Le chapitre 2

La discipline du calcul mathématique

Qu'est ce qu'est le calcul

Commençons par le commencement, avec des définitions pures. En mathématiques, un calcul est une suite d'actions qui permettent de passer d'une forme quelconque à une autre. La branche la plus simple du calcul est le calcul numérique. Un calcul est dit numérique quand il ne permet de travailler que sur des nombres connus. Par exemple, un calcul permet de faire ceci :

$\mathrm{(3}+\mathrm{(4\; *\; 2))\; -\; 5}=6$

Avec ce calcul, les règles permettant de définir les actions possibles sont en général les règles très basiques vues au début de l'enseignement scolaire.

Qu'est ce qu'est l'algèbre classique ?

En mathématiques, l'algèbre classique est la discipline mathématique qui étudie le concept brut de calcul algébrique. En fait, un calcul est une suite d'actions qui permettent de passer d'une forme quelconque à une autre. un calcul est dit algébrique si il permet de travailler avec des indéterminés. Le calcul algébrique est donc une extension du calcul numérique. Les actions possibles sur ces formes sont définis de manière "axiomatique" par l'algèbre classique. En réalité, ces axiomes ne le sont que par le point de vue de la théorie, mais sont déductibles d'autres théories plus complexes (que nous verrons après). Par exemple, avec des nombres entiers, une des actions possibles est de faire ça :

$\mathrm{a\; *\; (b}+\mathrm{c)}=\mathrm{a\; *\; b}+\mathrm{a\; *\; c}$

D'un point de vue logique, on peut quantifier cette action pour en faire une proposition toujours vraie.

$\forall a,b,c\in N,\mathrm{a\; *\; (b}+\mathrm{c)}=\mathrm{a\; *\; b}+\mathrm{a\; *\; c}$

Qu'est ce qu'est l'algèbre générale ?

Si il y a une algèbre "classique", il y a une algèbre "générale". En mathématiques, l'algèbre générale est la discipline mathématique qui étudie les différentes formes d'algèbres classiques possibles, sous forme de structures algébriques. Une structure algébrique est la mise en commun d'un ensemble et d'une (ou plusieurs) opération de calcul (nommées "lois de composition internes"), pour les étudier de manière conjointe. En fait, chaque structure algébrique possède ses propres propriétés de calcul, avec les opérations décrites dans la structure. C'est grâce à cela que nous savons comment obtenir les "axiomes" de l'algèbre classique, ou même du calcul numérique.

Les structures algébriques et lois de compositions

Pour rappel, une structure algébrique est la mise en commun d'un ensemble et d'une (ou plusieurs) opération de calcul (nommées "lois de composition internes"), pour les étudier de manière conjointe. Hors, utiliser le terme "opération" est, comme nous l'avons déjà dit au dernier chapitre, ambiguë : nous allons le remplacer par le terme "loi de composition". Une loi de composition est une application entre tous les éléments de deux ensembles "A" et "B", et vers des éléments de "A". Il s'agit d'un type précis d'opération binaire, avec au moins un opérande étant du même ensemble que le résultat. De manière plus rigoureuse (et mathématique) : une loi de composition est une application entre tous les éléments du produit cartésien de deux ensembles "A" et "B" (ou du produit cartésien de "B" et "A"), et vers des éléments de "A". Parmi tout ce que l'on a vue, nous avons vu une loi de composition : l'addition (de "N X N" vers "N"). Voici un tableau représentant à l'horizontal le premier opérande, à la vertical le deuxième opérande et leur résultat lors de leur croisement.

Il y a une grosse différence entre la notion de loi de composition et la notion d'opération : la stabilité. Une opération entre plusieurs objets est dite stable (ou close) en un ensemble E si, pour tous les éléments possibles au départ, l'arrivée est toujours dans E. Si une opération binaire est stable et que au moins un de ces opérandes est du même ensemble que le résultat, alors elle est une loi de composition. Par exemple, l'opération addition entre deux nombres entiers naturels est stable dans les nombres entiers naturels (démontré au premier chapitre). Prenez n'importe quels nombres naturels et additionnez les : vous aurez toujours un nombre entier naturel. À l'inverse, l'opération soustraction entre deux nombres entiers naturels n'est pas stable dans les nombres entiers naturels, car il existe des contres-exemples (4 - 9 fait -5, qui n'est pas un nombre entier naturel). Voici un exemple légèrement plus complexe : l'opération d'addition de "{0, 1, 2, 3}" et "{0, 1, 2, 3}" (lui même) n'est pas stable dans "{0, 1, 2, 3}".

Le cas le plus utile est quand la loi de composition est dite interne. Une loi de composition est dite interne lorsque les deux éléments de départs sont les mêmes (et donc, les mêmes que l'ensemble d'arrivée aussi). Par exemple, c'est (encore) le cas de l'addition dans les nombres entiers naturels. Pour un ensemble E, une loi de composition interne "l" notée "." se définie comme ça :

$\mathrm{l\; :\; E\; X\; E}⟶E$
$\forall a,b\in E,\exists \mathrm{!\; c}\in E,\mathrm{a\; .\; b}=c$

Une manière intéressante d'étudier une loi de composition interne est la table de Cayley. Une table de Cayley est une représentation sous forme de tableau à deux entrées des valeurs obtenues grâce à une loi de composition entre chaque élément d'une structure algébrique finie. Nos exemples plus haut ne sont pas exactement des tables de Cayley, car l'ensemble "N" est infini (dans le premier cas), et la loi de composition n'est pas interne (dans le deuxième cas). En regardant précisément comment se comportent les éléments de la table, nous pouvons en déduire des propriétés plutôt intéressantes, sur dans des cas de structures très originales. Voici un exemple : la table de Cayley représentant l'ensemble des restes par la division euclidienne de nombres par 5 (après l'application de la loi de composition interne), avec comme loi de composition interne l'addition.

Les lois de compositions internes peuvent avoir une très grande quantité de propriété, très souvent syntaxiques (liée à la façon dont vous pouvez écrire avec la loi). La plus simple est l'associativité. Une loi de composition interne est dite associative si l'ordre de réalisation de plusieurs opérations ne modifie pas le résultat. En fait, si notre loi "." est associative, alors :

$\forall a,b,c\in E,\mathrm{(a}+\mathrm{b)}+c=a+\mathrm{(b}+\mathrm{c)}$

Comme nous l'avons démontré au chapitre précédent, l'addition et la multiplication sont associative. Cependant, la puissance n'est pas associative, et voici un contre exemple :

$\mathrm{2\; ^\; (2\; ^\; 3)}=\mathrm{2\; ^\; 8}=\mathrm{256}$
$\mathrm{(2\; ^\; 2)\; ^\; 3}=\mathrm{4\; ^\; 3}=\mathrm{64}$

Les lois de compositions internes peuvent aussi permettre l'existence d'éléments remarquables dans E (quand utilisés avec la loi). Le plus simple est l'élément neutre. Un élément est dit neutre par une loi de composition si l'utilisation de la loi sur un autre élément "a" et cet élément donne "a". Il ne modifie pas ce fameux élément "a", comme montré dans cette définition (ou "e" est l'élément neutre).

$\forall a\in E,a+e=a$

C'est, par exemple, le cas du "0" dans l'addition dans les nombres entiers naturels, ou de "1" dans la multiplication ou la puissance dans ce même ensemble.

$\forall a\in E,a+0=a$
$\forall a\in E,\mathrm{a\; *\; 1}=a$

Il est à noter que, si une loi de composition commutative permet l'existence d'un élément neutre dans un ensemble, alors il n'y en a qu'un seul dans l'ensemble (démontré ici).

Maintenant, parlons des structures algébriques. Pour rappel, une structure algébrique est la mise en commun d'un ensemble et d'une (ou plusieurs) opération de calcul (nommées "lois de composition internes"), pour les étudier de manière conjointe. Nous avons donc besoin de deux objets : un ensemble "E", et une (ou des) opération ".". La notation pour une structure algébrique se note ainsi.

$\mathrm{(E},\mathrm{.)}$

Dans un cas très simple, voici la structure algébrique correspondant à l'ensemble des nombres entiers naturels et de l'addition (dont on peut prouver facilement l'existence, comme ici) :

$\mathrm{(N},+)$

Les différents types de structures algébriques

Magmas et groupes

Les structures algébriques sont catégorisées par les propriétés des lois de compositions internes avec l'ensemble utilisé. Le type de structure algébrique le plus simple est le magma. En algèbre, un magma est une structure algébrique représentant un ensemble quelconque et une seule loi de composition interne sur cette ensemble, sans plus de détail. Bien que très générale, cette définition est très faible. Il existe une quantité aberrante de magma : (N, +), (N, *), (N, ^)... La seule chose à prouver pour que l'union d'un ensemble et d'une opération soit un magma et de prouver que l'opération est stable.

À l'inverse, une structure très utilisée est le groupe. En algèbre, un groupe est un magma dont la loi de composition interne et associative, admet un neutre, et est inversible. Bien que cette définition semble très générale, elle exclut directement tous les exemples vues plus tôt : (N, +) et (N, *) ne sont pas inversibles, et (N, ^) n'est même pas associative. Cependant, l'addition sur Z permet de former un groupe. D'ailleurs, les groupes utilisant comme loi de composition interne une forme "d'addition" sont dit additifs.

$\mathrm{(Z},+)$

Dans un groupe, l'inverse d'un élément "a" est généralement noté "a exposant -1". Cette notation peut être risquée si vous ne savez pas si vous travaillez avec un groupe, ou avec un nombre "normal" : faites donc toujours attention au contexte.

$G=\mathrm{(E},\mathrm{¤)},\forall a\in E,a¤a^{\mathrm{-1}}=0_G$

Une catégorie de groupe plus forte est le groupe abélien. Un groupe est dit abélien si sa loi de composition est commutative. (Z, +) en est un exemple.

Les groupes sont tellement intéressants mathématiquement qu'ils ont une discipline totale leur étant dédiée : la théorie des groupes. La théorie des groupes représente la discipline qui étudie les groupes algébriques de manière très poussée. Historiquement cette théorie est apparue aux environs de l'année 1800.

Les sous-groupes

Comme il exemple des sous-ensembles d'ensembles, il existe des sous-groupes de groupes. Ici, un sous-groupe H d'un groupe G est un groupe sur un sous-ensemble de l'ensemble de G, muni de la même loi de composition que G. Ce groupe doit donc contenir les mêmes propriétés que tous les groupes : stabilité de la loi, associativité, neutre et inversibilité. Déjà (et si la loi est stable), comme un sous-groupe est défini sur un sous-ensemble de son groupe de départ, alors les éléments du sous-groupe sont aussi dans ceux du groupe, et la condition d'associativité est toujours assurée (inutile de la démontrer à chaque fois).

$\forall a,b,c\in E,\mathrm{(a\; .\; b)\; .\; c}=\mathrm{a\; .\; (b\; .\; c)}$
$\Rightarrow \forall F\subseteq E,\forall a,b,c\in F,\mathrm{[a},b,c\in \mathrm{E]}\iff \mathrm{[(a\; .\; b)\; .\; c}=\mathrm{a\; .\; (b\; .\; c)]}$

De plus (toujours si la loi est stable), prouver que ce sous-groupe possède un neutre revient à démontrer que le neutre du groupe de départ se situe dans le sous-ensemble. La démonstration de cette proposition est presque identique à celle pour l'associativité.

$\forall a\in E,\exists e\in E,\mathrm{a\; .\; e}=a$
$\Rightarrow \forall F\subseteq E,\forall a\in F,\mathrm{[a}\in \mathrm{E]}\iff [\exists e\in E,\mathrm{a\; .\; e}=\mathrm{a]}$

Finalement, la seule difficulté est de prouver que la loi est stable sur l'ensemble du sous-groupe (et donc, sur le sous-ensemble de l'ensemble du groupe), et que chaque élément de l'ensemble du sous-groupe possède un inverse, toujours dans le sous-groupe. Pour avoir un exemple, prenons... un exemple. Imagineons le groupe "G" représentant le groupe additif des entiers relatifs.

$G=\mathrm{(Z},+)$

Prenons un sous ensemble de "Z" : l'ensemble des nombres pairs "2Z". Comme nous l'avons vue, les éléments de "2Z" représentent tous les multiples de 2. La question est donc simple : est-ce que le groupe additif sur "2Z" est un sous-groupe de "G"? Déjà, vérifions si "2Z" est stable sur l'addition.

$\forall a,b\in \mathrm{2Z},\exists c,d,e\in Z,\mathrm{[a}=\mathrm{2\; *\; c},b=\mathrm{2\; *\; d},a+b=\mathrm{e]}$
$\Rightarrow e=a+b=\mathrm{2\; *\; c}+\mathrm{2\; *\; d}=\mathrm{2\; *\; (c}+\mathrm{d)}$
$\Rightarrow \exists f\in Z,\mathrm{[f}=c+d,e=\mathrm{2\; *\; f]}\Rightarrow e\in \mathrm{2Z}$

Comme nous le constatons, toute somme d'éléments de "2Z" forme un élément de "2Z". Maintenant, vérifions la présence de chaque opposé de chaque élément de "2Z".

$\forall a\in \mathrm{2Z},\exists b,c\in Z,\mathrm{[a}=\mathrm{2\; *\; b},a+c=\mathrm{0]}$
$\Rightarrow \mathrm{2\; *\; b}+c=0\Rightarrow \mathrm{2\; *\; b}=\mathrm{-c}\Rightarrow \mathrm{2\; *\; -b}=c\Rightarrow c\in \mathrm{2Z}$

Chaque élément possède bien un opposé, dans "2Z". Finalement, nous pouvons très facilement démontrer que le neutre de "(Z, +)", 0, appartient à "2Z", car "2 * 0 = 0". Donc, "2Z" est un sous-groupe de "G". D'ailleurs, cette démonstration marche pour tout "n" supérieur à 1, et "nZ" est un sous-groupe de "G"(démontré ici).

Dans un groupe, il est possible d'utiliser un sous-groupe de plusieurs manières possibles. Prenons un exemple : le sous-groupe "4Z" sur "(Z, +)" est constitué de 0, 4, 8, 12... Or, il est théoriquement possible de définir quelque chose d'assez proche à un groupe, sous la forme 1, 5, 9, 13..., ce qui demande donc de modifier la loi, en ajoutant une sorte de "+ 1" quelque part : on garde la stabilité et l'opposé, il manque juste l'élément neutre. Cependant, il existe un moyen de représenter ce genre d'opérations dans le cas d'un élément précis : les classes à gauches (et à droites) d'un élément suivant un sous-groupe. Une classe à gauche (ou à droite) d'un élément "a" suivant un sous-groupe représente l'ensemble des modifications possibles dans un sous-groupe, en ne faisant qu'utiliser la loi de composition à gauche (ou à droite) des éléments du sous-groupe avec l'élément "a" du groupe. Ici, la différence entre "gauche" et "droite" représente le fait que, dans certains groupes, l'opération n'est pas commutative (si elle l'est, alors les classes à gauche et à droite sont les mêmes). En fait, dans notre ensemble de tout à l'heure sous la forme 1, 5, 9, 13, on prend juste tous les éléments du groupe de départ "4Z", et on leur additionne "1" : c'est la classe à gauche (et à droite) de 1 suivant "4Z". Une classse à gauche, puis à droite, d'un élément "a" d'un sous-groupe "H" de "G" (avec un loi de composition notée ".") se note "aH" pour la classe à gauche (et "Ha" pour la classe à droite), et se définit ainsi :

$\mathrm{aH}=\mathrm{\{g}\in G,\exists h\in H,g=\mathrm{a\; .\; h\}}$
$\mathrm{Ha}=\mathrm{\{g}\in G,\exists h\in H,g=\mathrm{h\; .\; a\}}$

En plus de ça, on peut aussi étudier l'ensemble de toutes les classes possibles (et donc, formées de tous les "a" possibles) que l'on peut formé dans un groupe. Pour un sous-groupe "H" de "G", l'ensemble de ces classes à gauche, puis à droite, est notée avec un trait de fraction, orienté selon le "gauche" ou "droite" :

$\mathrm{G\; /\; H}=\mathrm{\{p}\in \mathrm{P(G)},\exists a\in G,p=\mathrm{aH\}}$
$\mathrm{H\; \backslash \; G}=\mathrm{\{p}\in \mathrm{P(G)},\exists a\in G,p=\mathrm{Ha\}}$

Essayons d'obtenir l'ensemble des classes à gauche de "4Z" (qui est confondu avec celui des classes à droite, car "(Z, +)" est commutatif), en plus de 1, 5, 9, 13,... Dans "4Z", on peut aussi obtenir 2, 6, 10, 14... en ajoutant 2, et même 3, 7, 11, 15... en ajoutant 3. Or, pour le prochain, 4, 8, 12, 16..., on retrouve juste une partie de "4Z". Pour celui qui est le prochain... du prochain, on retrouve une partie de "4Z" auquelle on ajoute 1. Ce sera la même pour les autres, seuls les premiers seront comptabilisés : l'ensemble des classes à gauches et à droites possibles a un cardinal de 4. En fait, l'ensemble des classes à gauches et à droites possibles de "nZ" a un cardinal de n(démontré ici). Quelque chose d'important : l'ensemble des classes à gauches d'un sous-groupe a le même cardinal que l'ensemble des classes à droite de ce sous-groupe. Avec ce concept, on peut en définir un autre assez similaire : l'indice du sous-groupe. L'indice d'un sous-groupe représente le cardinal des classes à gauche (ou à droite) d'un sous-ensemble.

Les groupes symétriques

Un type de groupe un petit peu bizarre mais assez atypique est le groupe symétrique. Le groupe symétrique (ou groupe des permutations) d'un ensemble "E" est un groupe sur l'ensemble des permutations de "E", et utilisant comme loi de composition la composition de fonction. Cela est parfaitement possible. En effet, comme nous l'avons vue au chapitre 1, la composition de deux bijections donne une bijection, la composition de bijection est associative, la bijection identité représente le neutre, et chaque bijection possède une inverse (sa réciproque). Bien qu'il puisse être un peu bizarre, il s'agit bien d'un groupe. Généralement, on le note avec la lettre "S" et le nom de l'ensemble "E".

$\mathrm{S(E)}$

Il existe un autre concept très proche (et très lié) à ces groupes symétriques : les groupes de permutations. Un groupe de permutation d'un ensemble "E" est un sous-groupe du groupe symétrique (aussi nommé groupe des permutations) de "E". Ce concept permet d'énoncer un théorème très pratique : le théorème de Cayley.

Le groupe additif Z/nZ

En arithmétique des nombres entiers naturels, la théorie des groupes est très utilisée pour beaucoup de résultats. Le meilleur exemple est le groupe "(Z/nZ, +)". Le groupe additif "Z/nZ" est un sous-groupe de "(Z, +)", où l'ensemble du groupe représente "Z" quotienté par la relation d'équivalence qui lie les éléments ayant le même reste par la division euclidienne par "n". En d'autres termes, il s'agit d'un groupe définit sur des restes de divisions euclidiennes par "n". Ici, la notation utilisée "Z/nZ" permet de savoir que nous quotientons "Z" par son sous-groupe additif "nZ" (et donc, où l'on découpe "Z" comme les classes à gauches de "nZ", et donc comme tous les "a" différents dans la formule "a + b * n"). Pour noter les classes d'équivalences, nous allons les noter comme la classe d'équivalence de l'élement entre "0" et "n", pour faciliter les calculs.

$\mathrm{Z/nZ}=\mathrm{\{[0]},\mathrm{[1]},\mathrm{...},\mathrm{[n\; -\; 1]\}}$
$\mathrm{Z/5Z}=\mathrm{\{[0]},\mathrm{[1]},\mathrm{[2]},\mathrm{[3]},\mathrm{[4]\}}$

Il existe une notation précise pour signifier que deux nombres "a" et "b" sont dans une même classe d'équivalence dans "Z/nZ" : on dit que "a" est congru à "b" modulo "n". Bien qu'on essaye d'obtenir le "b" le plus simple possible, on peut aussi en obtenir un plus complexe si besoin. La notation hérite directement du concept de relation d'équivalence.

$a\equiv \mathrm{b\; [n]}$
$\mathrm{81}\equiv \mathrm{1\; [5]}$

Cet ensemble est bien un groupe abélien (démontré ici). En fait, l'intêrêt de ce groupe est de pouvoir trouver des restes facilement après une addition. En effet, additionner deux nombres donne un résultat dans la même classe d'équivalence que celle de la somme de l'élément le plus simple de leur classe d'équivalence. Cette propriété se déduit directement de la stabilité de cet ensemble avec l'addition.

Les opérations sur les structures algébriques

Les parties génératrices et sous-groupes engendrés

Les sous-groupes engendrés sont des objets algébriques, très utilisés dans l'étude des groupes. En effet, un sous-groupe engendré d'une partie "F" d'un groupe "G" sur un ensemble "E" représente l'ensemble des éléments de "G" que nous pouvons obtenir avec seulement une répétition de la loi du groupe sur des éléments de cette partie "F" (et / ou de leurs inverses). Pour un groupe "G" utilisant l'ensemble "E" et la loi "¤", un sous-groupe "H" engendré par la partie "F" de "E" est un sous-groupe de "G" sur une partie "D" de "E", et le plus important est de définir "D". Cependant, la définition rigoureuse de "D" est un peu complexe. Pour une traduction mathématique - français, lisez "Soit un groupe G formé d'un ensemble E, et d'une loi ¤, et F une partie de F. H est un groupe formé d'un ensemble D et d'une loi ¤, et D représente l'ensemble des éléments x de E tel qu'il existe un nombre entier naturel n dont tous les nombres entiers naturels inférieurs peuvent [indexer un ensemble f d'éléments de F] et [indexer un ensemble a représentant soit 1, soit -1], et que x représente n utilisations de ¤ entre chaque [élément de f exposant a (représentant soit l'élément direct, soit l'inverse), selon l'indice actuel]".

$G=\mathrm{(E},\mathrm{¤)},F\subseteq E,H=\mathrm{(D},\mathrm{¤)}$

Dans cette définition, il n'est pas exclu que tous les éléments "f" soient... un même élément, comme que les appartitions de "a" représentent toutes 1 ou -1 (ici, exposant 1 ne change rien, et exposant -1 représente l'inverse). On peut facilement voir que "D" est une partie de "E" (confirmant que "H" est un sous-groupe de "G"), puisque (par définition) tous les éléments de "D" appartiennent aussi à "E". Il existe une notation pour ces fameux sous-groupes engendrés : un sous-groupe engendré par une partie "F" se note ainsi, avec des sortes de chevrons:

$H=⟨F⟩$

En étudiant une partie génératrice d'un groupe, on peut donner des informations utiles sur ce groupe. Une des propriétés les plus utiles à étudier est la taille de cette partie génératrice, permettant de définir de nouveaux types de groupes : les groupes monogènes et les groupes cycliques. Un groupe est dit monogène si il admet une partie génératrice de taille 1 (un singleton). Donc, avec seulement un élément d'un groupe monogène (ou, encore une fois, son inverse si nécessaire, qui n'appartient pas à la partie génératrice conformément à la définition de cette dernière), on peut générer tous les éléments du groupe en répétant l'opération de ce dernier. En fait, le groupe monogène le plus simple est le groupe additif "(Z, +)", qui est généré par "1" et son inverse (-1).

$4=1+1+1+1$
$0=\mathrm{1\; -\; 1}$
$\mathrm{-3}=\mathrm{-1}+\mathrm{-1}+\mathrm{-1}$

Ce groupe est infini, cependant il est généralement plus commun de travailler avec des groupes monogènes finis : les groupes cycliques. Un groupe est dit cyclique si il est homogène et fini. Ici, le groupe cyclique le plus simple est le groupe additif "(Z/nZ, +)", qui est généré par "1" et son inverse (-1). Par exemple, dans "Z/5Z" :

$2=1+1$
$7\iff 2=1+1$
$0=\mathrm{1\; -\; 1}$
$\mathrm{-2}\iff 3=1+1+1$

Les parties génératrices représentent des sous-groupes engendrés un peu spéciaux. En effet, une partie génératrice d'un groupe est une partie "F" d'une groupe "G" sur un ensemble "E" où le sous-groupe engendré par "F" représente l’entièreté de "G".

$H=⟨F⟩=G$

L'ordre d'un groupe / d'un élément de groupe

Un concept assez trompeur en théorie des groupes est l'ordre. En effet, un ordre peut qualifier un groupe, comme il peut qualifier un élément de groupes, mais leur définition diffère. Déjà, l'ordre d'un groupe représente le cardinal de l'ensemble qui constitue le groupe. C'est une définition assez simple, qu'on peut déjà partiellement utiliser. En effet, on peut en déduire que l'ordre de "(Z, +)" est l'infini (dénombrable), et l'ordre du groupe symétrique d'un ensemble "E" de cardinal "n" est "n!" (le nombre de bijections de "E" vers "E"). Il se note généralement avec des "|" autour du groupe nécessaire.

$\mathrm{|G|}$

Dans le cas d'un élément de groupe, la définition se complexifie un peu. En effet, l'ordre d'un élément d'un groupe représente le cardinal du sous-groupe engendré par cet élément.

Les morphismes

Il est possible de faire des applications entre structures algébriques tout en gardant les propriétés de la structure, grâce à un concept assez pratique : les morphismes. Cet objet est assez complexe, car il représente un objet d'une autre théorie logique très complexe (la théorie des catégories), mais une version simplifiée existe pour l'algèbre. Dans cette "théorie des catégories", un morphisme de structures est une application entre deux ensembles de deux structures, où les lois sont compatibles entre elles après utilisation de l'application. Ici, "structure" représente n'importe quoi qui admet des lois quelconques. Dire que les lois doivent être "compatibles entre elles" représente la différence entre une application et un morphisme. Déjà, par définition, toutes les lois de notre deuxième structures doivent avoir les exacts mêmes propriétés que celles de notre première structure(les deux structures doivent appartenir à la même catégorie de structure). De plus, cela veut dire que l'utilisation de la loi du groupe d'arrivée sur des images du morphisme et égal à utiliser la loi de l'ensemble de départ sur les deux antécédents, puis d'en obtenir leur image (et qu'elle est similaire au résultat obtenu grâce à la loi de la structure d'arrivée, au début). Bien évidemment, il faut que toutes les lois des deux structures respectent cette compatibilité.

Dans notre cas, ces "structures" représentent des structures algébriques. Donc, en algèbre, un morphisme de structures algébriques est une application entre deux ensembles de deux structures algébriques, où l'on doit s'assurer que les lois de composition de la première structure ont les mêmes propriétés que les lois de composition de la deuxième structure après utilisation de l'application, et que les lois de composition sont compatibles entre elles après utilisation de l'application. Déjà, par définition, les deux structures algébriques doivent être les mêmes (groupe vers groupe, monoïde vers monoïde...). En plus, comme pour le cas général, l'utilisation des lois de composition du groupe d'arrivée sur des images du morphisme est égal à utiliser cette loi à des éléments de l'ensemble de départ sur les antécédent, puis d'en obtenir leur image (et qu'elle est similaire au résultat obtenu grâce à la loi de composition de la structure d'arrivée, audébut).

Le cas le plus simple est le morphisme de groupe. Un morphisme de groupe est un morphisme d'un groupe vers un autre groupe, où les lois de composition des deux groupes sont compatible entre elles. Pour un groupe "G" et "H" quelconque, un morphisme "f" se présente comme cela :

$G=\mathrm{(E},\mathrm{.)}$
$H=\mathrm{(F},\mathrm{*)}$
$\mathrm{m\; :\; E}⟶F,x⟶\mathrm{f(x)}$

Pour l'instant, il s'agit d'une application normale. Pour en faire un morphisme, il faut qu'elle vérifie cette propriété :

$\forall y,z\in E,\mathrm{f(y\; .\; z)}=\mathrm{f(y)\; *\; f(z)}$

C'est la mise en forme littérale de la "compatibilité" des deux groupes.

Les actions de groupes

Avant d'être un type précis de procédure judiciaire, une action de groupe est une opération possible en théorie des groupes. Une action de groupe est un moyen d'opérer un groupe avec un ensemble "E", de tel manière que tous les résultats de ces opérations (entre un élément du groupe et un élément de "E") appartiennent à "E". Plus précisément, l'idée est de définir une opération entre un groupe et un ensemble comme l'opération d'un élément du groupe avec un élément de l'ensemble (et ça, pour tous les éléments de l'ensemble et du groupe) vers un élément quelconque de l'ensemble. D'un point de vue "vocabulaire", on peut dire que "G" opère sur "E", où que "G" agit sur "E". Une action de groupe entre un groupe "G" et un ensemble "E" se note généralement comme ceci :

$\mathrm{G\; X\; E}⟶E,\mathrm{(g},\mathrm{e)}⟶\mathrm{g\; .\; e}$

Cependant, une action de groupe doit respecter certaines propriétés de compatibilité similaires aux propriétés de compatibilité des morphisme(bien que légèrement plus simples). En effet, si vous opérer deux éléments "g" et "h" du groupe entre eux puis que vous l'opérer avec un élément de l'ensemble, vous devez obtenir l'exact même résultat que si vous opérez "h" et l'élément de l'ensemble, puis "g" et le résultat obtenu entre "h" et l'élément de l'ensemble. Mathématiquement, cela se note comme ça :

$\forall g,h\in G,\forall e\in E,\mathrm{(g\; .\; h)\; .\; e}=\mathrm{g\; .\; (h\; .\; e)}$

De plus, l'élément neutre de "G" doit se comporter comme un élément neutre de l'ensemble "E". Dans le cas où l'élément neutre se note "n", on note ainsi :

$\forall e\in E,\mathrm{n\; .\; e}=e$

Il existe beaucoup de vocabulaire pour désigner différents objets se comportant différement via une action de groupe. Commençons par le concept d'orbite. Le stabilisateur d'un élément "x" d'un ensemble "E" sous l'action d'un groupe représente l'ensemble des éléments de "G" tel qu'opérer ces éléments de "G" et "x" donne "x" sous l'action du groupe associée. Il s'agit d'une version plus "grande" des antécédents par l'action de groupe. Généralement, cet ensemble est noté "grand O de x", et se définit comme ça

$O_x=\mathrm{\{y}\in E,\exists g\in G,\mathrm{g\; .\; y}=\mathrm{x\}}$

De façon similaire, on peut aussi parler de stabilisateur d'un élément du groupe. Le stabilisateur d'un élément "x" d'un ensemble "E" sous l'action d'un groupe représente l'ensemble des éléments de "G" tel qu'opérer ces éléments de "G" et "x" donne "x" sous l'action du groupe associée. Il s'agit donc des éléments du groupe qui ne changent pas "x". Généralement, cet ensemble est noté "St de x", et se définit comme ça

${\mathrm{St}}_x=\mathrm{\{g}\in G,\mathrm{g\; .\; x}=\mathrm{x\}}$

D'ailleurs, tous les stabilisateurs possibles forment un sous-groupe de "G"(démontré ici). On peut aussi modifier cette définition pour obtenir un ensemble d'élément de "g" qui ne modifient pas tout un ensemble de "E". C'est la même chose que la définition à un élément à la différence prêt que l'on définit ici avec une partie de "E".

Finalement, on peut obtenir la "réciproque" de ce concept, grâce aux points fixes. Le point fixe d'un élément "g" d'un groupe "G" opérant sur un ensemble "E" représente l'ensemble des éléments de "E" tel que opérer "g" par ces éléments ne modifie pas ces éléments (et donc que "g" est dans le stabilisateur de l'élément).

Généralement, cet ensemble est noté "fixe de g", et se définit comme ça

${\mathrm{Fix}}_g=\mathrm{\{x}\in A,\mathrm{g\; .\; x}=\mathrm{x\}}$

Une nouvelle façon de voir les nombres

Qu'est ce qu'est un nombre rationnel ?

Au dernier chapitre, l'accent était mis sur les ensembles "N" et "Z". On n'a donc défini des nombres comme des éléments que l'on peut placer sur une ligne, à une certaine distance de 0.

Avec les nombres rationnels, nous allons utiliser une catégorie différente de nombre. Déjà, nous allons considérer que chaque nombre entier est séparé par une distance précise, et que un nombre "n + 1" se trouve à une distance de "1" unité par rapport à "n". Ici, nous allons imaginer ces distances de manière géométrique, comme un trait entre "n" et "n + 1". Or, il est très facile d'obtenir le milieu de ce trait. Sur notre ligne, ce milieu ne correspond à aucun nombre entier. Or, nous savons que ce milieu se situant à une distance représentant la moitié de "1" existe. En fait, il est possible de représenter des distances coupées de cette manière, grâce à ces fameux nombres rationnels.

D'un point de vue rigoureux, un nombres rationnel représente un nombre entier relatif (nommé "numérateur"), que l'on a découpé (au sens de "diviser") en une quantité finie et non nulle (nommée "dénominateur"). La notion d'un nombre rationnel est inspirée de celle de la division (présentée dans le chapitre 1) : on note le numérateur au dessus du dénominateur, en les séparant par une barre (comme pour la division).

$\frac{\mathrm{Numerateur}}{\mathrm{Dénominateur}}$

D'un point de vue logique, un nombre rationnel représente un nombre entier relatif quelconque (numérateur) divisé par un nombre entier naturel non-nul (dénominateur). Certains auteurs disent que le dénominateur peut être un nombre entier relatif quelconque différent de 0, mais dans le cas où il est négatif, selon la définition de la multiplication dans "Z", cela revient à le faire devenir positif, et changer le signe du numérateur. Pour des raisons de simplicité, nous allons garder le signe "-" en haut, et laisser le dénominateur positif. Donc, chaque nombre rationnel admet un signe, représentant le signe de son numérateur. L'ensemble des nombres rationnel est noté "Q"(venant de "Quoziente" en italien).

$\forall a,a\in Q\Rightarrow [\exists b\in Z,\exists c\in \mathrm{N*},a=\frac{b}{c}\iff b=\mathrm{c\; *\; a]}$

Comme nous l'avons vue, cette définition est entièrement originaire de la définition de la multiplication et de la division dans "Z". Dans ce cas, "Q" est inclu dans le produit cartésien de Z et N*. Grâce à cette définition, on se rend compte que différentes fractions peuvent utiliser des "b" et des "c" différents, mais designer un même nombre rationnel "a".

$\forall a,b\in Q\iff [\exists c,e\in Z,\exists d,f\in \mathrm{N*},a=\frac{b}{c}\wedge b=\frac{d}{e}]\Rightarrow \mathrm{[a}=b\iff \mathrm{d\; *\; e}=\mathrm{c\; *\; f]}$
$\mathrm{3\; *\; 4}=\mathrm{6\; *\; 2}\iff \frac{3}{2}=\frac{6}{4}$

Pour rendre les nombres rationnels unique, on peut quotienter cet ensemble (le produit cartésien de Z et N*) par la relation d'équivalence reliant les fractions respectant cette propriété. Nous allons donc définir une relation "~", respectant cette propriété.

$\forall a,b\in \mathrm{Z\; X\; N*}\iff [\exists c,e\in Z,\exists d,f\in \mathrm{N*},a=\frac{b}{c}\wedge b=\frac{d}{e}],\mathrm{a\; ~\; b}\iff \mathrm{d\; *\; e}=\mathrm{c\; *\; f}$
$Q=\mathrm{(Z\; X\; N*)/~}$

Grâce à cette définition, on se rend compte que multiplier le numérateur et le dénominateur ne change absolument pas la valeur du nombre rationnel. C'est assez logique quand on comprend précisément la définition d'un nombre rationnel, avec la division.

$\forall g\in \mathrm{Z*},\mathrm{d\; *\; c}=\mathrm{c\; *\; d}\iff \mathrm{d\; *\; c\; *\; g}=\mathrm{c\; *\; d\; *\; g}\iff \frac{c}{d}=\frac{\mathrm{c\; *\; g}}{\mathrm{d\; *\; g}}$

Par définition de la division, cela marche aussi pour la division (bien évidemment, si "c" et "d" sont multiples de "g"). Cependant, cela ne marche pas avec l'addition, car l'addition est distributive par rapport au "*" dans "Z" (on obtient donc une identité fonctionelle mais inutile).

$\forall g\in \mathrm{Z*},\mathrm{d\; *\; c}=\mathrm{c\; *\; d}\iff \mathrm{(d\; *\; c)}+g=\mathrm{(c\; *\; d)}+g\iff \mathrm{d\; *\; g}+\mathrm{c\; *\; g}=\mathrm{c\; *\; g}+\mathrm{d\; *\; g}\iff \frac{\mathrm{c\; *\; g}}{\mathrm{d\; *\; g}}=\frac{\mathrm{c\; *\; g}}{\mathrm{d\; *\; g}}$

On se rend compte d'autre chose aussi : tout nombre rationnel qui peut s'écrire comme ayant un "1" en dénominateuur est un nombre entier relatif.

$a=\frac{c}{1}\iff c=\mathrm{a\; *\; 1}\iff c=a$

Au contraire, si le numérateur et le dénominateur sont égaux, le nombre est égal à 1.

$a=\frac{c}{c}\iff c=\mathrm{a\; *\; c}\iff a=1$

L'arithmétique des nombres rationnels

Comme pour "N" et "Z", "Q" possède une arithmétique très précise, et bien plus riche que celle de "N" et "Z".

Déjà, "Q" possède bel et bien une opération d'addition, avec les mêmes propriétés que dans "Z". Comme pour "N" et "Z", opérer deux nombres entier relatif écrit dans "Q" revient à opérer deux nombres entiers relatifs tout cours. Dans "Q", l'opération est définie comme cela :

$\forall a,b\in Q\iff [\exists c,e\in Z,\exists d,f\in \mathrm{N*},a=\frac{b}{c}\wedge b=\frac{d}{e}],\exists h\in Q,h=a+b\iff [\exists i\in Z,\exists j\in N,q=\frac{i}{j}\iff i=\mathrm{(c\; *\; f)}+\mathrm{(d\; *\; e)}\wedge j=\mathrm{d\; *\; f]}$
$a=\frac{3}{1},b=\frac{4}{1},a+b=\frac{\mathrm{3\; *\; 1\; +\; 2\; *\; 1}}{\mathrm{1\; *\; 1}}=\frac{5}{1}$
$a=\frac{5}{2},b=\frac{3}{2},a+b=\frac{\mathrm{5\; *\; 2\; +\; 3\; *\; 2}}{\mathrm{2\; *\; 2}}=\frac{\mathrm{16}}{4}=4$
$a=\frac{5}{2},b=\frac{7}{3},a+b=\frac{\mathrm{5\; *\; 3\; +\; 7\; *\; 2}}{\mathrm{3\; *\; 2}}=\frac{\mathrm{29}}{6}$

L'addition de tout nombre rationnel donne un autre nombre rationnel. En fait, l'addition dans "Q" permet de former un groupe abélien. Donc, elle est associative, admet un neutre, chaque élément a un inverse et elle est commutative. Comme pour dans "Z", soustraire "b" à "a" revient à additionner "-b" à "a".

$\forall a,b,c\in Q,c=\mathrm{a\; -\; b}\iff a+\mathrm{(-b)}$

De plus, "Q" possède aussi une opération de multiplication, avec les mêmes propriétés que dans "Z" (et des propriétés supplémentaires). Comme pour "N" et "Z", opérer deux nombres entier relatif écrit dans "Q" revient à opérer deux nombres entiers relatifs tout cours. Dans "Q", l'opération est définie comme cela :

$\forall a,b\in Q\iff [\exists c,e\in Z,\exists d,f\in \mathrm{N*},a=\frac{b}{c}\wedge b=\frac{d}{e}],\exists h\in Q,h=a+b\iff [\exists$