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Le chapitre 4

Contenu

Les anneaux et les corps

Des structures algébriques avancées

Qu'est ce qu'est un anneau ?

L'anneau est une structure algébrique très importante, et la première que nous introduirons avec deux lois de compositions internes. En algèbre, un anneau (aussi nommé anneau unitaire) est une structure algébrique définie sur un ensemble, avec deux lois de compositions internes : une formant un groupe abélien, et une formant un monoïde, distributive par rapport à la première. Il est aussi possibble de voir le terme "anneau" abrégé en tant que "anneau unifère" (ou "anneau unitaire"). Cette notation vient du fait que certains auteurs les différencient (selon eux, un "anneau" n'a pas forcément de neutre pour la multiplication) : nous ne feront pas la différence ici. Rappelons toutes les propriété nécéssaire, pour un anneau "A" muni d'une opération "+" et ".".

A =(E,¤,.)

La structure (A, ¤) est un groupe abélien.

"¤" est associative :

∀a,b,c∈E,(a ¤ b) ¤ c =a ¤ (b ¤ c)

"¤" permet à E d'admettre un neutre :

∀a ∈E,∃m ∈E,a ¤ m =e

"¤" permet à chaque élément de E d'admettre un opposé :

∀a ∈E,∃o ∈E,a ¤ o =a

"¤" est commutative :

∀a,b ∈E,a ¤ b =b ¤ a

La structure (A, .) est un monoïde.

"." est associative :

∀a,b,c∈E,(a . b) . c =a . (b . c)

"." permet à E d'admettre un neutre :

∀a ∈E,∃n ∈E,a . n =e

La loi "¤" est algébriquement lié à ".".

"." est distributive à gauche par rapport à "+" :

∀a,b,c∈E,a . b ¤ a . c =a . (b ¤ c)

"." est distributive à droite par rapport à "+" :

∀a,b,c∈E,b . a ¤ c . a =(b ¤ c) * a

Si la deuxième loi est "." commutative, alors l'anneau est dit "commutatif". La branche de l'algèbre qui étudie les anneaux commutatifs se nomment "l'algèbre commutative".

∀a,b ∈E,a . b =b . a

Si l'anneau ne comporte pas de diviseur de 0 (autre que 0), il est dit "intègre".

¬(∃a,b ∈E*,a * b =0)

L'exemple le plus simple est l'anneau formé par "Z", et par l'addition et la multiplication sur "Z".

(Z,+,.)

Les sous-anneaux, idéaux et anneaux quotients

Comme il existe des sous-groupes de groupes, il existe des sous-anneaux d'anneaux. Un sous-anneau A d'un anneau B est un anneau sur un sous-ensemble de l'ensemble de A, où l'addition forme un sous-groupe du groupe additif de "A", où "B" est stable par la multiplication et où le neutre de la multiplication de "A" se situe dans "B". Leurs propriétés sont très proches de celles des sous-groupes.

Qu'est ce qu'est un corps ?

Un corps représente une version des anneaux possédant plus de propriétés. En effet, un corps est un anneau où chaque élement (non-nul) possède un inverse par la deuxième opération. La deuxième opération permet donc de former un groupe avec l'ensemble associé au corps.

K =(E,+,.)

La structure (E*, .) est un groupe.

∀a ∈E*,∃b ∈E,a . b =n

Comme pour les anneaux, un corps dont la deuxième loi est commutative est nommée un corps commutatif. Selon les auteurs, tous les corps sont commutatifs, mais nous allons dire ici que seul les "corps commutatifs" le sont.

∀a,b ∈E,a . b =b . a

L'exemple le plus simple est le corps formé par "Q", et par l'addition et la multiplication sur "Q".

(Q,+,.)

Le corps le plus utile est probablement le corps formé par "R", et par l'addition et la multiplication sur "Q".

(R,+,.)
Contenu

Les espaces vectoriels

Un type précis d'espace

Qu'est ce qu'est un espace vectoriel ?

Grâce aux corps, nous pouvons définir une nouvelle structure algébrique particulèrement utile : l'espace vectoriel. Un espace vectoriel est une structure algébrique construire à partir d'un corps, sur un ensemble quelconque (qui n'est pas forcément celui du corps), tel qu'il contient une opération (généralement une forme d'addition) formant un groupe abélien sur l'espace vectoriel et qu'il existe une loi externe à gauche sur l'espace vectoriel avec les éléments du corps (qui doit être associative, admettre un neutre et distributive à gauche par rapport à la première loi de l'espace vectoriel). Bien que ce concept puisse sembler complexe, il est la base de choses très importantes et basiques en mathématiques. Prenons un corps "K" sur un ensemble "A", et un espace vectoriel "E" sur un ensemble "B".

K =(A,+,.)

Dans ce cas, l'espace vectoriel "E" admet une addition, tel que cette addition forme un groupe abélien sur "B".

(B,+)

En suite, il existe une loi externe à gauche entre un élément de "A" et un élément de "B" vers un élément de "B". Généralement, cette loi est notée comme une multiplication, avec généralement un "*".

∀a ∈A,∀b ∈B,∃c ∈B,a * b =c

Attention : il est impossible d'utiliser cette loi entre deux éléments de "B", seulement entre un élément de "A" et un élément de "B". Cependant, il est possible d'utiliser cette loi sur une opération entre des élements de "A" qui donnent un nouvel élément de "A", avec une opérations entre des éléments de "B", qui donnent un nouvel élément de "B". Cette propriété va nous être très utile pour les propriétés qui suivront. Déjà, cette loi est associative, ce qui veut dire qu'opérer deux éléments "a" et "c" de "A" avec la deuxième opération du corps puis utiliser cette opération avec un élément "b" de "B" est égal à opérer "c" et "b", puis "a" au résultat. Si l'on considère la deuxième opération du corps comme une multiplication et la loi externe de l'espace vectoriel comme une multiplication aussi, alors cela revient à dire que l'ordre de réalisation des multiplications n'importent pas.

∀a,c ∈A,∀b ∈B,(a * c) * b =a * (c * b)

La distributivité à gauche s'écrit comme dans un anneau, à la différence prés qu'il faut faire attention à l'ordre des opérandes pour respecter l'opération :

∀a ∈A,∀b,d ∈B,a * (b +d) =a * b +a * d

C'est la même chose pour la distributivité à droite.

∀a,c ∈A,∀b ∈B,(a +c) * b =a * b +c * b

Finalement, l'élément neutre du corps pour sa deuxième opération est aussi un élément neutre pour cette opération..*

∀b ∈B,∃e ∈A,b * e =b

Si vous avez toutes ces conditions grâce à un corps "K", vous avec un espace vectoriel sur "K".