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Le chapitre 4

Contenu

Les anneaux et les corps

Des structures algébriques avancées

Qu'est ce qu'est un anneau ?

L'anneau est une structure algébrique très importante, et la première que nous introduirons avec deux lois de compositions internes. En algèbre, un anneau (aussi nommé anneau unitaire) est une structure algébrique définie sur un ensemble, avec deux lois de compositions internes : une formant un groupe abélien, et une formant un monoïde, distributive par rapport à la première. Il est aussi possibble de voir le terme "anneau" abrégé en tant que "anneau unifère" (ou "anneau unitaire"). Cette notation vient du fait que certains auteurs les différencient (selon eux, un "anneau" n'a pas forcément de neutre pour la multiplication) : nous ne feront pas la différence ici. Rappelons toutes les propriété nécéssaire, pour un anneau "A" muni d'une opération "+" et ".".

A =(E,¤,.)

La structure (A, ¤) est un groupe abélien.

"¤" est associative :

∀a,b,c∈E,(a ¤ b) ¤ c =a ¤ (b ¤ c)

"¤" permet à E d'admettre un neutre :

∀a ∈E,∃m ∈E,a ¤ m =e

"¤" permet à chaque élément de E d'admettre un opposé :

∀a ∈E,∃o ∈E,a ¤ o =a

"¤" est commutative :

∀a,b ∈E,a ¤ b =b ¤ a

La structure (A, .) est un monoïde.

"." est associative :

∀a,b,c∈E,(a . b) . c =a . (b . c)

"." permet à E d'admettre un neutre :

∀a ∈E,∃n ∈E,a . n =e

La loi "¤" est algébriquement lié à ".".

"." est distributive à gauche par rapport à "+" :

∀a,b,c∈E,a . b ¤ a . c =a . (b ¤ c)

"." est distributive à droite par rapport à "+" :

∀a,b,c∈E,b . a ¤ c . a =(b ¤ c) * a

Si la deuxième loi est "." commutative, alors l'anneau est dit "commutatif". La branche de l'algèbre qui étudie les anneaux commutatifs se nomment "l'algèbre commutative".

∀a,b ∈E,a . b =b . a

Si l'anneau ne comporte pas de diviseur de 0 (autre que 0), il est dit "intègre".

¬(∃a,b ∈E*,a * b =0)

L'exemple le plus simple est l'anneau formé par "Z", et par l'addition et la multiplication sur "Z".

(Z,+,.)

Qu'est ce qu'est un corps ?

Un corps représente une version des anneaux possédant plus de propriétés. En effet, un corps est un anneau où chaque élement (non-nul) possède un inverse par la deuxième opération. La deuxième opération permet donc de former un groupe avec l'ensemble associé au corps.

K =(E,+,.)

La structure (E*, .) est un groupe.

∀a ∈E*,∃b ∈E,a . b =n

Comme pour les anneaux, un corps dont la deuxième loi est commutative est nommée un corps commutatif. Selon les auteurs, tous les corps sont commutatifs, mais nous allons dire ici que seul les "corps commutatifs" le sont.

∀a,b ∈E,a . b =b . a

L'exemple le plus simple est le corps formé par "Q", et par l'addition et la multiplication sur "Q".

(Q,+,.)
Contenu

Les espaces vectoriels

Un type précis d'espace

Qu'est ce qu'est un espace vectoriel ?

Grâce aux corps, nous pouvons définir une nouvelle structure algébrique particulèrement utile : l'espace vectoriel.