Le chapitre 3

Introduction à l'analyse mathématique

Le calcul infinitésimal

Qu'est ce qu'est le calcul infinitésimal ?

Le calcul infinitésimal est une branche assez importante des mathématiques. En fait, le calcul infinitésimal est une branche du calcul mathématique s'intéressant à des calculs s'approchant de plus en plus de certaines valeurs. Ici, s'approcher signifie "diminuer le plus possible la différence entre la valeur obtenu par le calcul et la valeur que l'on cherche obtenir". En général, quand une valeur quelconque s'approche d'un terme "a", on dit que cette valeur tend vers "a". Pour cela, nous avons besoin de beaucoup d'outils précis.

Les outils d'analyse mathématique

Les suites mathématiques

Un des outils principaux en analyse représente la suite mathématique. Une suite mathématique est une fonction mathématique allant de "N" à n'importe quel ensemble possible. Il s'agit théoriquement d'une suite d'éléments quelconques. Ici, on parle de "fonction" car il se peut que certains éléments de "N" (souvent les premiers) n'aient pas d'images. En analyse, l'ensemble d'arrivée est très souvent un ensemble de nombres. Il est très commun de les expliciter, comme dans cet exemple :

u : N ⟶ Q, n ⟶ u(n) = \frac{1}{n + 1}

Les limites de suites

Les suites peuvent être étudiées grâce à l'une de leur propriété : les limites de suites. Une limite mathématique représente en quelque sorte une valeur d'une fonction dont on se rapproche indéfiniment (sans jamais réellement l'atteindre). Dans le cas précis d'une suite, une limite mathématique de suite représente en quelque sorte la valeur d'une suite dont on se rapproche indéfiniment quand on tend "n" vers "+l'infini" (sans jamais réellement l'atteindre). En effet, "+ l'infini" est la seule "valeur" que l'antécédent d'une suite puisse "approcher" (d'un point de vue intuitif). Cette définition est une définition intuitive, mais trop peu rigoureuse et insuffisante.

D'un point de vue rigoureux, une limite mathématique de suite vers une valeur "v" est une valeur "v" telle que, pour tous nombre réel possible "x", il existe toujours un nombre entier naturel "a" tel que les différences entre n'importe quelle valeurs de la suite à partir de ce nombre "a" et "v" sont inférieurs à "x". Dire ça est plus fort que de dire que la suite se contente juste de se "rapprocher", mais l'idée est similaire. En effet, si, pour toute valeur "x" aussi petite que l'on veut, il existe un élément de la suite qui est encore plus proche de "v" que "x" est petit (et donc, il existe un nombre naturel "a" permettant de savoir de quel élément de la suite il s'agit), alors une suite se rapproche de plus en plus d'une certaine valeur "v". L'avantage est que pour des "x" très petit, vous pouvez vous rapprocher très (voir infiniment) proche de cette valeur. Cependant, elle apporte un avantage : seulement une valeur peut être une limite de suite, là où la définition "intuitive" ne l'interdit pas. Prenons par exemple une suite ayant comme limite "2", et étant strictement décroissante. Dans ce cas, la suite se rapproche de "2", mais aussi de "1" (puisqu'elle est décroissante). Or, la distance entre "1" et la suite ne peut qu'être supérieur à 1 : la deuxième définition interdit ce genre de comportement (des nombres réels comme 0.5 ne respectent pas la définition). D'ailleurs, une suite mathématique est dite convergente si sa limite est une valeur finie "v" (on dit que la suite converge vers "v"). La définition mathématique ultra rigoureuse est proposé par le mathématicien un mec intelligent, et se note ainsi :

\forall x > 0, \exists a \in N, \forall b \in N, [b > a \Rightarrow |u(b) - v| < x]

Dans le cas où la limite se rapproche de "+ l'infini" et de "- l'infini", la définition change un peu, mais le concept reste le même. Dans ce cas, une limite mathématique de suite vers une valeur "v" est une valeur "v" telle que, pour tous nombre réel possible "x", il existe toujours un nombre entier naturel "a" tel que les différences entre n'importe quelle valeurs de la suite à partir de ce nombre "a" et "v" sont inférieurs à "x". Comme pour les suites finies, cette définition n'est intéressante que pour des suites très grandes ou très petites.

\forall x > 0, \exists a \in N, \forall b \in N, [b > a \Rightarrow u(b) > x]

\forall x > 0, \exists a \in N, \forall b \in N, [b > a \Rightarrow u(b) < -x]

En fait, prouver qu'une suite admet une limite quelconque revient à trouver le "a" pour tous nombres réel supérieur à 0 à partir du quel la condition de la limite est vérifiée. Prenons un exemple très simple et intuitif : la suite qui, à "u(n)", associe le nombre "n".

u : N ⟶ Q, n ⟶ u(n) = n

Déjà, par intuition pure, on peut penser que la suite converge vers "+ l'infini". En effet, les valeurs semblent aller en grandissant "u(1) = 1", "u(2) = 2", "u(156) = 156"... Nous devons donc trouver si il existe un nombre entier naturel "a" tel que, pour tout nombre réel "x" supérieur à 0, toutes valeurs de la suite après l'indice "a" soit supérieur à "x". Cherchons les valeurs "b" de "N" tel que toutes valeurs de la suite "u(b)" soit supérieures à "x".

\forall x > 0, \forall b \in N, [u(b) > x \Leftrightarrow b > x]

Donc, pour que cela marche, il nous faut un "b" supérieur à "x". Selon les propriétés des relations d'ordres sur "N", tous les nombres entiers naturels supérieurs à "b" marcheront eux aussi. À partir de là, trouver notre "a" ne sera pas très difficile. En effet, on pourrait dire que "a = x", et tout serait bon, mais un problème se pose : "x" n'est pas obligatoirement un nombre entier naturel. Donc, pour obtenir un nombre entier naturel, nous allons dire que "a" est égal à la partie entière de "x", à laquelle on ajoute 1 (ce qui représenta la fonction "ceil").

\forall x > 0, \exists a \in N, \forall b \in N, {a = ceil(x) \Rightarrow [b > a \Leftrightarrow b > ceil(x) \geq x] \Rightarrow u(b) > x}

\forall x > 0, \exists a \in N, \forall b \in N, [b > a \Rightarrow u(b) > x]

Donc, nous avons trouvé un "a" respectant la définition de la limite, cette suite tend vers "+ l'infini".