Le chapitre 3

L'arithmétique des nombres réel

Tous les nombres possibles

Des nombres irrationels

Bien ques les nombres rationnels représentent une immense quantité de nombres, il existe des nombres qui existent dans la vraie vie, mais qui ne sont pas des nombres rationnels. Prenons un exemple assez simple : la racine carrée de 2. Cet exemple est le plus connu, car il est le responsable d'un cataclysme historique : la découverte de nombres qui ne sont pas rationnels. Au Vième siècle avant J-C, les grecs le démontrèrent de manière solide (bien qu'il est difficile de dire qui et quand précisément ce résultat a été obtenu). En réalité, beaucoup de civilisations, commes les babyloniens ou les indiens, ont tenté de l'exprimer sous forme de fraction, sans succès. Cependant, la démonstration n'est pas si dure, et est une démonstration par l'absurde. En effet, "définissons" un nombre "a" représentant la représentation en nombre rationnel de racine carrée de 2.

\exists b \in Z, \exists c \in N*, a = \frac{b}{c}

Dans ce cas, il existe une représentation de ce nombre tel que "b" et "c" sont premiers entre eux. Par définition pure, "a" au carré est égal à 2, et donc "b" est égal à "c * 2".

a^{2} = \frac{b^{2}}{c^{2}} \Leftrightarrow b^{2} = 2 * c^{2}

Dans ce cas, "b" au carré est pair (car il représente 2 multiplié par quelque chose). Donc, "b" est aussi pair, et est donc un multiple de "2" par un nombre "r". Donc :

b^{2} = 4 * r^{2} \Leftrightarrow 4 * r^{2} = 2 * c^{2} \Leftrightarrow 2 * r^{2} = c^{2}

Donc, "c" au carré est pair. Donc, "c" est aussi pair, tout comme "b". Or, si "b" et "c" sont tous les 2 pairs, alors la fraction peut se simplifier, en divisant par 2 en haut en bas. Or, on a supposer que notre fraction "a" est simplifiée au maximum : c'est faux. Dans ce cas, quelque soit "b" et "c", la fraction sera simplifiable par "2" : ce n'est pas possible, car nous ne pouvons pas diviser par "2" une infinité de fois dans "N". Donc, cette fraction ne peut pas être représenté par un élément de "Z" et un élément de "N" : "a" n'est pas une fraction, et racine carrée de 2 est irrationel.

Ce résultat peut nous faire poser une question : qu'est ce qu'est racine carré de 2 ? Il nous faut un ensemble plus grand, permettant de le définir.

Qu'est ce qu'est un nombre réel ?

Intuitivement, l'ensemble des nombres réels est assez simple à définir. L'ensemble des nombres réels représente l'ensemble contenant TOUS les nombres possibles sur la droite des nombres (et donc, tous les nombres comparables possibles tout court). Comme racine carré de 2 appartient bel et bien à cette droite (quelque part en 1 et 2), il est un nombre réel. Par définition de la droite des nombres, on peut s'approcher de la valeur de n'importe quel nombre réel aussi proche que l'on veut(et ça, même si on ne l'atteindra jamais précisément, et même si on peut l'atteindre du premier coup, comme avec un nombre entier naturel). Cette façon de voir les nombres réels permettent de comprendre une propriété possible d'un ensemble (et, plus précisément, d'un espace métrique) : la complétude. Un espace métrique est dit complet si, pour toutes les valeurs possibles dans l'ensemble de l'espace, il est possible de s'approcher aussi près que l'on veut de cet ensemble (en réduisant petiit à petit la distance entre une valeur plus simple et la valeur que l'on veut approcher). Ici, l'ensemble des nombres réels est un espace métrique, où nous pourrons y définir une distance.

D'un point de vue logique, ces nombres là sont peut être les plus durs à définir. Historiquement, énormément de tentatives ont été faites, pour définir les nombres réels, mais aussi l'ensemble des nombres réels. Déjà, il a été choisis d'appeler l'ensemble des nombres réels "R". Au début du XXème siècle, le mathématicien un mec intelligenten propose des définitions intéressantes. Selon lui, l'ensemble des nombres réels est le plus grand espace métrique totalement ordonné formant une structure algébrique de "corps", et où les éléments sont archimédien et où l'ensemble est complet. Nous avons déjà présenté le concept d'espace métrique et d'ensemble totalement ordonné plus tôt. Nous avons déjà présenté la complétude plus haut. La propriété "archimédien" est une propriété très simple. En effet, une structure algébrique est dite "archimédienne" si, pour tout nombre "a" et "b", il existe un multiple de "c" tel que "a * c" est plus grand que "b". Dans le cas des magmas / monoïdes / groupes, un magma (et donc, un monoïde ou un groupe) est dit "archimédien" si, pour toute valeur "a" et "b", il existe un nombre entier naturel de "c" tel que "c" répétition de la loi sur "a" est plus grand que "b". En fait, cette propriété est vérifiée dans plein de structures que nous avons déjà vue : "(N, +)", "(Q, +)"... Il ne manque que le corps à définir, ce que nous ferons plus tard. Pour l'instant, dite vous juste qu'il s'agit d'une structure algébrique à deux lois de composition : l'addition et la multiplication. Cette première définition des nombres réels est assez intéressante pour pas mal de résultats.

Bien que cette définition est assez intuitive, elle manque de rigueur axiomatique. En effet, on n'a pas défini ce qu'est vraiment un "nombre réel", autre que "un nombre quelconque qui existe". Maintenant, définissons les de manière concrète, avec une technique assez simple : les coupures de Dedekind. . En fait, l'idée ici vient du fait que, pour tout nombre réel, il est possible de former une coupure de Dedekind de "Q" tel que tous les éléments de la première partie sont inférieur à ce nombre réel et tous les éléments de la deuxième partie sont supérieur à ce nombre réel. C'est par exemple le cas de racine carré de 2 : des nombres comme 0, 1 ou 1,4 sont inférieurs à ce nombre, et d'autres comme 3, 2 ou 1,5 sont inférieurs (racine carré de 2 vaut à peu prés 1,41421). Cependant, si notre nombre réel est en fait un nombre rationnel, alors il fait partie d'une de ces deux parties : il est dans la deuxième. Donc, un nombre réel quelconque est une coupure de Dedekind de "Q". Pour finir, l'ensemble des nombres réels représente l'ensemble des coupures de Dedekind sur "Q".

L'arithmétique des nombres réels

L'arithmétique basique de "R" est la même que celle dans "Q", bien que les démonstrations soient plus compliquées. Pour correctemennt les définir, nous allons utiliser les coupures de Dedekind.

Déjà, "R" possède bel et bien une opération d'addition, avec les mêmes propriétés que dans "Q" et "Z". Comme pour "N", "Z" et "Q", opérer deux nombres rationnel / entier naturel / relatif écrit dans "R" revient à opérer deux nombres rationnel / entier naturel / relatif relatifs tout cours. Dans "R", l'opération est définie comme cela :

\forall a, b \in R \Leftrightarrow [\exists A, B, C, D \in P(Q) \land a = (A, B) \land b = (C, D)]

\exists h, h = a + b \Leftrightarrow [\exists E, F \in P(Q), h = (E, F), \forall f \in F, \forall c \in A, \forall d \in B, f > c + d \land \forall e \in E, \forall f \in F, e < f]

Cette démonstration est vraiment peu élégante : nous ne l'utiliserons que pour les démonstrations obligatoires. Cependant, comme elle utilise directement la démonstration de l'addition dans "Q", ces démonstrations seront assez simples à déduire. L'addition de tout nombre réel donne un autre nombre réel (ce qui est assez trivial, puisque "E" et "F" sont des parties de "Q", et qu'ils sont complémentaires par définition). En fait, l'addition dans "R" permet de former un groupe abélien. Donc, elle est associative, admet un neutre, chaque élément a un inverse et elle est commutative (démontré ici). Comme pour dans "Q", soustraire "b" à "a" revient à additionner "-b" à "a".

\forall a, b, c \in R, c = a - b \Leftrightarrow c = a + (-b)

De plus, "R" possède bel et bien une opération de multiplication, avec les mêmes propriétés que dans "Q". Comme pour "N", "Z" et "Q", opérer deux nombres rationnel / entier naturel / relatif écrit dans "R" revient à opérer deux nombres rationnel / entier naturel / relatif relatifs tout cours. Dans "R", l'opération est définie comme cela :

\forall a, b \in R \Leftrightarrow [\exists A, B, C, D \in P(Q) \land a = (A, B) \land b = (C, D)]

\exists h, h = a * b \Leftrightarrow [\exists E, F \in P(Q), h = (E, F), \forall f \in F, \forall c \in A, \forall d \in B, f > c * d \land \forall e \in E, \forall f \in F, e < f]

Comme pour l'addition, cette démonstration est vraiment peu élégante : nous ne l'utiliserons que pour les démonstrations obligatoires. Cependant, comme elle utilise directement la démonstration de la multiplication dans "Q", ces démonstrations seront assez simples à déduire. La multiplication de tout nombre réel donne un autre nombre réel (ce qui est assez trivial, puisque "E" et "F" sont des parties de "Q", et qu'ils sont complémentaires par définition). En fait, la multiplication dans "R" permet de former un monoïde. En effet, on a toujours un problème : 0 n'a pas d'inverse par cette opération. Or, comme dans "Q", la multiplication dans "R*" permet de former un groupe abélien. Donc, elle est associative, admet un neutre, chaque élément a un inverse et elle est commutative (démontré ici). Comme pour dans "Q", diviser "b" (non nul) à "a" revient à multiplier l'inverse de "b" à "a".

\forall a, b, c \in R, c = a / b \Leftrightarrow c = a * \frac{1}{b}

Introduction à l'analyse mathématique

Le calcul infinitésimal

Qu'est ce qu'est le calcul infinitésimal ?

Le calcul infinitésimal est une branche assez importante des mathématiques. En fait, le calcul infinitésimal est une branche du calcul mathématique s'intéressant à des calculs s'approchant de plus en plus de certaines valeurs. Ici, s'approcher signifie "diminuer le plus possible la distance entre la valeur obtenu par le calcul et la valeur que l'on cherche obtenir". En général, quand une valeur quelconque s'approche d'un terme "a", on dit que cette valeur tend vers "a". Pour cela, nous avons besoin de beaucoup d'outils précis.

Historiquement, il est difficile de savoir de quand, et surtout, par qui, provient le calcul infinitésimal. Déjà, le concept "d'approcher des valeurs" est utilisé depuis très longtemps en mathématiques. Archimède l'utilisé déjà dans la Grèce antique, avec la méthode d'exhaustion. La méthode d'exhaustion est une méthode (obsolète) de calcul d'une aire / d'un volume en se rapprochant successivement de cette valeur, par comblement du vide (ou retrait de matière) dans l'endroit calculé par des objets d'aire / volume connu. C'est une des méthodes possibles pour obtenir l'aire d'un triangle. Ces techniques furent améliorées dans les époques à venir, comme par le mathématicien arabe un mec intelligent. En Europe, elles permirent le développement de concept plus complexes, comme la méthode des indivisibles, méthode d'adégalisation de Fermat parue en 1636 (permettant d'obtenir des tangentes de courbes). À cette période, le défi principal des mathématiciens était de calculer des aires formés par des courbes. En 1669, un de ces problèmes est résolu par le grand un mec intelligent: les variations d'une courbe représente les variations des variations de l'aire formé par cette courbe. Nous y reviendrons plus tard, mais Newton découvre en fait le lien entre les courbes et une branche de calcul utilisant des valeurs souvent très petites et rapprochés : le calcul infinitésimal. En notation moderne, il découvre que l'aire sous la courbe représente l'opération "inverse" de la dérivée : l'intégrale. Grâce à ce concept, il va généraliser ce calcul aux fonctions réelles, et calculer des dérivés et intégrales de fonctions de plus en plus complexes. Malheureusement pour lui, ses démonstrations manquent de rigueurs. En 1674, le mathématicien un mec intelligentcomplète ses travaux, via une notation plus précise, et de nouveaux résultats très pratiques. Tout ça représente l'origine du calcul infinitésimal moderne (qui a énormément gagné en rigueur). À cause du manque de rigueur de Newton et de la proximité des deux résultats, le débat fait rage pour savoir qui a vraiment inventé ce premier prototype de calcul infinitésimal. En plus, ce manque de rigueur fait à ce que beaucoup de mathématiciens se méfirent de ce calcul. Cependant, l'acceptation générale viendra au 19ème siècle. À cette période, de nombreux mathématiciens, dont un mec intelligentou un mec intelligentparvinrent à formaliser de manière particulièrement rigoureuse ce calcul, grâce au concept de limite. Maintenant que la rigueur était là, ce calcul a pu finalement s'émanciper, pour permettre des résultats beaucoup plus acceptables, et des notions permettant de les généraliser : continuité, dérivation, intégration... C'est l'introduction de ces nouveaux concepts qui représentent la sémantique actuelle du calcul infinitésimal.

Une des branches du calcul infinitésimal est le calcul différentiel. Le calcul différentiel est une branche du calcul infinitésimal où les valeurs infinitésimales servent à étudier les variations de fonctions. L'idée ici est de s'approcher très près d'une partie de la fonction, pour voir comment ses images varient (si elles montent, descendent, et étudier comment). Bien que des idées similaires existaient avant le 17ème siècle, c'est à ce siècle (toujours avec nos problèmes de courbes) que se calcul se développe vraiment, avec le concept de "fonction" (alors qu'avant, les approximations se faisaient avec un peu n'importe quoi). À ce moment, les mathématiciens comprirent vite que un outil qui pourra être fondamental dans l'étude de ces fonctions et des courbes qu'elles génèrent représentera les droites "parallèles" à une partie de la courbe : les tangentes. C'est d'ailleurs à ça que servait l'adégalisation de Fermat, bien qu'elle manquait fortement de rigueur. Encore, c'est Newton qui, le "premier", propose quelque chose de potable (dans son fameux article de 1669) : les fluxions. Selon Newton, les fluxions représentent la vitesse à laquelle une fonction monte / descend en un point quelconque. Avec ces fluxions, Newton formalise la première tentative de "variation infinitésimale" de fonction (permettant aussi d'obtenir ces tangentes), et en crée une sorte de calcul basique. Malheureusement, cette méthode manquaient de rigueur (encore) et de généralisation. En fait, c'est Leibniz qui proposera une méthode un peu changée, bien plus rigoureuse et mieux notée, encore utilisée aujourd'hui.

Les outils d'analyse mathématique

Les suites mathématiques

Un des outils principaux en analyse représente la suite mathématique. Une suite mathématique est une fonction mathématique allant de "N" à n'importe quel ensemble possible. Il s'agit théoriquement d'une suite d'éléments quelconques. Ici, on parle de "fonction" car il se peut que certains éléments de "N" (souvent les premiers) n'aient pas d'images. En analyse, l'ensemble d'arrivée est très souvent un ensemble de nombres. Il est très commun de les expliciter, comme dans cet exemple :

u : N ⟶ Q, n ⟶ u(n) = \frac{1}{n + 1}

Les fonctions réelles

Bien que les suites sont importantes, l'intérêt de l'analyse n'est généralement pas l'étude de suite, mais celle de fonctions, souvent réelles. Une fonction réelle est une fonction allant de l'ensemble "R" vers l'ensemble "R". Comme pour les suites, est très commun de les expliciter, comme dans cet exemple :

f : R ⟶ R, x ⟶ f(x) = 3 * x + 2

Les graphes de fonctions

Nous avons déjà parlé des graphes de fonctions dans le chapitre 1, dans la partie application. Cependant, en analyse, cet outil est bien plus poussé que pour de simples applications / fonctions, en les utilisant avec nos outils d'analyse (suites et fonctions réelles). Pour rappel, un graphe de fonction représente l'ensemble des couples formés par (dans l'ordre) chaque élément de l'ensemble du domaine de définition de la fonction et de son image par cette fonction. Or, comme nous connaissons les ensembles de départ ("N" ou "R"), nous pouvons représenter notre graphe de manière plus intuitive. En effet, "N" et "R" sont représentables sur des droites, ce qui permet de mettre chaque valeur des fonctions en chaque valeur sur la droite au dessus de la valeur associée sur la droite. Pour être plus précis, on va considérer une échelle de valeur verticale, et placer les valeurs des images de la fonction au bon endroit sur cette échelle, sous la forme de points. Au final, vous obtenez un graphique en 2D, représentant comment votre fonction se comporte en chaque valeur via la droite de départ. Voici un exemple simple, de la fonction réelle transformant un réel "x" en la valeur "2 * x + 0,5".

Les espaces métriques

Un outil permettant d'étendre l'analyse en mathématiques est l'espace métrique. Un espace métrique est un couple représentant un ensemble quelconque, et une opération binaire sur cet ensemble pouvant s'interpréter comme la distance entre deux éléments quelconques de l'ensemble. L'ensemble peut être quoi que ce soit, tant que cette fameuse "distance" existe.

La difficulté ici consite à définir cette fameuse "distance". Déjà, une distance représente une opération entre deux éléments "a" et "b", et qui s'interprète comme une valeur, nommée "distance" entre "a" et "b", et qui est un nombre réel positif. En général, la définition intuitive d'une distance représente un moyen de calculer quelle valeur est nécessaire pour passer d'une valeur à une autre. Cependant, au sens mathématique, cette application doit respecter quelques autres propriétés précises. En effet, en mathématiques, une distance est une loi définie sur un ensemble "E", allant de E X E vers R+, où la loi est symétrique, séparée et respecte l'inégalité triangulaire. Pour rappel, puisque la distance est une application "symétrique", alors pour une distance "d" entre deux éléments "a" et "b", l'ordre de "a" et "b" n'importe pas via l'utilisation à "d" :

\forall a, b \in E, d(a, b) = d(b, a)

D'un point de vue logique, c'est assez logique : la distance entre Paris et Lyon est la même que la distance... entre Lyon et Paris (bien évidemment, si vous utilisez la même application). De plus, puisque l'application est séparée, dire que deux éléments "a" et "b" sont a une distance de "0" équivaut à dire que "a = b". Bien que cela soit assez évident, c'est une condition nécessaire pour avoir une distance.

\forall a, b \in E, d(a, b) = 0 \Leftrightarrow a = b

Finalement, il y a l'inégalité triangulaire. En effet, l'inégalité triangulaire consiste à dire que pour trois éléments quelconques "a", "b" et "c", la distance entre "a" et "c" est forcément inférieure ou égale à celle de "a" et "b" plus celle de "b" et "c". D'un point de vue intuitif, cela consiste à dire que passer de "a" à "c" directement est plus rapide que de passer par un autre point "b" au milieu.

\forall a, b, c \in E, d(a, c) < d(a, b) + d(b, c)

Un exemple très simple est l'ensemble des réels munit de la valeur absolue de la soustraction. En effet, d'un point de vue intuitif, la soustraction dans "R" représente le nombre de valeurs entre deux nombres, dont on prend la valeur absolue pour le rendre positif : il s'agit intuitivement d'un espace métrique fonctionnel. Mathématiquement, il faut le démontrer avec les propriétés vues plus haut, ce qui n'est pas si compliqué (démontré ici). Par extension, cette distance permet aussi de faire un espace métrique sur "Q", "Z" et "N". Or, quelque soit un nombre "a" dans "R" et "Q", comme ces ensembles sont denses, pour tout élément "b" (tous, sans exceptions), alors il existera toujours un élément plus proche de "a" que "b". En d'autres termes, il n'existe pas "d'objet le plus proche" d'un élément quelconque de "R" et "Q" qui n'est pas lui même. Cependant, "N" et "Z" ne sont pas denses, et la valeur minimale au dessus de 0 est 1 : tout objet dans "N" et "Z" (appart 0 dans "N", qui n'en possède qu'une) possède deux objets les plus proches (qui ne sont pas eux mêmes), à une distance de "1" unité.

Les limites

Les limites de suites

Les suites peuvent être étudiées grâce à l'une de leur propriété : les limites de suites. Une limite mathématique représente en quelque sorte une valeur d'on se rapproche indéfiniment quand, dans une fonction (admettant comme ensemble d'arrivée un espace métrique), on se rapproche indéfiniment d'un point précis (sans jamais réellement l'atteindre). Dans le cas précis d'une suite, une limite mathématique de suite représente en quelque sorte la valeur dont on se rapproche indéfiniment quand, dans une suite (admettant comme ensemble d'arrivée un espace métrique), on tend "n" vers "+ l'infini" (sans jamais réellement l'atteindre). En effet, "+ l'infini" est la seule "valeur" que l'antécédent d'une suite puisse "approcher" (d'un point de vue intuitif). Cette définition est une définition intuitive, mais trop peu rigoureuse et insuffisante.

D'un point de vue rigoureux, une limite mathématique de suite vers une valeur "v" est une valeur "v" telle que, pour tous nombre réel possible "x", il existe toujours un nombre entier naturel "a" tel que la distance entre n'importe quelle valeur de la suite à partir de ce nombre "a" et le nombre "v" sont inférieurs à "x". Dire ça est plus fort que de dire que la suite se contente juste de se "rapprocher", mais l'idée est similaire. En effet, si, pour toute valeur "x" aussi petite que l'on veut, il existe un élément de la suite qui est encore plus proche de "v" que "x" est petit (et donc, il existe un nombre naturel "a" permettant de savoir de quel élément de la suite il s'agit), alors une suite se rapproche de plus en plus d'une certaine valeur "v". L'avantage est que pour des "x" très petit, vous pouvez vous rapprocher très (voir infiniment) proche de cette valeur. Cependant, elle apporte un avantage : seulement une valeur peut être une limite de suite, là où la définition "intuitive" ne l'interdit pas. Prenons par exemple une suite ayant comme limite "2", et étant strictement décroissante. Dans ce cas, la suite se rapproche de "2", mais aussi de "1" (puisqu'elle est décroissante). Or, la distance entre "1" et la suite ne peut qu'être supérieur à 1 : la deuxième définition interdit ce genre de comportement (des nombres réels comme 0.5 ne respectent pas la définition). D'ailleurs, une suite mathématique est dite convergente si sa limite est une valeur finie "v" (on dit que la suite converge vers "v"). La définition mathématique ultra rigoureuse est proposé par le mathématicien un mec intelligent, et se note ainsi :

\forall x > 0, \exists a \in N, \forall b \in N, [b > a \Rightarrow |u(b) - v| < x]

Dans le cas où la limite se rapproche de "+ l'infini" et de "- l'infini", la définition change un peu, mais le concept reste le même. Dans ce cas, une limite mathématique de suite vers une valeur "v" est une valeur "v" telle que, pour tous nombre réel possible "x", il existe toujours un nombre entier naturel "a" tel que la distance entre n'importe quelle valeur de la suite à partir de ce nombre "a" et le nombre "v" sont inférieurs à "x". Comme pour les suites finies, cette définition n'est intéressante que pour des suites très grandes ou très petites.

\forall x > 0, \exists a \in N, \forall b \in N, [b > a \Rightarrow u(b) > x]

\forall x > 0, \exists a \in N, \forall b \in N, [b > a \Rightarrow u(b) < -x]

La notation usuelle pour noter la limite d'une suite utilise le mot "lim", au quel on note en petit au dessous "n", une flèche, et la valeur vers laquelle "n" tend. Si il n'y a pas d’ambiguïté, on peut se passer de la notation au dessous de la suite. Les parenthèses autour de la suite ne sont pas obligatoires.

\lim_{n ⟶ + ∞} (u(n)) = l \Leftrightarrow lim u(n) = l

En fait, prouver qu'une suite admet une limite quelconque revient à trouver le "a" pour tous nombres réel supérieur 0 à partir du quel la condition de la limite est vérifiée. Prenons un exemple très simple et intuitif : la suite qui, à "u(n)", associe le nombre "n".

u : N ⟶ Q, n ⟶ u(n) = n

Déjà, par intuition pure, on peut penser que la suite converge vers "+ l'infini". En effet, les valeurs semblent aller en grandissant "u(1) = 1", "u(2) = 2", "u(156) = 156"... Nous devons donc trouver si il existe un nombre entier naturel "a" tel que, pour tout nombre réel "x" supérieur à 0, toutes valeurs de la suite après l'indice "a" soit supérieur à "x". Cherchons les valeurs "b" de "N" tel que toutes valeurs de la suite "u(b)" soit supérieures à "x".

\forall x > 0, \forall b \in N, [u(b) > x \Leftrightarrow b > x]

Donc, pour que cela marche, il nous faut un "b" supérieur à "x". Selon les propriétés des relations d'ordres sur "N", tous les nombres entiers naturels supérieurs à "b" marcheront eux aussi. À partir de là, trouver notre "a" ne sera pas très difficile. En effet, on pourrait dire que "a = x", et tout serait bon, mais un problème se pose : "x" n'est pas obligatoirement un nombre entier naturel. Donc, pour obtenir un nombre entier naturel, nous allons dire que "a" est égal à la partie entière de "x", à laquelle on ajoute 1 (ce qui représenta la fonction "ceil").

\forall x > 0, \exists a \in N, \forall b \in N, {a = ceil(x) \Rightarrow [b > a \Leftrightarrow b > ceil(x) \geq x] \Rightarrow u(b) > x}

\forall x > 0, \exists a \in N, \forall b \in N, [b > a \Rightarrow u(b) > x]

lim u(n) = + \infty

Donc, nous avons trouvé un "a" respectant la définition de la limite, cette suite tend vers "+ l'infini". Avec cette démonstration, on peut obtenir beaucoup de limites de suites "usuelles" en + l'infini. Déjà, la suite où l'on divise "1" par l'indice de l'élément actuel de la suite tend vers "0" (démontré ici). En effet, on découpe "1" en de plus en plus de valeurs, ce qui rend ces valeurs de plus en plus petites (et donc de plus en plus proches de 0). Comme on n'en prend qu'une de ces valeurs, alors elle se rapproche de 0.

u(n) = \frac{1}{n}, lim u(n) = 0

Dans le cas de multiples de "n" avec une puissance positive, cela change un peu. En effet, la limite d'une suite qui représente le produit d'un nombre "a" avec "n" exposant un nombre supérieur à 0 représente "+ l'infini" si "a" est positif et "- l'infini" si "a" est négatif. Dans ces cas, il s'agit juste de "grossissement" de "n" comme nous l'avons vue plus tôt, légèrement altéré par "a", et accéléré par l'exposant.

\forall a \in R, \forall e \in N*, u(n) = a * n^{e}, lim u(n) = + \infty si a > 0, lim u(n) = - \infty sinon

Les limites de fonctions réelles

Avec des fonctions réelles, le concept de suite est plus complexe, mais bien plus complet. Déjà, comme on peut s'approcher indéfiniment de n'importe quelle valeur d'un nombre réel, une fonction réelle peut admettre une limite en une valeur finie. De plus, on peut approcher ce nombre avec des valeurs inférieures à ce nombre, ou supérieur à ce nombre (par exemple, on peut approcher 4 avec 3.9, 3.99, 3.999 ou avec 4.1, 4.01, 4.001). La valeur dont on se rapproche quand on fait tendre l'antécédent vers une valeur précise avec seulement des nombres supérieures à cette valeur est nommée limite à droite de la fonction en cette valeur. À l'inverse, La valeur dont on se rapproche quand on fait tendre l'antécédent vers une valeur précise avec seulement des nombres inférieures à cette valeur est nommée limite à gauche de la fonction en cette valeur. Ce concept ne sert à rien pour des limites en "+ l'infini" et "- l'infini", car il n'y a qu'un seul moyen de les approcher : valeur inférieure (+ l'infini-) ou supérieure (- l'infini). Si la limite à droite d'une fonction en une valeur est la même que la limite à droite en cette valeur, on parle simplement de "limite" en cette valeur. Un exemple très parlant de limite à droite différente de limite à gauche est celui de la fonction qui associe à chaque valeur "x" l'inverse de "x" : la limite en 0 à gauche est "- l'infini", là où la limite en 0 à droite est "+ l'infini".

Dans tous les cas, il existe des définitions très rigoureuses de ces concepts. En effet, dans le cas des limites finies en une valeur finie, une limite mathématique de fonction en une valeur "a" est une valeur "v" telle que, pour tout nombre réel possible "x", il existe toujours un nombre réel "b" (supérieur à "a" si on calcul la limite à droite, et inférieur sinon) tel que toute valeur entre "a" que "b" admet comme image une distance à "v" inférieure au nombre "x". Pour la limite à droite, on a :

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a, a + b[\Rightarrow |f(c) - v| < x}

Dans le cas où l'on calcule la limite à gauche :

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a, a - b[\Rightarrow |f(c) - v| < x}

Cependant, il existe aussi des limites infinies, en une valeur finie. Dans ce cas, une limite mathématique infinie de fonction en une valeur "a" est l'un des deux infinies ("+ l'infini" ou "- l'infini") tel que, pour tout nombre réel possible "x", il existe toujours un nombre réel "b" (supérieur à "a" si on calcul la limite à droite, et inférieur sinon) tel que toute valeur entre "a" que "b" admet comme image une valeur supérieure au nombre "x". Cette définition est assez similaire à celle vue pour les suites, à la différence prêt que l'antécédent se rapproche d'une valeur précise, et pas d'un infini. Donc, on peut aussi se rapprocher à droite ou à gauche. Pour la limite à droite, on a (dans le cas où l'on se rapproche de "+ l'infini", puis "- l'infini") :

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a, a + b[\Rightarrow f(c) > x}

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a, a + b[\Rightarrow f(c) < -x}

Pour la limite à gauche, on a (dans le cas où l'on se rapproche de "+ l'infini", puis "- l'infini") :

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a - b, a[\Rightarrow f(c) > x}

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a - b, a[\Rightarrow f(c) < -x}

Nous devons ces définitions à Karl Weierstrass, qui les aurait énoncé dans le courant des années 1860. Comme vue plus haut, prouver qu'une fonction admet une limite finie quelconque en un point "a" revient à trouver le "b" pour chaque nombre réel "x" supérieur 0 à partir du quel la condition de la limite est vérifiée (chaque valeur entre "b" et "a" est à une distance de la limite inférieure à la valeur "x"). Dans ce cas, seule des valeurs très petites de "x" nous intéressent. À l'inverse, prouver qu'une fonction admet une limite infinie en un point "a" revient à trouver le "b" pour chaque nombre réel "x" supérieur 0 à partir du quel la condition de la limite est vérifiée (chaque valeur entre "b" et "a" est supérieure (ou inférieure, en "- l'infini") à la valeur "x" (ou "-x", en "- l'infini")). Dans ce cas, seule des valeurs très grandes de "x" nous intéressent. Prenons un exemple que nous avons déjà vue : la fonction qui, à chaque "y" réel, lui associe son inverse par la multiplication "1/y".

f : R ⟶ R, y ⟶ \frac{1}{y}

Cette fonction est définie sur tout "R", sauf à un endroit : "0". Or, toute valeur aussi proche que l'on veut de "0" est définie : on peut trouver une limite en "0". Par observation, on s'attend à trouver une limite de "- l'infini" vers la gauche, et de "+ l'infini" vers la droite.

Commençons par calculer la limite à droite. Prenons un nombre réel "x" quelconque supérieur à 0. Supposons une valeur "b" supérieur à 0 tel que "f(b)" sont supérieur à "x".

\forall x \in R* +, \forall b \in R* +, f(b) > x \Leftrightarrow \frac{1}{b} > x

On peut donc déduire que "b" doit être inférieure à l'inverse "x", car la fonction "inverse" change l'ordre.

\frac{1}{b} > x \Leftrightarrow b < \frac{1}{x}

Ici, "b" existe si l'inverse de "x" existe : cela est vrai car "x" est différent de "0". Par équivalence, toute valeur positive inférieure à "b" est inférieure à l'inverse de "x", et donc toute inverse de valeur positive supérieure à l'inverse "b" est supérieure à "x". Appelons cette nouvelle valeur "c".

c < b < \frac{1}{x} \Leftrightarrow \frac{1}{c} > \frac{1}{b} > x

Par définition, "c" appartient à l'intervalle ]0, b[ (qui s'écrit aussi ]0, 0 + b[). Pour rappel, on est sur qu'il existe un "b" respectant ces propriétés. Donc, on peut reformuler notre expression :

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]0, 0 + b[\Rightarrow f(c) > x}

C'est exactement la définition d'une limite à droite de "+ l'infini" en 0 : notre fonction admet une limite à droite de "+ l'infini" en 0. Maintenant, procédons dans le cas de la limite à gauche. Prenons un nombre réel "x" quelconque supérieur à 0. Supposons une valeur "d" inférieure à 0 tel que "f(d)" soit inférieur à "-x".

\forall x \in R* +, \forall d \in R*-, f(d) > -x \Leftrightarrow \frac{1}{d} < -x

On peut donc déduire que "d" doit être inférieure à l'inverse "x", car la fonction "inverse" change l'ordre.

\frac{1}{d} < -x \Leftrightarrow d > \frac{-1}{x}

Ici, "d" existe si l'inverse de "-x" existe : cela est vrai car "-x" est différent de "0". Par équivalence, toute valeur négative supérieur à "d" est supérieure à l'inverse de "-x", et donc toute inverse de valeur négative inférieure à l'inverse "d" est inférieure à "-x". Appelons cette nouvelle valeur "c".

c > d > \frac{1}{-x} \Leftrightarrow \frac{1}{c} < \frac{1}{d} < -x

Disons que l'opposé par l'addition de "d" est nommé "b" (qui est donc supérieur à 0). Par définition, "c" appartient à l'intervalle ]d, 0[ (qui s'écrit aussi ]0 + d, 0[, ou ]0 - b, 0[). Pour rappel, on est sur qu'il existe un "d" respectant ces propriétés, et donc un "b" qui respecte aussi ces propriétés. Donc, on peut reformuler notre expression :

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]0 - b, 0[\Rightarrow f(c) < -x}

C'est exactement la définition d'une limite à gauche de "- l'infini" en 0 : notre fonction admet une limite à gauche de "- l'infini" en 0.

Il est possible de faire un lien très pratique entre les limites de suites et les limites de fonction. Déjà, pour toute fonction réelle, si la fonction est définie pour tous les nombres naturels, alors il existe une restriction de cette fonction sur "N", en faisant donc une suite. Donc, dans ce cas, toute fonction réelle permet de définir une suite ayant le même comportement que la fonction. Cela est dû au fait que N soit inclu dans "R". Avec ça, on peut prouver quelque chose de très pratique : la limite en "+ l'infini" de la fonction réelle est la même que la limite de la suite qui lui est associée. Donc, démontrer des résultats avec des limites en "+ l'infini" de fonctions réelles revient à les démontrer pour les suites associées.

Les opérations sur les limites

En plus de la définition, il est possible d'utiliser une autre façon pour obtenir des limites : utiliser du calcul de limite. En effet, si vous avez une fonction plus ou moins complexe qui peut être découpée en une opération entre d'autres fonctions quelconques, alors on peut calculer une limite de cette fonction en étudiant les limites des fonctions constituant l'opération. Grâce à ça, on limite l'utilisant de la lourde définition d'une limite.

Le cas le plus simple correspond à la somme de fonctions. En effet, dans une fonction "f" représentant la somme d'autres fonctions, la limite de "f" en une valeur représente la somme des limites en cette valeur des fonctions qui constituent "f". La démonstration de ce résultat n'est pas si complexe que ça, mais demande une disjonction de cas précise. Nous allons la faire pour que vous puissiez avoir un exemple d'une démonstration de ce type. Posons deux fonctions "g" et "h" définies de "R" vers "R", admettant une limite à droite en une valeur finie "a" vers respectivement "v" et "w".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a, a + b[\Rightarrow |g(c) - v| < x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e \in]a, a + d[\Rightarrow |h(c) - w| < x}

Procédons à un petit tour de passe-passe : prenons la valeur minimale entre "b" et "d". Si "b" est inférieur à "d", alors "b" est un "e", et si "d" est inférieur à "b", alors "d" est un "c" : travailler avec la valeur minimale suffit pour définir "c" et "e". Nous nommerons "r" la valeur minimale entre "b" et "d", et nous pouvons simplifier nos limites de "g" et "h".

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s \in]a, a + r[\Rightarrow |g(s) - v| < x \land |h(s) - w| < x}

Posons maintenant la fonction "f" égale à "g + h". On peut bidouiller notre formule précédente pour obtenir une limite de "f".

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s \in]a, a + r[\Rightarrow 0 < |g(s) - v| < x \land 0 < |h(s) - w| < x \Rightarrow 0 < |g(s) - v| + |h(s) - w| < 2 * x}

g(s) - v > 0 \land h(s) - w > 0 \Rightarrow g(s) - v + h(s) - w < 2 * x \Leftrightarrow g(s) + h(s) - (v + w) < 2 * x \Leftrightarrow f(s) - (v + w) < 2 * x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < 2 * x

g(s) - v > 0 \land h(s) - w < 0 \Rightarrow -x < g(s) - v + h(s) - w < 0 \Leftrightarrow -x < g(s) - h(s) - (v - w) < 0 \Leftrightarrow -x < f(s) - (v + w) < 0 \land 0 < -(f(s) - (v + w)) < x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < x

g(s) - v < 0 \land h(s) - w > 0 \Rightarrow -x < g(s) - v + h(s) - w < 0 \Leftrightarrow -x < g(s) - h(s) - (v - w) < 0 \Leftrightarrow -x < f(s) - (v + w) < 0 \land 0 < -(f(s) - (v + w)) < x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < x

g(s) - v < 0 \land h(s) - w < 0 \Rightarrow -2 * x < g(s) - v + h(s) - w < 0 \Leftrightarrow -2 * x < g(s) + h(s) - (v + w) < 0 \Leftrightarrow -2 * x < f(s) - (v + w) < 0 \Leftrightarrow 0 < -(f(s) - (v + w)) < 2 * x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < 2 * x

Dans tous les cas, on retrouve la limite de "f" : la limite de "f" en "a" est la somme des limites de "g" et "h" en "a". C'est l'exact même chose pour les limites à gauches.

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a - b, a[\Rightarrow |g(c) - v| < x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e \in]a - d, a[\Rightarrow |h(c) - w| < x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s \in]a - r, a[\Rightarrow 0 < |g(s) - v| < x \land 0 < |h(s) - w| < x \Rightarrow 0 < |g(s) - v| + |h(s) - w| < 2 * x}

g(s) - v > 0 \land h(s) - w > 0 \Rightarrow g(s) - v + h(s) - w < 2 * x \Leftrightarrow g(s) + h(s) - (v + w) < 2 * x \Leftrightarrow f(s) - (v + w) < 2 * x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < 2 * x

g(s) - v > 0 \land h(s) - w < 0 \Rightarrow -x < g(s) - v + h(s) - w < 0 \Leftrightarrow -x < g(s) - h(s) - (v - w) < 0 \Leftrightarrow -x < f(s) - (v + w) < 0 \land 0 < -(f(s) - (v + w)) < x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < x

g(s) - v < 0 \land h(s) - w > 0 \Rightarrow -x < g(s) - v + h(s) - w < 0 \Leftrightarrow -x < g(s) - h(s) - (v - w) < 0 \Leftrightarrow -x < f(s) - (v + w) < 0 \land 0 < -(f(s) - (v + w)) < x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < x

g(s) - v < 0 \land h(s) - w < 0 \Rightarrow -2 * x < g(s) - v + h(s) - w < 0 \Leftrightarrow -2 * x < g(s) + h(s) - (v + w) < 0 \Leftrightarrow -2 * x < f(s) - (v + w) < 0 \Leftrightarrow 0 < -(f(s) - (v + w)) < 2 * x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < 2 * x

C'est la même chose avec une limite à droite tendant vers "+ l'infini". Cependant, la démonstration est un peu plus simple.

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a, a + b[\Rightarrow g(c) > x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e \in]a, a + d[\Rightarrow h(e) > x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s \in]a, a + r[\Rightarrow 0 < g(s) > x \land 0 < h(s) > x \Rightarrow g(s) + h(s) > 2 * x}

g(s) + h(s) > 2 * x \Leftrightarrow \Leftrightarrow f(s) > 2 * x

C'est la même chose avec une limite à droite tendant vers "- l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a, a + b[\Rightarrow g(c) < -x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e \in]a, a + d[\Rightarrow h(e) < -x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s \in]a, a + r[\Rightarrow g(s) < -x \land h(s) < -x \Rightarrow g(s) + h(s) < -2 * x}

g(s) + h(s) > -2 * x \Leftrightarrow \Leftrightarrow f(s) > -2 * x

C'est la même chose avec une limite à gauche tendant vers "+ l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a - b, a[\Rightarrow g(c) > x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e \in]a - d, a[\Rightarrow h(e) > x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s \in]a - r, a[\Rightarrow 0 < g(s) > x \land 0 < h(s) > x \Rightarrow g(s) + h(s) > 2 * x}

g(s) + h(s) > 2 * x \Leftrightarrow \Leftrightarrow f(s) > 2 * x

C'est la même chose avec une limite à gauche tendant vers "- l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a - b, a[\Rightarrow g(c) < -x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e \in]a - d, a[\Rightarrow h(e) < -x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s \in]a - r, a[\Rightarrow g(s) < -x \land h(s) < -x \Rightarrow g(s) + h(s) < -2 * x}

g(s) + h(s) > -2 * x \Leftrightarrow \Leftrightarrow f(s) > -2 * x

On peut étendre ces résultats pour des limites en "+ l'infini" et "- l'infini". Dans le cas où l'on est en "+ l'infini", on peut s'occuper du cas où la limite est une valeur finie. Dans ce cas, notre "r" devient la plus grande valeur entre "b" et "d".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c > b \Rightarrow |g(c) - v| < x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e > d \Rightarrow |h(e) - w| < x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s > r \Rightarrow 0 < |g(s) - v| < x \land 0 < |h(s) - w| < x \Rightarrow 0 < |g(s) - v| + |h(s) - w| < 2 * x}

g(s) - v > 0 \land h(s) - w > 0 \Rightarrow g(s) - v + h(s) - w < 2 * x \Leftrightarrow g(s) + h(s) - (v + w) < 2 * x \Leftrightarrow f(s) - (v + w) < 2 * x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < 2 * x

g(s) - v > 0 \land h(s) - w < 0 \Rightarrow -x < g(s) - v + h(s) - w < 0 \Leftrightarrow -x < g(s) - h(s) - (v - w) < 0 \Leftrightarrow -x < f(s) - (v + w) < 0 \land 0 < -(f(s) - (v + w)) < x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < x

g(s) - v < 0 \land h(s) - w > 0 \Rightarrow -x < g(s) - v + h(s) - w < 0 \Leftrightarrow -x < g(s) - h(s) - (v - w) < 0 \Leftrightarrow -x < f(s) - (v + w) < 0 \land 0 < -(f(s) - (v + w)) < x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < x

g(s) - v < 0 \land h(s) - w < 0 \Rightarrow -2 * x < g(s) - v + h(s) - w < 0 \Leftrightarrow -2 * x < g(s) + h(s) - (v + w) < 0 \Leftrightarrow -2 * x < f(s) - (v + w) < 0 \Leftrightarrow 0 < -(f(s) - (v + w)) < 2 * x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < 2 * x

C'est la même chose avec une limite en "+ l'infini" tendant vers "+ l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c > b \Rightarrow g(c) > x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e > d \Rightarrow h(e) > x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s > r \Rightarrow 0 < g(s) > x \land 0 < h(s) > x \Rightarrow g(s) + h(s) > 2 * x}

g(s) + h(s) > 2 * x \Leftrightarrow f(s) > 2 * x

C'est la même chose avec une limite en "+ l'infini" tendant vers "- l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c > b \Rightarrow g(c) < -x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e > d \Rightarrow h(e) < -x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s > r \Rightarrow g(s) < -x \land h(s) < -x \Rightarrow g(s) + h(s) < -2 * x}

g(s) + h(s) < -2 * x \Leftrightarrow f(s) < -2 * x

Finalement, dans le cas où l'on est en "- l'infini", on peut s'occuper du cas où la limite est une valeur finie. Dans ce cas, notre "r" devient la plus grande valeur entre "b" et "d".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c < -b \Rightarrow |g(c) - v| < x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e < -d \Rightarrow |h(e) - w| < x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s < -r \Rightarrow 0 < |g(s) - v| < x \land 0 < |h(s) - w| < x \Rightarrow 0 < |g(s) - v| + |h(s) - w| < 2 * x}

g(s) - v > 0 \land h(s) - w > 0 \Rightarrow g(s) - v + h(s) - w < 2 * x \Leftrightarrow g(s) + h(s) - (v + w) < 2 * x \Leftrightarrow f(s) - (v + w) < 2 * x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < 2 * x

g(s) - v > 0 \land h(s) - w < 0 \Rightarrow -x < g(s) - v + h(s) - w < 0 \Leftrightarrow -x < g(s) - h(s) - (v - w) < 0 \Leftrightarrow -x < f(s) - (v + w) < 0 \land 0 < -(f(s) - (v + w)) < x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < x

g(s) - v < 0 \land h(s) - w > 0 \Rightarrow -x < g(s) - v + h(s) - w < 0 \Leftrightarrow -x < g(s) - h(s) - (v - w) < 0 \Leftrightarrow -x < f(s) - (v + w) < 0 \land 0 < -(f(s) - (v + w)) < x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < x

g(s) - v < 0 \land h(s) - w < 0 \Rightarrow -2 * x < g(s) - v + h(s) - w < 0 \Leftrightarrow -2 * x < g(s) + h(s) - (v + w) < 0 \Leftrightarrow -2 * x < f(s) - (v + w) < 0 \Leftrightarrow 0 < -(f(s) - (v + w)) < 2 * x \Rightarrow |f(s) - (v + w)| < 2 * x

C'est la même chose avec une limite en "- l'infini" tendant vers "+ l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c < -b \Rightarrow g(c) > x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e < -d \Rightarrow h(e) > x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s < -r \Rightarrow 0 < g(s) > x \land 0 < h(s) > x \Rightarrow g(s) + h(s) > 2 * x}

g(s) + h(s) > 2 * x \Leftrightarrow f(s) > 2 * x

C'est la même chose avec une limite en "- l'infini" tendant vers "- l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c < -b \Rightarrow g(c) < -x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e < -d \Rightarrow h(e) < -x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s < -r \Rightarrow g(s) < -x \land h(s) < -x \Rightarrow g(s) + h(s) < -2 * x}

g(s) + h(s) < -2 * x \Leftrightarrow f(s) < -2 * x

Nous avons tester tous les cas les plus "basiques". Il manque cependant quelques cas, par exemple que se passe t-il si on additionne une fonction de limite "+ l'infini" avec une autre de limite "- l'infini" ? Il nous manque quelques outils pour pleinement répondre à cette question. En attendant, c'est avec ces résultats que nous pouvons trouver facilement la limite de "3x² + 2x" en "+ l'infini" : "3x²" tend vers "+ l'infini", "2x" aussi, donc "3x² + 2x" tend vers + "l'infini".

Par contre, la limite en "- l'infini" de "5 + inverse de x" en "+ l'infini" est 5 : "5" tend vers "5", inverse de "x" tend vers 0, alors "5 + inverse de x" tend vers 5. C'est la même chose en "+ l'infini".

Cependant, quel est la limite de cette fonction en "0" ? Il est assez évident que la limite à gauche est "- l'infini" et la limite à droite et "+ l'infini". En effet, si une limite en une valeur représente la somme d'une valeur finie et d'un infini, alors l'infini l'emporte sur la valeur finie. La démonstration implique aussi une grosse disjonction de cas. Commençons par la limite à droite vers "+ l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a, a + b[\Rightarrow g(c) > x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e \in]a, a + d[\Rightarrow |h(e) - v| < x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s \in]a, a + r[\Rightarrow |h(s) - v| < x < g(s) \Rightarrow x < x + |h(s) - v| < g(s) + |h(s) - v|

h(s) > v \Rightarrow x < x + h(s) - v < g(s) + h(s) - v \Rightarrow x + v < x + h(s) < g(s) + h(s)

h(s) < v \Rightarrow x < x - h(s) + v < g(s) - h(s) + v \Rightarrow x - v < x - h(s) < g(s) - h(s) \Rightarrow x - 3 * v < x - v + 2 * h(s) < x + h(s) < g(s) + h(s)

Et vers "- l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a, a + b[\Rightarrow g(c) < -x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e \in]a, a + d[\Rightarrow |h(e) - v| < x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s \in]a, a + r[\Rightarrow |h(s) - v| < x < -g(s) \Rightarrow x < x + |h(s) - v| < -g(s) + |h(s) - v|

h(s) > v \Rightarrow x < x + h(s) - v < g(s) + h(s) - v \Rightarrow x + v < x + h(s) < g(s) + h(s)

h(s) < v \Rightarrow x < x - h(s) + v < -g(s) - h(s) + v \Rightarrow x - v < x - h(s) < -g(s) - h(s) \Rightarrow -x + v > -x + h(s) > g(s) + h(s)

En suite, pour la limite à gauche. Commençons vers "+ l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a - b, a[\Rightarrow g(c) > x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e \in]a - d, a[\Rightarrow |h(e) - v| < x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s \in]a - r, a[\Rightarrow |h(s) - v| < x < g(s) \Rightarrow x < x + |h(s) - v| < g(s) + |h(s) - v|

h(s) > v \Rightarrow x < x + h(s) - v < g(s) + h(s) - v \Rightarrow x + v < x + h(s) < g(s) + h(s)

h(s) < v \Rightarrow x < x - h(s) + v < g(s) - h(s) + v \Rightarrow x - v < x - h(s) < g(s) - h(s) \Rightarrow x - 3 * v < x - v + 2 * h(s) < x + h(s) < g(s) + h(s)

Et vers "- l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c \in]a - b, a[\Rightarrow g(c) < -x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e \in]a - d, a[\Rightarrow |h(e) - v| < x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s \in]a - r, a[\Rightarrow |h(s) - v| < x < -g(s) \Rightarrow x < x + |h(s) - v| < -g(s) + |h(s) - v|

h(s) > v \Rightarrow x < x + h(s) - v < g(s) + h(s) - v \Rightarrow x + v < x + h(s) < g(s) + h(s)

h(s) < v \Rightarrow x < x - h(s) + v < -g(s) - h(s) + v \Rightarrow x - v < x - h(s) < -g(s) - h(s) \Rightarrow -x + v > -x + h(s) > g(s) + h(s)

En suite, traitons la limite en "+ l'infini". Commençons vers "+ l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c > b \Rightarrow g(c) > x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e > d \Rightarrow |h(e) - v| < x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s > r \Rightarrow |h(s) - v| < x < g(s) \Rightarrow x < x + |h(s) - v| < g(s) + |h(s) - v|

h(s) > v \Rightarrow x < x + h(s) - v < g(s) + h(s) - v \Rightarrow x + v < x + h(s) < g(s) + h(s)

h(s) < v \Rightarrow x < x - h(s) + v < g(s) - h(s) + v \Rightarrow x - v < x - h(s) < g(s) - h(s) \Rightarrow x - 3 * v < x - v + 2 * h(s) < x + h(s) < g(s) + h(s)

Et vers "- l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c > b \Rightarrow g(c) < -x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e > d \Rightarrow |h(e) - v| < x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s > r \Rightarrow |h(s) - v| < x < -g(s) \Rightarrow x < x + |h(s) - v| < -g(s) + |h(s) - v|

h(s) > v \Rightarrow x < x + h(s) - v < g(s) + h(s) - v \Rightarrow x + v < x + h(s) < g(s) + h(s)

h(s) < v \Rightarrow x < x - h(s) + v < -g(s) - h(s) + v \Rightarrow x - v < x - h(s) < -g(s) - h(s) \Rightarrow -x + v > -x + h(s) > g(s) + h(s)

En suite, traitons la limite en "- l'infini". Commençons vers "+ l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c < -b \Rightarrow g(c) > x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e < -d \Rightarrow |h(e) - v| < x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s < -r \Rightarrow |h(s) - v| < x < g(s) \Rightarrow x < x + |h(s) - v| < g(s) + |h(s) - v|

h(s) > v \Rightarrow x < x + h(s) - v < g(s) + h(s) - v \Rightarrow x + v < x + h(s) < g(s) + h(s)

h(s) < v \Rightarrow x < x - h(s) + v < g(s) - h(s) + v \Rightarrow x - v < x - h(s) < g(s) - h(s) \Rightarrow x - 3 * v < x - v + 2 * h(s) < x + h(s) < g(s) + h(s)

Et vers "- l'infini".

\forall x \in R* +, \exists b \in R* +, {\forall c \in R, c < -b \Rightarrow g(c) < -x}

\forall x \in R* +, \exists d \in R* +, {\forall e \in R, e < -d \Rightarrow |h(e) - v| < x}

\forall x \in R* +, \exists r \in R* +, {\forall s \in R, s < -r \Rightarrow |h(s) - v| < x < -g(s) \Rightarrow x < x + |h(s) - v| < -g(s) + |h(s) - v|

h(s) > v \Rightarrow x < x + h(s) - v < g(s) + h(s) - v \Rightarrow x + v < x + h(s) < g(s) + h(s)

h(s) < v \Rightarrow x < x - h(s) + v < -g(s) - h(s) + v \Rightarrow x - v < x - h(s) < -g(s) - h(s) \Rightarrow -x + v > -x + h(s) > g(s) + h(s)

Donc, la limite en 0 à gauche de "5 + inverse de x" est "- l'infini", et la limite en 0 à droite de "5 + inverse de x" est "+ l'infini".

Les comparaisons asymptotiques

Grâce aux limites de suites, on peut comparer des suites selon la façon dont se comporte la limite de la suite.

Le premier type de comparaison est la négligeabilité / prépondérance de suite. Une suite mathématique "u" est dite négligeable devant une suite "v" lorsque "v" se rapproche plus vite de sa limite que "u". Comme toutes les "premières" définitions ici, cette définition est intuitive. Pour la rendre plus précise, nous allons préciser le fait de se "rapprocher plus vite" de la limite. En fait, si "u" est négligeable devant "v", alors la limite de "u" divisé par "v" est 0. En effet, si "v" se rapproche plus vite, alors on divise "u" par quelque chose de beaucoup plus grand : on se rapproche de 0. Cependant, pour que cette façon de faire marche, il faut que "v" ne soit pas égale à 0. D'ailleurs, comme il peut exister une grande quantité de suites négligeables devant une autre, alors les suites négligeables devant une autre forment un ensemble. La notation de Landau associé revient à dire que "u" appartient aux suites négligeable de "b", notées "o(v)".

u : N ⟶ R, v : N ⟶ R

v(n) ! = 0 \Leftrightarrow [u \in o(v) \Leftrightarrow \lim \frac{u(n)}{v(n)} = 0]

Comme nous avons une fraction, on peut trouver une équivalence en multipliant des deux côtés par un facteur précis, ici une autre suite "w". Dans ce cas, deux suites sont équivalentes si cette nouvelle suite "w" tend vers 0 (pas plus fort que "v" tend vers "+ l'infini", mais fort quand même).

u \in o(v) \Leftrightarrow [\exists w, lim w(n) = 0 \land u(n) = w(n) * v(n)]

Comme pour les limites, ce concept fonctionne de manière similaire avec les fonctions, à la différence prêt que l'on peut l'utiliser en des valeurs finies de la fonction. Toujours comme les limites, nous devons préciser en quelle valeur de la fonction la relation de négligeabilité est respectée. Pour cela, nous devons indiquer sous le symbôle "appartient" cette valeur.

Avec ce concept, l'idée est de savoir quelle partie d'une formule se rapproche moins vite de la limite que les autres. D'un point de vue intuitif, étudier cette partie revient à étudier une version "moins rapide" des autres parties, et donc de la formule générale. Prenons un exemple : démontrons que, en "+ l'infini", la fonction "f" associant "x" à "x" est négligeable devant la fonction "g" qui associe "x" à "x²". D'un point de vue intuitif (que l'on peut forger avec une comparaison de graphe), ce résultat est évident.

La démonstration est en réalité assez simple. En effet, pour démontrer ce résultat, nous devons démontrer l'existence d'une fonction "w" tendant vers "0" en "+ l'infini", permettant de passer de "g" à "f" grâce à un produit. Donc, nous devons trouver un moyen de passer de "x²" à "x" grâce à un produit. Or, multiplier "x²" par "1/x" donne "x" : la fonction que l'on cherche à donc cette forme. Elle existe si "x" est différent de 0 : c'est le cas, car nous cherchons une limite en "+ l'infini", et que "x" doit être très grand, et donc qu'on peut le fixer comme "supérieur à 0".

x ! = 0 \Leftrightarrow x^{2} * \frac{1}{x} = x \Leftrightarrow w(x) = \frac{1}{x}

Or, la fonction qui associe "x" à son inverse tend vers "0" en "+ l'infini". Donc, "w" tend vers "0" en "+ l'infini" : la fonction "f" est négligeable devant "g" en "+ l'infini", et "x" est négligeable devant "x²" en "+ l'infini".

[g(x) = w(x) * f(x) \land \lim_{x ⟶ + ∞} (w(x)) = 0] \Leftrightarrow w(x) \underset{+ ∞}{∈} o(g(x))

À l'inverse, on peut prouver que quand "x" tend vers "0", alors c'est "x²" qui est négligeable devant "x". Donc, démontrer l'existence d'une (nouvelle) fonction "w" tendant vers "0" en "0", permettant de passer de "f" à "g" grâce à un produit. Ici, nous allons trouver un moyen de passer de "x" à "x²" grâce à un produit. Or, multiplier "x" par "x" donne "x²" : la fonction que l'on cherche à donc cette forme.

x * x = x² \Leftrightarrow w(x) = x

Or, la fonction qui associe "x" à "x" tend vers "0" en "0". Donc, "w" tend vers "0" en "0" : la fonction "g" est négligeable devant "f" en 0, et "x²" est négligeable devant "x" en 0.

[f(x) = w(x) * g(x) \land \lim_{x ⟶ 0} (w(x)) = 0] \Leftrightarrow w(x) \underset{0}{∈} o(g(x))

Si on avait utilisé notre première fonction "w" (la fonction inverse), notre "w" aurait tendu vers "+ l'infini", ce qui est parfaitement cohérent, mais pas parfaitement égale à cette définition kà, qui est plus forte. En plus, on aurait eu un problème si "x = 0" : cette fonction n'a pas ce problème.

La continuité

Qu'est ce qu'est la continuité mathématique ?

Les fonctions réelles peuvent posséder une propriété assez connue : la continuité.