Le chapitre 2

La discipline du calcul mathématique

Qu'est ce qu'est le calcul

Commençons par le commencement, avec des définitions pures. En mathématiques, un calcul est une suite d'actions qui permettent de passer d'une forme quelconque à une autre. La branche la plus simple du calcul est le calcul numérique. Un calcul est dit numérique quand il ne permet de travailler que sur des nombres connus. Par exemple, un calcul permet de faire ceci :

Avec ce calcul, les règles permettant de définir les actions possibles sont en général les règles très basiques vues au début de l'enseignement scolaire.

Qu'est ce qu'est l'algèbre classique ?

En mathématiques, l'algèbre classique est la discipline mathématique qui étudie le concept brut de calcul algébrique. En fait, un calcul est une suite d'actions qui permettent de passer d'une forme quelconque à une autre. un calcul est dit algébrique si il permet de travailler avec des indéterminés. Le calcul algébrique est donc une extension du calcul numérique. Les actions possibles sur ces formes sont définis de manière "axiomatique" par l'algèbre classique. En réalité, ces axiomes ne le sont que par le point de vue de la théorie, mais sont déductibles d'autres théories plus complexes (que nous verrons après). Par exemple, avec des nombres entiers, une des actions possibles est de faire ça :

D'un point de vue logique, on peut quantifier cette action pour en faire une proposition toujours vraie.

Qu'est ce qu'est l'algèbre générale ?

Si il y a une algèbre "classique", il y a une algèbre "générale". En mathématiques, l'algèbre générale est la discipline mathématique qui étudie les différentes formes d'algèbres classiques possibles, sous forme de structures algébriques. Une structure algébrique est la mise en commun d'un ensemble et d'une (ou plusieurs) opération de calcul (nommées "lois de composition internes"), pour les étudier de manière conjointe. En fait, chaque structure algébrique possède ses propres propriétés de calcul, avec les opérations décrites dans la structure. C'est grâce à cela que nous savons comment obtenir les "axiomes" de l'algèbre classique, ou même du calcul numérique.

Les structures algébriques et lois de compositions

Pour rappel, une structure algébrique est la mise en commun d'un ensemble et d'une (ou plusieurs) opération de calcul (nommées "lois de composition internes"), pour les étudier de manière conjointe. Hors, utiliser le terme "opération" est, comme nous l'avons déjà dit au dernier chapitre, ambiguë : nous allons le remplacer par le terme "loi de composition".