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Le chapitre 2

Contenu

Chapitre 1 - démonstrations

Introduction à l'algèbre

Propriétés basiques des lois de compositions

2.0.0.0

Démontrons que, si une loi commutative "." permet l'existence un élément neutre dans un ensemble E, alors il est unique.

Rappelons la définition d'un élément neutre "e" :

∀a ∈E,a . e =a

Définissons un élément "f" obéissant aussi à cette propriété :

∀a ∈E,a . f =a

Donc :

e . f =e
f . e =f

Par commutativité :

e . f =f . e =e =f

Tout élément obéissant à cette propriété est "e" : il est donc unique.

Les structures algébriques de base

2.0.1.0

Démontrons que la structure (N, +) est un magma (et donc, une structure algébrique). Pour cela, nous avons besoin que d'une seule preuve : "+" est stable sur "N". Or, nous l'avons démontré, dans le chapitre 1, proposition 1.2.1.0. Donc, (N, +) est bien une structure algébrique.