur "u", alors "u" appartient à l'espace vectoriel engendré par la famille de départ à laquelle on enlève "u". De même, tout multiple / combinaison linéaire de "u" appartient aussi à ce sous-espace vectoriel, et donc tout l'espace vectoriel engendré par "u" est aussi dans cet espace vectoriel. Pour une famille liée "f", voici la formalisation mathématique du concept (où "g" est la famille où "u" est exclu).

À l'inverse, une famille de vecteur est dite libre (ou linéairement indépendante) si aucun vecteur de la famille ne peut s'écrire comme combinaison linéaire non-nulle des autres vecteurs de la famille. Donc, on peut en déduire que le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteur liée à cause d'un vecteur quelconque est égal à celui engendré par la famille de vecteur sans ce vecteur "u".

Le type de famille de vecteur le plus utile est probablement la famille génératrice. Une famille de vecteur est dite génératrice si son sous-espace vectoriel engendré est l'entièreté de l'espace vectoriel de départ. Comme nous l'avons vue plus haut, c'est le cas de notre famille "{(1, 1), (1, 0)}" dans "R²". Il est possible de compléter ce concept, pour en obtenir un nouveau très pratique : une base d'un espace vectoriel. Une base d'un espace vectoriel est une famille libre et génératrice de cet espace vectoriel. Il s'agit de la donnée minimum nécessaire dans un espace vectoriel pour obtenir la valeur de chaque vecteur possible. Il existe d'ailleurs autant de base qu'il existe de famille de vecteur libre et génératrice.

Avec cela, nous allons "déterrer" un concept géométre que nous avons traité au chapitre3 : les coordonnées. En effet, en algèbre linéaire, les coordonnées d'un vecteur quelconque dans une base quelconque représentent les valeurs des scalaires à multiplier à chaque élément de la base pour obtenir le vecteur recherché. En d'autres termes, il s'agit des scalaires dans la combinaisons linéaire permettant de forme le vecteur de départ via cette base. Ici, les coordonnées dépendent évidemment du vecteur, mais aussi de la base choisie. Généralement, les coordonnées d'un vecteur "v" dans une base "b" se note "v indice b". Prenons un exemple simple dans "R2" : une base "B" représentant la base canonique, et la base "C" représentant une autre base.

Déjà, exprimer un vecteur avec des coordonnées donnée dans une base est extrêmement simple, puisque cela ne demande qu'une simple combinaison linéaire. Par exemple, trouvons les vecteurs de coordonnées "(4, 3)" dans la base "B" et "(5, 1)" dans la base "C".

Faisons l'opération inverse : trouver les coordonnées associées à un vecteur donné dans une certaine base. Il est très facile de trouver les expressions des vecteurs "(1, 0)" et "(1, 1)" dans la base canonique : il s'agit de "(1, 0)" et "(1, 1)".

Ici, le défi est de trouver les expressions des vecteurs "(1, 0)" et "(1, 1)" dans la base "C". La meilleure façon est de résoudre un petit système, permettant de trouver les valeurs des scalaires. C'est généralement de cette façon que nous fairons pour passer des coordonnées d'une base à une autre facilement.

Donc, nous avons trouver les scalaires permettant de former ce vecteur dans la base "C" : il s'agit de ses coordonnées dans cette même base.

Si nous voulons formuler ces systèmes de manière plus précise, pour un vecteur "v" exprimé dans une base "b" :

Ou, avec chaque élément de "v" un à un :

Un (autre) exemple dans "R2" est présent juste ici.

Avec les bases, on peut définir un des concepts les plus importants des espaces vectoriels : la dimension. La dimension d'un espace vectoriel (aussi nommée dimension de Hamel) est le cardinal commun de toutes ses bases. En effet, toutes les bases d'un espace vectoriel quelconque ont le même cardinal (la même taille). En réalité, ce résultat n'est pas si facile à démontrer : il demande l'utilisation d'un lemme, nommé lemme de Steinitz (démontré ici), qui permet d'en déduire ce théorème (démontré ici).

Ici, bien que nous considérons "E" entier, une conséquence de ce théorème stipule que si "f" et "g" sont deux familles libres qui ne génèrent pas "E" entier, mais un sous-espace vectoriel "F" de "E" (et qu'elles génèrent le même, bien évidément), alors "m = n". Pareil, ce théorème s'obtient en restreignant "E" au sous-espace vectoriel engendré : "f" et "g" en sont deux bases, et ont donc le même cardinal. Cependant, dans ce cas, la réciproque est fausse, on peut trouver des familles "f" et "g" de même dimensions qui ne génère pas le même sous-espace vectoriel de "E". De manière parfaitement logique, cela s'explique par le fait que passer à un sous-espace vectoriel requiert une implication dans le raisonnement ("F est un sous-espace vectoriel" implique que "toute base de "F ont le même cardinal", mais la réciproque de cette proposition ne veut rien dire), cassant l'équivalence (puisque l'on part d'un plus gros espace vectoriel, demandant de passer à un autre : le sous-espace vectoriel).

Les systèmes linéaires

Avant de traiter des systèmes linéaires, parlons des équations linéaires. Une équation linéaire est une équation où l'on cherche la valeur d'une inconnue dans un espace vectoriel, où nous savons que cette inconnue multiplié par un scalaire non-nul donne une autre valeur de l'espace vectoriel. Par exemple, une équation linéaire dans un l'espace vectoriel "R²" sur "R" peut être :

Résoudre ce genre d'équation est très facile :

Avec ça, nous allons pouvoir parler des systèmes linéaires. En fait, un système linéaire est un système d'équations composé d'équations linéaires. Par exemple, ceci peut être un système linéaire, dans un espace vectoriel sur "R" :

La façon la plus simple de résoudre ce genre d'équation reste la substitution.

Les applications linéaires

Les applications linéaires sont un objet élémentaire dans l'étude des espaces vectoriels. De manière un peu complexe, une application linéaire est un morphisme d'espace vectoriel sur un même corps "K". Il s'agit d'ici de la façon complexe de définir ce concept. En effet, une application linéaire est une application mathématique allant d'un espace vectoriel vers un autre (tous deux sur un corps "K"), tout en gardant une certaine "similarité" dans la façon dont l'application transforme des objets avant / après opération. Nous allons expliciter cette "similarité" dés maintenant. Déjà, utiliser une application linéaire sur un vecteur "a + b" (avec "a" et "b" des vecteurs du premier espace vectoriel et "+" est la première loi du premier espace vectoriel) revient à appliquer la première loi du deuxième espace vectoriel entre l'image de "a" puis de "b" par cette même application linéaire. Donc, on peut "prédire" le résultat d'une opération dans le deuxième espace vectoriel grâce au premier espace vectoriel et une application linéaire. Dans le cas d'une application linéaire "f" allant d'un espace vectoriel "E" vers un espace vectoriel "F" sur un corps "K", on note :

Deuxièmement, utiliser une application linéaire sur un vecteur "c * a" (avec "a" un vecteur du premier espace vectoriel, "c" un scalaire provenant de "K" et "*" est la deuxième loi du premier espace vectoriel) revient à appliquer la deuxième loi du deuxième espace vectoriel entre "c" et l'image de "a" par cette même application linéaire. Encore une fois, on peut "prédire" le résultat d'une opération dans le deuxième espace vectoriel grâce au premier espace vectoriel et une application linéaire.

Finalement, l'élément neutre du premier espace doit toujours avoir comme image l'élément neutre du deuxième espace par une application linéaire. Dire qu'une application entre deux espaces vectoriels respecte ces trois propriétés équivaut à dire que l'application est linéaire.

Prenons un exemple très simple : l'application allant de "R²" vers "R²", en transformant "(x, y)" en "(2 * x, 2 * y)". Cette application est parfaitement linéaire, et on peut facilement le démontrer. Déjà, la première propriété est respectée, et l'on peut le vérifier de manière algébrique.

La deuxième propriété est aussi vraie, et ce n'est pas si difficile que ça à démontrer non plus.

Finalement, "f(0, 0) = (0, 0)", donc cette application est belle est bien linéaire. On peut même généraliser ce résultat. Effectivement, on peut facilement montrer que toutes applications transformant "(x, y)" en "(w * x, z * y)" avec "w" et "z" des scalaires quelconques est linéaire. Ce résultat est démontré ici, et est très similaire à la démonstration que nous venons juste de voir.

Un résultat intéressant avec les applications linéaires concerne les bases d'espaces vectoriels. En effet, l'image d'une base de l'espace vectoriel de départ par une application linéaire représente une famille de vecteurs qui engendre l'image de l'application dans l'espace vectoriel d'arrivé. La démonstration de ce théorème (présente ici) utilise les résultats basiques de linéarité. D'ailleurs, selon le théorème de la dimension, si l'image de l'application dans l'espace d'arrivée est de dimension inférieure ou égale à celle de l'espace de départ, alors l'image de la base génère tout l'espace d'arrivée, et si ils ont les mêmes dimensions, alors l'image de la base est une base de l'espace d'arrivée.

Les matrices

Qu'est ce qu'est une matrice ?

Les matrices sont des objets très utilisées en algèbre linéaire. En fait, une matrice à valeur dans un ensemble représente intuitivement un tableau de valeurs de cet ensemble. Ici, il faut voir "tableau" comme un tableau à deux entrées, contenant donc des éléments de cet ensemble. Par convention, ces objets se notent avec des lettres majuscules.

Bien que très intuitive, cette définition manque de rigueur. D'un point de vue rigoureux, une matrice à valeur dans un ensemble représente un ensemble d'éléments de cet ensemble, indexé par le produit cartésien de deux ensembles de taille "b" et "c". Généralement, on n'indique même pas les ensembles de taille "b" et "c", et l'on met directement la taille de "b" et "c" pour définir une matrice, où les ensembles utilisés pour indexer la matrice sont donc "{1, 2, ..., b}" et "{1, 2, ..., c}". C'est dans ce genre de cas que la notation "tableau" devient extrêmement intuitive : le premier ensemble représente les lignes, et le deuxième représente les colonnes.

D'un point de vue "rigueur extrême", une matrice est donc une application allant du produit cartésien de ces deux ensembles vers des éléments de l'ensemble de départ. D'ailleurs, les images des valeurs des couples dans le produit cartésien des ensembles servant à l'indexage se note généralement avec la lettre utilisé pour noter la matrice en minuscule (pour notre matrice "A" il s'agirait donc de "a"), avec le couple du produit cartésien en indice. C'est d'ailleurs comme ça que nous allons utiliser une notation pour accéder à un élément précis de la matrice. En effet, un élément d'une matrice "A" à la ligne "y" et à la colonne "x" se note "A indice (x, y)". L'ordre est important : ligne, puis colonne. Reprenons notre matrice "A" :

On peut facilement noter toutes les valeurs de "A".

Selon les tailles de "b" et "c", on parle de dimension de la matrice. En effet, la dimension d'une matrice est un couple de nombre entier naturel contenant la taille de sa base de départ, puis de sa base d'arrivée.

Comme pour beaucoup d'objets mathématiques, il est possible de faire des opérations avec ces matrices. Si votre matrice représente des nombres, alors nous pouvons y définir une opération très utile : l'addition matricielle. En effet, l'addition matricielle est une opération entre deux matrices d'exacte même dimension, où chaque élément d'indice "a, b" du résultat représente la somme des éléments d'indice "a, b" des deux matrices. Cette opération est bien définie car les ensembles de nombres ont généralement une addition de définie. D'un point de vue définition, on peut noter la valeur de chaque élément de la matrice obtenue "C" pour l'addition de matrices "A" et "B" :

On peut même aller plus loin que ça. Selon les propriétés algébriques de l'ensemble de départ des matrices, on peut leur en déduire des propriétés précises, et bien plus complexes qu'une simple addition. Effectivement, si votre ensemble de départ peut former une structure algébrique précise possédant (au moins) une loi de composition interne, alors il est possible d'induire cette loi sur l'ensemble des matrices de même dimension, où chaque élément d'indice "a, b" du résultat représente la valeur après l'opération des éléments d'indice "a, b" des deux matrices. Cette propriété est immédiate de la façon même dont on écrit les éléments dans l'addition. Grâce à ça, on peut rendre cette addition plus permissive.

Nous pouvons définir une autre opération assez utile : la multiplication par un scalaire. Pour la définir, repassons dans un ensemble de matrices composés de nombres. Ici, la multiplication par un scalaire est une opération entre un élément de l'ensemble de départ (nommé un scalaire) et une matrice, où chaque élément d'indice "a, b" du résultat représente le produit de l'élément d'indice "a, b" et du scalaire. Encore une fois, cette opération est bien définie car les ensembles de nombres ont généralement une addition de définie. D'un point de vue définition, on peut noter la valeur de chaque élément de la matrice obtenue "C" pour la somme du scalaire "s" et de la matrice "A" :

Ici, il est difficile d'aller aussi loin que pour l'addition. Généralement, pour que cela fonctionne, il est conseiller de définir vos matrices sur un ensemble représentant un anneau ou un corps, pour que les propriétés de la multiplication soient justement aussi permissive que dans des anneaux ou des corps.

Vous l'aurez peut être deviné : avec ces deux lois, si l'ensemble de vos éléments de départ est un corps, nous pouvons définir l'ensemble des matrices comme un espace vectoriel de l'ensemble de départ. En effet, si l'ensemble de départ est un corps, l'addition matricielle est un groupe abélien, et la multiplication par un scalaire est associative, distributive et admet un neutre : il s'agit donc bien d'un espace vectoriel.

Parlons d'une autre opération, plus complexe mais très utile avec les matrices : le produit matriciel. Le produit matriciel est une opération entre deux matrices de dimension "a, b" et "b, c", donnant une nouvelle matrice de dimension "a, c" où chaque élément représente une somme de produits d'éléments de lignes et de colonnes. Soyons plus précis, avec une représentation graphique de deux matrices "A" et "B" de dimension "m, n" et "n, p", dont on va obtenir le produit matriciel.

L'idée ici est de définir une valeur précise pour chaque "c" de la matrice obtenue. En fait, pour un "c indice i, j", l'idée va être d'obtenir la somme du produit de chaque valeur de la "i-ième ligne" de la matrice à droite, et de la "j-ième" colonne de la matrice en haut.

Généralement, pour deux matrice "A" et "B", le produit matriciel de ces deux matrices se note comme une opération standard, utilisant généralement un "*", ou un "X".

Prenons un exemple avec deux matrices simples :

Ici, nous pouvons très facilement calculer chaque valeur de la matrice résultat, et donc obtenir la matrice résultat.

Le lien matrices - applications linéaires

En algèbre linéaire, il exist un très gros lien entre les matrices et les applications linéaires. En effet, une matrice associée à une application linéaire est une matrice dont les propriétés internes permettent de calculer facilement l'image d'un vecteur dans une base d'arrivée exprimé dans une base de départ. Ici, une matrice permet de (dans l'ordre) trouver un vecteur exprimé dans une base de départ, obtenir son image via une application linéaire, et exprimer ce vecteur dans une base d'arrivée. Généralement, une matrice de ce type est notée avec un nom, sa base de départ et sa base d'arrivée (en indice) puis (entre parenthèse) l'application linéaire qu'elle représente.

Ici, nous allons essayer de faire une chose précise : construire intuitivement ce genre de matrice, pour comprendre comment elles fonctionnent. Commençons par le cas le plus simple : passer de coordonnées d'un vecteur base quelconque aux coordonnées dans la base canonique. Ici, ce passage représente l'application linéaire identité de l'espace vectoriel de départ, en changeant juste la base (base donnée vers base canonique, qui représente donc l'écriture directe du vecteur). Imagineons que nous avons des coordonnées précises dans la base "b", que nous voudrions convertir dans la base canonique. Nous pouvons donc facilement calculer son vecteur associé.

Or, nous savons que les coordonnées du vecteur dans la base canonique ont les mêmes valeurs que les éléments dans le vecteur. Nous avons donc bel et bien dresser une façon de faire permettant de convertir facilement un vecteur. Cependant, on peut aller plus loin, en essayant de rendre cette façon de faire graphique. Pour cela, nous allons utiliser des matrices. Présentons notre résultat comme ceci :

Ici, nous avons dans nos cases en bas à droite les coordonnées du vecteur recherché. Graphiquement parlant, pour une case du vecteur recherché en bas à droite, obtenir sa valeur revient à prendre une à une les valeurs de sa ligne dans la partie bleue, de faire les produits avec l'élément d'indice l'élément actuellement traitée dans la ligne de la partie bleue, et de tous les sommer. En fait, il s'agit simplement du produit matriciel d'une matrice constituée des éléments de la base, et de la matrice représentant les coordonnées recherchées. C'est exactement le calcul que nous avons fait.

Tentons l'opération inverse : trouver les coordonnées dans une base donnée de vecteurs de coordonnées dans la base canonique. Encore une fois, ce passage représente l'application linéaire identité de l'espace vectoriel de départ, en changeant juste la base (base canonique vers base donnée, qui représente donc l'écriture du vecteur dans la base donnée). Pour rappel, si nous nommons notre base donnée "b", chaque valeur du vecteur "v" peut s'écrire :

Donc, nous obtenons tout un système, contenant un nombre "n" correspondant à la taille de "b" d'équations, et autant d'inconnus. Nous pouvons donc en extraire les coordonnées nécessaires, représentant toutes les valeurs de "a" nécessaires. Imagineons que nous faisons cela pour trouver les coordonnées des vecteurs de la base canonique dans la base "b". Appelons ces vecteurs "c de i", où "i" représente le "i-ième" vecteur de la base.

Ici, chaque coordonnées "c de i" représente les coordonnées du "i-èmes" vecteur de la base canonique dans la base "b". Donc, exprimer des coordonnées de cette base dans la base canonique (avec les calculs vues plus haut) revient à exprimer des coordonnées de la base canonique en des coordonnées de la base "b". En effet, ici, si vous cherchez la combinaison linéaire de vecteurs (ayant des coordonnées connues dans la base "b") pour obtenir leurs coordonnées dans la nouvelle base "c", vous obtenez en résultat les coordonnées du vecteur dans la base "b". Il s'agit donc de la réciproque du calcul de coordonnées pour un vecteur donné dans une base. Nous pouvons donc écrire "v" comme une combinaison linéaire de vecteurs de "c" et de coordonnées, que nous nommerons "d".

Avec ça, la conversion "base canonique" - "b" est assurée. Comme pour plus haut, on peut écrire ce type de calcul avec une nouvelle matrice, non plus composer des éléments de "b", mais composer des éléments de "c".

Ici, nous avons construit un type très précis de matrice : des matrices de changement de base. Une matrice de changement de base (ou matrice de passage) est une matrice permettant d'obtenir les coordonnées d'un vecteur dans une base "c", via l'expression de ce vecteur dans une autre base "b". Ces matrices représentent donc l'application identité, dans des bases différentes. Par exemple, dans "R²", la matrice passant de la base "(1, 0), (1, 1)" à la base canonique serait :

Finalisons cette construction intuitive, avec un exemple plus global. Considérons une application linéaire "f", allant d'un espace vectoriel "E" vers un espace vectoriel "F" (sur un corps "K"). Ici, nous allons considérer les bases comme quelconques. Considérons "b" une base de "E".

Selon un théorème vue plus haut, l'image des vecteurs de "b" forme une famille génératrice de l'image de "f". Appelons cette image "c".

Donc, pour tout vecteur "v" de "E", "f(v)" peut s'écrire comme une combinaison linéaire de vecteurs de "c". Par linéarité de "f", les coordonnées de "v" dans "b" sont les mêmes que les "coordonnées" de "f(v)" dans "c".

Nous obtenons donc une expression de "f(v)" dans "c". Cependant, nous avons un problème : nous ne savons pas si "c" est une base de "Im(f)" ou pas, car rien ne nous dit qu'elle est libre. Or, rappelons nous que tout vecteur d'un espace vectoriel peut s'exprimer avec une base de cet espace vectoriel, et que tout espace vectoriel possède au moins une base. Donc, chaque "c" peut s'exprimer comme coordonnées dans une base de l'espace vectoriel d'arrivée, que nous nommerons "d". Nous pouvons définir cette base comme bon nous semble, mais utilisons ici la façon la plus "globale".

Reformulons donc "f(v)" :

Ici, nous pouvons reconnaitre que la somme utilisant "n" représente un produit matriciel de deux matrices : l'une correspondant à la conversion des vecteurs de "c" en vecteurs de "d" via les "e", et l'autre correspondant à "a". Donc, donc, il s'agit de la conversion des "coordonnées" dans la famille "c" vers les coordonnées dans la base "b".

Appelons les (très moches) valeurs de ce résultat par "z". Au final :

Donc, nous avons obtenu via les coordonnées de "v" dans "b" les coordonnées de "f(v)" dans une base "d" de "Im(f)". Remarquons quelque chose d'intéressant : nous pouvons aussi mettre plusieurs autres coordonnées que les coordonnées "a".

En voyons ça, nous pourrions avoir envie de faire quelque chose : mettre une matrice d'une application linéaire en haut, et une autre matrice d'une application linéaire à gauche. Pour que cela marche sans problèmes, il faut que que l'ensemble de départ de la deuxième application soit l'ensemble d'arrivée de la première.

Ici, on peut voir que notre nouvelle matrice semble être une matrice d'une autre application linéaire. En fait, on peut prouver que cette nouvelle matrice représente la matrice associée à l'application linéaire de la composée des deux applications linéaires de départ(démontré ici).

Les espaces de Hilbert et la géométrie euclidienne

Les espaces vectoriels normés

Grâce aux concepts que nous allons introduire maintenant, nous allons pouvoir nous rapprocher vers une formalisation précise de la géométrie. Déjà, commençons à nous intéresser au concept de norme. En fait, . Il faut faire attention : cette application n'est pas un opérateur entre deux vecteurs quelconques : elle n'est donc pas une distance. Pour représenter une "distance à 0", il existe quelques propriétés très précises permettant de formaliser cette notion. Pour les expliciter, nous allons appeler cette norme "N", et l'espace vectoriel "E". Déjà, cette application est séparée : si un vecteur a pour image "0", il est obligatoirement le vecteur nul de l'espace.

En suite, cette application est homogène : si un vecteur a pour image "a", la multiplication de ce vecteur par un scalaire "b" a pour image "|b| * a". Ici, il est important de prendre la valeur absolue de "b", pour ne pas qu'un signe "-" vienne rendre le résultat négatif, ce qui est impossible par définition de cette application.

Finalement, cette application respecte une inégalité triangulaire : la norme de la somme de deux vecteurs "x" et "y" est inférieur ou égale à la somme de la norme du vecteur "x" et de la norme du vecteur "y". Comme pour les espaces métriques, cette inégalité triangulaire traduit que le chemin entre "0" et "x + y" et plus court que celui entre "x", 0 puis "y" : le chemin direct est plus court que de passer par un autre point.

Donc, un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d'une norme. Ici, un exemple s'impose pour mieux illustrer tout ça : prenons l'espace vectoriel "R²" du corps formé par "R". La question ici : comment définir une "norme" d'un élément de "R²" ? En fait, nous allons essayer de représenter cette norme comme la distance entre le vecteur que nous cherchons et le vecteur nul (que nous pourrions théoriquement obtenir avec une mesure à la règle), de manière algébrique. La façon généralement utilisée est la méthode utilisant le théorème de Pythagore : nous n'allons pas encore l'utliser pour l'instant.

Les espaces de Hilbert et le produit scalaire

Axiomatiquement parlant, introduire la géométrie n'est pas chose aisée. Cependant, nous allons pouvoir commencer sérieusement à s'y pencher, grâce aux espaces pré-hilbertiens, aux espaces de Hilbert et au produit scalaire.

Commençons par définir le concept de produit scalaire. Un produit scalaire est une opération sur un espace vectoriel, prenant deux vecteurs de l'espace et donnant comme résultat un scalaire du corps de l'espace vectoriel. Cette définition peut sembler similaire à celle de la distance entre deux vecteurs, mais elle offre une information en plus.

Déjà, un espace pré-hilbertien est un espace vectoriel muni d'une opération entre plusieurs vecteurs vers un scalaire, permettant de formaliser le concept "d'angle" dans cet espace.