Le chapitre 1

Chapitre 1 - démonstrations

Le raisonnement mathématique

La première démonstration mené sera comment la proposition "non (A et B)" peut s'écrire sous la forme "(pas A et pas B) ou (A et pas B) ou (B et pas A)".

Maintenant, démontrons que la proposition "pas (A ou B)" peut s'écrire "pas A et pas B", toujours grâce aux tables de vérités.

La théorie des ensembles

Fonctionnement de la double inclusion

Démontrons que un ensemble A et un ensemble B sont égaux si A est "inclu ou égal" à B et B est "inclu ou égal" à A.

\forall A \forall B (A \subseteq B \land B \subseteq A \Rightarrow A = B)

Si A est "inclu ou égal" à B, alors (par définition) :

\forall A \forall B [A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x (x \in A \Rightarrow x \in B)]

Si B est "inclu ou égal" à A, alors (par définition) :

\forall A \forall B [B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x (x \in B \Rightarrow x \in A)]

Donc, si A est "inclu ou égal" à B ET B est "inclu ou égal" à A, alors :

\forall A \forall B {A \subseteq B \land B \subseteq A \Leftrightarrow [\forall x (x \in A \Rightarrow x \in B)] \land [\forall y (y \in B \Rightarrow y \in A)]}

Par imbrication des deux propositions, on peut obtenir la proposition suivante :

\forall A \forall B [A \subseteq B \land B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x ((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in A))]

Or, on a une double implication, doit on en déduit une équivalence :

\forall A \forall B [A \subseteq B \land B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B)]

Donc, dire que "A" est inclut dans "B" et que "B" est inclut dans "E" équivaut à la condition nécessaire pour obtenir l'égalité de deux ensembles selon l'axiome d'extensionnalité : un ensemble A et un ensemble B sont égaux si A est "inclu ou égal" à B et B est "inclu ou égal" à A.

Résultats obtenus grâce à l'axiome de fondation

Démontrons qu'un ensemble ne peut pas appartenir lui même.

Prenons un ensemble quelconque bien fondé (qui respecte donc les axiomes). Il existe donc obligatoire le singleton (bien fondé) ne contenant que cet ensemble.

\forall E, \exists F \forall y [y \in F \Leftrightarrow y = E]

F = {E}

Selon l'axiome de fondation, il existe un élément de ce singleton tel que l'intersection entre cet élément et le singleton donne l'ensemble vide. Or, il n'a qu'un seul élément : l'ensemble de départ, qui doit donc obligatoirement respecter cet axiome.

\forall x [x \neq \emptyset \Rightarrow \exists y (y \in x \land y \cap x = \emptyset)]

\Rightarrow \exists y \in {E}, y \cap {E} = \emptyset

\Rightarrow E \cap {E} = \emptyset

Par définition de l'intersection, cela implique qu'il n'y a aucun élément dans "E" qui ne soit aussi dans "{E}". Cela implique qu'il n'y a pas l'élément "E" dans "E".

\Rightarrow \neg [\exists z \in E, z \in {E}]

\Rightarrow \neg [\exists z \in E, z = E]

\Rightarrow \neg [E \in E]

Au final, un ensemble bien fondé ne peut pas appartenir à lui même.

Démontrons maintenant qu'un ensemble E ne peut pas contenir un ensemble contenant E, où dont un de ces éléments contient E (ou dont un des ces éléments contient E...). Cette démonstration est très similaire à la précédente. En gros, cherchons que la proposition suivante est impossible :

E \in E_{1}, E_{1} \in E_{2}, E_{2} \in E_{3}, ..., E_{n - 1} \in E_{n}, E_{n} \in E

Prenons plusieurs ensembles quelconque bien fondés (qui respecte donc les axiomes), que nous nommerons :

E, E_{1}, E_{2}, ..., E_{n}

Disons que tous les ensembles "k - 1" (pour k strictement plus grand que 0) appartiennent aux ensemble "k" (on efface donc la dernière appartenance de la proposition "problématique", ou "E" appartient à "E de n").

E \in E_{1}, E_{1} \in E_{2}, E_{2} \in E_{3}, ..., E_{n - 1} \in E_{n}

Il existe donc obligatoire l'ensemble contenant tous ces ensembles.

{E_{0}, E_{1}, E_{2}, ..., E_{n}}

Selon l'axiome de fondation, il existe un élément de cet ensemble tel que l'intersection entre cet élément et de l'ensemble donne l'ensemble vide. Or, l'intersection de "E de 1" par cet ensemble donne le singleton "E", l'intersection de "E de 2" par cet ensemble donne le singleton "E de 1"... L'intersection de "E de n" par cet ensemble donne le singleton "E de n - 1". Donc, la seule intersection qui peut donner l'élément vide est celle avec E.

\forall x [x \neq \emptyset \Rightarrow \exists y (y \in x \land y \cap x = \emptyset)]

\Rightarrow \forall k \in {1, 2, ..., n}, E_{k} \cap F = {E_{k - 1}}

\Rightarrow E \cap F = \emptyset

Par définition de l'intersection, cela implique qu'il n'y a aucun élément dans "E" qui ne soit aussi dans "F". Cela implique qu'il n'y a pas l'élément "E de n" (ou "E de 1", "E de 2"... jusqu'à "E de n - 1") dans "E".

\Rightarrow \neg [\exists z \in E, z \in F]

\Rightarrow \neg [\exists z \in E, z = E_{n} \lor z = E_{1} \lor ...]

\Rightarrow \neg [E_{n} \in E]

Au final, des ensembles bien fondés ne peut pas s'appartenir à eux-même de manière cyclique.

Unicité des ensembles admis par les axiomes

Démontrons qu'il n'existe qu'un seul ensemble ne contenant aucun élément : l'ensemble vide. Supposons l'existence un ensemble E, étant un ensemble ne contenant aucun élément. Par définition cet ensemble n'a aucun élément. Or, l'ensemble vide n'a aucun élément non plus. Donc, "E" et l'ensemble vide on les exacts même éléments. Selon l'axiome d'extensionnalité, "E" et l'ensemble vide sont les mêmes : il n'existe donc pas d'autre ensemble vide possible.

En procédant comme ceci, on peut prouver l'unicité d'énormément d'ensembles définis grâces aux axiomes :
- Ensemble contenant seulement deux ensembles "A" et "B", garanti par l'axiome de la paire
- Singleton d'un objet "A"
- Réunion dans un ensemble "A"
- Ensemble des parties d'un ensemble "A"
- Union et intersection entre deux ensembles "A" et "B"
- Élément provenant de la fonction successeur

Résultats liés au produit cartésien

Prouvons que tout ensemble E et F donne un produit cartésien valide, grâce aux axiomes.

Créons un nouvel ensemble A, étant l'union de E et F :

A = E \cup F

On peut obtenir l'ensemble des parties de A (dont l'existence est garanti par l'axiome de l'ensemble des parties), contenant ainsi toutes les paires possibles entre un élément de E et un élément de F. Il contient aussi tous les singletons des éléments de E et F.

\forall x, y, [{x \in E \land y \in F} \Rightarrow {x, y} \in P(A)]

\forall x [x \in A \Rightarrow {x} \in P(A)]

De manière à ne pas se casser la tête, on peut définir l'ensemble des parties de... l'ensemble des parties de A, contenant toutes les paires définis comme les couples de Kuratowski entre tous x dans E et y dans F.

\forall x, y, [{x, y} \in P(A) \land {x} \in P(A) \Rightarrow {{x}, {x, y}} \in P(P(A))]

\forall x, y, {{x}, {x, y}} = {{x, y}, {x}} = (x, y)

Au final, tous les couples de Kuratowski possibles des éléments de E et F sont définis dans P(P(A)). Finalement, en utilisant le schéma d'axiome de séparation, on peut trouver un moyen d'extraire dans P(P(A)) tous les couples qui nous intéressent, formant le produit cartésien de E et F (ici noter C).

C = {z \in P(P(A)) | \exists x \in E, \exists y \in F, z = (x, y)} \Leftrightarrow C = E X F

Cet ensemble existe donc pour tout ensemble E et F.

Relations et applications

Les bases des applications

1.1.0.0

Considérons un triplet d'ensembles :

f = (A, B, G), G \in A \times B

Démontrons l'équivalence entre ces deux formules (permettant de faire de notre triple d'ensembles une fonction) :

P = \forall x \in A, (\exists! y \in B, (x, y) \in G) \lor \neg (\exists y \in B, (x, y) \in G)

Q = \forall x \in A, \forall y, z \in B, (x, y) \in G \land (x, z) \in G \Rightarrow y = z

Ici, on peut développer la première condition du "ou" en développant le quantificateur "il existe un unique" grâce à la formule de ce quantificateur utilisant les autres quantificateurs. Comme la définition du quantificateur existentiel unique est équivalente à celle avec les autres quantificateurs, on peut noter une équivalence.

P \Leftrightarrow \forall x \in A, (\exists y \in B, (x, y) \in G \land \forall y, z \in B, (x, y) \in G \land (x, z) \in G \Rightarrow y = z) \lor \neg (\exists y \in B, (x, y) \in G)

Dans cette nouvelle formule, on se rend compte d'une chose : pour tout "x", savoir si il existe "y" tel que "(x, y)" appartient (ou pas) à "G" ne change pas la valeur de vérité de la formule. En effet, si il n'existe pas, la deuxième partie du "ou" est vérifiée et la formule est toujours juste. Cependant, si il existe, la formule devient un indicateur de l'unicité de l'image. D'un point de vue global, la véracité de la formule ne dépend que de la véracité de l'unicité de l'image. D'ailleurs, on peut assez facilement remarquer que l'unicité de l'image n'oblige pas tous les éléments de départ à avoir une image, ce qui permet de dire que l'unciité de l'image est vérifiée même avec la seconde condition. On peut donc écrire :

P \Leftrightarrow (\forall x \in A, \forall y, z \in B, (x, y) \in G \land (x, z) \in G \Rightarrow y = z)

Or, nous retrouvons ici exactement "Q", ce qui justifie que "P" équivaut à "Q".

1.1.0.1

Considérons 5 fonctions "a", "b", "c", "d", "e" tel qu'il soit possible d'écrire :

d = a \circ (b \circ c)

e = (a \circ b) \circ c

Posons deux autres fonctions "f" et "g", pour découper ce résultat :

f = b \circ c, g = a \circ b

Démontrons que "d = e". Déjà, il est immédiat de remarquer que l'ensemble d'arrivée de ces deux fonctions est l'ensemble d'arrivée de "a" et que l'ensemble de départ de ces deux fonctions est l'ensemble de départ de "c". Commençons par démontrer qu'elles partagent le même ensemble de définition. Ce résultat est immédiat quand toutes ces fonctions sont des applications, mais plus complexe quand ce n'est pas le cas. Ici, notons tous les ensembles de définition des fonctions ci-dessus :

D_{f} = {x \in D_{c} | c(x) \in D_{b}}

D_{g} = {x \in D_{b} | b(x) \in D_{a}}

D_{d} = {x \in D_{f} | f(x) \in D_{a}}

D_{e} = {x \in D_{c} | c(x) \in D_{g}}

Démontrons que tout élément de l'ensemble de définition de "d" est dans l'ensemble de définition de "e". Si un élément appartient à l'ensemble de définition de "d", son image par "f" est alors dans l'ensemble de définition de "a". Or, on peut énoncer "f(x)" comme ceci :

f(x) = b(c(x))

Cela implique qu'il a une image par "c", que cette image est dans l'ensemble de définition de "b", et que l'image par "b" de cette image est dans l'ensemble de définition de "a". Or, cela veut exactement dire qu'il est dans l'ensemble de définition de "g", ce qui veut dire que l'image de notre élément par "c" est dans l'ensemble de définition de "g" : il respecte donc les propriétés nécessaires pour être dans l'ensemble de définition de "e", ce qui en fait un élément de l'ensemble de définition de "e".

\forall x \in D_{d}, x \in D_{e}

Démontrons le sens inverse. Si nous avons un élément dans l'ensemble de définition de "e", nous savons qu'il est dans l'ensemble de définition de "c", et que son image par "c" est dans l'ensemble de définition "g". Or, si un élément est de l'ensemble de définition de "g", cela implique qu'il est dans l'ensemble de définition de "b", et que son image par "b" est dans l'ensemble de définition de "a". Cela veut donc dire que notre élément est dans l'ensemble de définition de "c", et que son image est dans l'ensemble de définition de "b". Ceci veut exactement dire que notre élément est dans l'ensemble de définition de "f". De plus, comme notre l'image par "b" de l'image par "c" de notre élément de départ appartient à "a", alors l'image de notre élément par "f" appartient aussi à "a". Or, cela veut dire que notre élément est dans l'ensemble de définition de "d".

\forall x \in D_{e}, x \in D_{d}

Tous les éléments de l'ensemble de définition de "d" sont dans l'ensemble de définition de "e" et vice-versa : cela équivaut à dire que l'ensemble de définition de "d" est inclu dans l'ensemble de définition de "e" (et vice-versa). Par double inclusion, ces ensembles sont égaux.

D_{d} = D_{e}

Finalement, posons un élément "x" faisant partie de l'ensemble de définition de "d" (qui est le même que celui de "e").

\forall x \in D_{d}

Nous savons que ce quantificateur quantifie tous les éléments de l'ensemble de départ de "d" et "e" qui ont une image. Maintenant, écrivons "d" et "e" dans leur forme finale, et démontrons le résultat attendu.

d(x) = (a \circ (b \circ c))(x) = a((b \circ c)(x)) = a(b(c(x)))

e(x) = ((a \circ b) \circ c)(x) = (a \circ b)(c(x)) = a(b(c(x)))

Ici, ces deux fonctions ont le même ensemble de départ, d'arrivée, de définition, et chaque élément de l'ensemble de définition à la même image dans les deux fonctions (et donc, elles sont le même graphe) : les deux fonctions sont donc parfaitement égales.

d = e

a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c

Les injections, surjections et bijections

1.1.1.0

Définissons une application "f".

f : E ⟶ F, x ⟶ f(x)

Démontrons l'équivalence entre ces deux propositions :

\forall z \in F, (\exists! a \in E, f(a) = z) \lor \neg (\exists a \in E, f(a) = z)

\forall a, y \in E, f(a) = f(y) \Rightarrow a = y

Procédons par double-implication. Considérons la première proposition vraie. Si nous avons un élément "x" de "E", on sait que "f(x)" appartient à "F" : "f(x)" doit donc respecter la première proposition énoncée plus haut. Cela veut donc dire qu'il doit soit respecter la partie à gauche du "OU", soit la partie à droite du "OU". De plus, on sait que "f(x)" a au moins un antécédent par "f", ce qui veut dire que "f(x)" ne peut que respecter la propriété à gauche du "OU".

\Rightarrow \forall x \in E, \exists! a \in E, f(a) = f(x)

Prenons un élément "y", toujours appartenant à "E". Supposons que "f(y)" est égal à "f(x)". Ici, on sait qu'il existe un unique élément "a" de "E" qui est l'antécédent de "f(x)", et donc tous les antécédents de "f(x)" sont égaux. Comme "x" est un antécédent de "f(x)", tous les antécédents de "f(x)" sont donc égaux à "x". Finalement, "f(x) = f(y)", ce qui veut donc dire que "y" est un antécédent de "f(x)" : nous confirmons que "x" et "y" sont égaux.

\Rightarrow \forall x, y \in E, f(x) = f(y) \Rightarrow x = y

Procédons à l'autre implication. Imaginons que la deuxième formule est vérifiée. Dans ce cas, posons un élément quelconque de "F". Si il a un antécédent, son antécédent (qui est un élément de "E") respecte la propriété énumérée parle deuxième formule, on peut donc noter :

\forall a \in F, (\exists x \in E, f(x) = a) \Rightarrow (\exists x \in E {f(x) = a \land \forall y \in E, f(x) = f(y) \Rightarrow x = y})

La deuxième partie de la proposition est équivalente à utiliser le quantificateur existentiel unique.

\forall a \in F, \exists x \in E, f(x) = a \Rightarrow \exists! x \in E, f(x) = a

Si il n'a pas d'antécédent, alors la propriété de la deuxième proposition ne sert pas à grand chose.

\forall a \in F, \neg (\exists x \in E, f(x) = a) \Rightarrow \neg (\exists x \in E, f(x) = a)

Comme chaque élément de "F" a soit 0 antécédent, soit 1 (ou plus) antécédent, alors on peut combiner les deux proprositions avec un "OU" en quantifiant avec tous les éléments de "F", tout en obtenant une proposition fonctionnelle.

\Rightarrow \forall z \in F, (\exists! a \in E, f(a) = z) \lor \neg (\exists a \in E, f(a) = z)

1.1.1.1

Démontrons que une application mathématique où tous les éléments de l'ensemble de d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet équivaut à dire que l'application est injective et surjective. Procédons par double-implication. Définissons une application :

f : E ⟶ F, x ⟶ f(x)

Supposons que tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet.

\forall y \in F, \exists! x \in E, f(x) = y

Par définition pure, cette propriété permet de dire que "f" est injective, car tous les éléments d'arrivée sont reliés à exactement 1 ou 0 objet (en l'occurence, ici, à 1 objet).

\forall y \in F, [\exists! x \in E, f(x) = y \lor \neg (\exists x \in E, f(x) = y)]

Toujours par définition pure, cette propriété permet de dire que "f" est surjective, car tous les éléments d'arrivée sont reliés à au moins un objet.

\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y

Donc, une application mathématique où tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet est injective et surjective : une partie de l'équivalence est démontrée. De plus, si une application est injective et surjective, alors tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont reliés à au minimum un élément et au maximum un élément.

\forall y \in Im(f), \exists! x \in E, f(x) = y

\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y

De plus, dans une application surjective, "Im(f)" est "F". Donc, selon l'injectivité de l'application, pour tout élément de "F" :

\forall y \in F, \exists! x \in E, f(x) = y

Nous avons la définition exacte du fait que, pour tout élément de "F", il existe un unique élément de "E" qui est son antécédent. Par double implication, on conclut donc que le fait qu'une application mathématique où tous les éléments de l'ensemble de d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet équivaut à dire que l'application est injective et surjective.

1.1.1.2

Prouvons qu'une composition de bijections donne une bijection. Définissons trois applications différentes.

f : E ⟶ F, x ⟶ f(x)

g : F ⟶ G, x ⟶ g(x)

h : E ⟶ G, x ⟶ g(f(x))

Supposons "f" et "g" bijectives.

\forall a \in F, \exists! y \in E, f(y) = a

\forall b \in G, \exists! z \in F, g(z) = b

Ici, pour chaque "b" appartenant à "G", il existe un unique "z" appartenant à "F" tel que "g(z) = b". Or, pour chaque "a" appartenant à "F", il existe un unique "y" appartenant à "E" tel que "f(y) = a". Comme "z" appartient à "F" et est unique, il représente donc une unique valeur de "F". Comme toute valeur de "F", il existe un unique élément "w" tel que "f(w) = z". Donc, il existe un unique élément "w" tel que "g(f(w)) = b". Donc :

\forall b \in G, \exists! w \in E, g(f(w)) = b

Or, cela représente exactement la définition d'une bijection. Donc, "h" est aussi une bijection, de "E" vers "G".

1.1.1.3

Prouvons que si une application bijective est une composition "g rond f", "f" est injective et "g" est surjective. Définissons trois application différentes.

f : E ⟶ F, x ⟶ f(x)

g : F ⟶ G, x ⟶ g(x)

h : E ⟶ G, x ⟶ g(f(x))

Considérons "f" non injective. Dans ce cas, il existe un élément de "F" ayant plusieurs antécédents, ce qui implique qu'il existe (au moins) deux éléments de "E" différents ayant la même image par "f".

\exists (a, b) \in E^{2}, a \neq b \land f(a) = f(b)

Dans ce cas, "g(f(a)) = g(f(b))", ce qui équivaut à dire que "h(a) = h(b)", en gardant en tête que "a" n'est pas égal à "b". Si ceci est vrai, "h" n'est pas injective, et elle ne peut donc pas être une bijection. Donc, si "f" n'est pas injective, "h" ne peut pas être bijective.

Maintenant, considérons "f" injective et considérons "g" non surjective. Par définition, il existe donc un élément de "G" qui n'a pas d'antécédent par "g".

\exists a \in G, a \notin Im(g)

Dans ce cas, il existe un élément de "G" qui n'a pas d'antécédent dans "g". Or, si cet élément n'a pas d'antécédent par "g", il n'existe aucun élément de "E" tel que son image par "f" donne un élément dont l'image est cet élément de "G". Donc, cet élément de "G" n'est pas dans l'ensemble image de "h", ce qui veut dire que l'ensemble image de "h" n'est pas égal à "G", ce qui équivaut à dire que "h" n'est pas surjective (et donc, n'est pas bijective non plus). Donc, si "g" n'est pas surjective, "h" ne peut pas être bijective.

En fait, nous avons mené ici un raisonnement par contraposée. Donc, pour que "h" soit une bijection, il faut forcément que "f" soit injective et "g" surjective.

1.1.1.4

Démontrons que si une applciation admet un application réciproque, cette application réciproque est unique. Définissons trois applications :

f : E ⟶ F, x ⟶ f(x)

g : F ⟶ E, x ⟶ g(x)

h : F ⟶ E, x ⟶ h(x)

Considérons que "g" est la réciproque de "f".

g \circ f = I_{E} \land f \circ g = I_{F}

Maintenant, considérons aussi que "h" est la réciproque de "f".

h \circ f = I_{E} \land f \circ h = I_{F}

Ici, nous pouvons écrire une égalité évidente entre deux composition :

(g \circ f) \circ h = (g \circ f) \circ h

Or, nous savons qu'écrire "(g rond f) rond h" donne l'exact même résultat qu'écrire "g rond (f rond h)".

(g \circ f) \circ h = g \circ (f \circ h)

Finalement, nous pouvons simplifier "(g rond f)" en "Id indice E" et "(f rond h)" en "Id indice F".

I_{E} \circ h = g \circ I_{F}

On peut ici supprimer les identités, qui ne modifie pas le résultat final. Finalement, nous obtenons l'égalité voulue.

h = g

1.1.1.5

Démontrons que une application mathématique où tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet équivaut à dire que l'application admet une application réciproque. Procédons par double-implication. Définissons notre application.

f : E ⟶ F, x ⟶ f(x)

Supposons que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a exactement 1 antécédent (ce qui équivaut selon la démonstration vue plus hautque l'application est injective et surjective).

\forall z \in F, \exists! x \in E, f(x) = z

Dans cette définition, on peut reconnaître une similarité avec la définition brute du concept d'application. Formulons une application "g" allant de "F" vers "E" tel que tous les éléments de "F" sont reliés à leur unique antécédent par "f" dans "E". Cette application est bien définie : tous les éléments de "F" aurait bel et bien une image (car "f" est surjective), et cette image serait unique (car "f" est injective).

g : F ⟶ E, z ⟶ g(z)

\forall z \in F, \forall x \in E, g(z) = x \Leftrightarrow f(x) = z

\Leftrightarrow \forall x \in E, \forall z \in F, g(f(x)) = x \land f(g(z)) = z

\Leftrightarrow g \circ f = {Id}_{E} \land f \circ g = {Id}_{F}

Donc, si une application est bijective, il existe une application qui est l'application réciproque de cette fonction. On peut aussi très vite voir que cette application est unique (changez l'ensemble de départ ou d'arrivée et vous n'avez plus une application, et changez le graphe et vous n'avez plus l'application réciproque). Démontrons le sens inverse de ce que nous cherchons. Définissons notre application.

f : E ⟶ F, x ⟶ f(x)

Supposons que notre application "f" admet une application "g" réciproque.

g : F ⟶ E, z ⟶ g(z)

\forall x \in E, \forall z \in F, g(f(x)) = x \land f(g(z)) = z

\Leftrightarrow g \circ f = {Id}_{E} \land f \circ g = {Id}_{F}

Ici, on sait que l'identité de "E" et l'identité de "F" sont bijectives. Selon le résultat démontré plus haut, comme "g rond f" est bijective, alors "f" est injective et "g" est surjective. Or, comme "f rond g" est bijective, alors "g" est injective et "f" est surjective. Donc, "f" est bijective et surjective : "f" est donc une bijection (et "g" aussi d'ailleurs). Donc, si "f" admet une application réciproque, elle est bijective.

1.1.1.6

Démontrons que si deux permutations ont des supports disjoints, alors on peut les échanger autour du symbôle de composition et quand même obtenir le même résultat. Définissons deux permutations :

f : E ⟶ E, x ⟶ f(x)

g : E ⟶ E, x ⟶ g(x)

Considérons leur support disjoint :

supp(f) \cap supp(g) = \emptyset

Procédons par une disjonctions de cas. Prenons un élément de "E" dans le support de "f". Ici, comme les supports des "f" et "g" sont disjoints, "x" est un point fixe de "g". De plus, comme "x" admet "f(x)" comme image et que "f" est une bijection, alors "f(x)" (qui, pour rappel, est un élément de "E", et fait donc aussi partie de l'ensemble d'arrivée de "f") ne peut pas admettre "f(x)" comme image, et ne peut donc pas être un point fixe de "f". Donc, "f(x)" est aussi dans le support de "f", et est donc un point fixe de "g". Donc :

x \in supp(f) \Rightarrow x \in Fix(g) \Rightarrow g(f(x)) = f(x) \land f(g(x)) = f(x) \Rightarrow g(f(x)) = f(g(x))

Maintenant, prenons un élément de "E" dans le support de "g". Ici, comme les supports des "f" et "g" sont disjoints, cet élément est un point fixe de "f". De plus, comme "x" admet "g(x)" comme image et que "g" est une bijection, alors "g(x)" (qui, pour rappel, est un élément de "E", et fait donc aussi partie de l'ensemble d'arrivée de "g") ne peut pas admettre "g(x)" comme image, et ne peut donc pas être un point fixe de "g". Donc, "g(x)" est aussi dans le support de "g", et est donc un point fixe de "f". Donc :

x \in supp(g) \Rightarrow x \in Fix(f) \Rightarrow g(f(x)) = g(x) \land f(g(x)) = g(x) \Rightarrow g(f(x)) = f(g(x))

Finalement, si un élément n'est ni dans le support de "f" ni dans le support de "g", il est point fixe des deux. Donc :

x \notin supp(g) \land x \notin supp(f) \Rightarrow x \in Fix(f) \land x \in Fix(g) \Rightarrow g(f(x)) = x \land f(g(x)) = x \Rightarrow g(f(x)) = f(g(x))

Ici, on a traité tous les cas de "x" possibles. Dans tous les cas, "g(f(x))" est égal à "f(g(x))". Donc, si deux permutations ont des supports disjoints, alors on peut les échanger autour du symbôle de composition et quand même obtenir le même résultat.

Les nombres entiers naturels

Étude de l'objet "successeur"

1.2.0.0

Prouvons que l'objet "successeur" défini par l'axiome de l'infini est une application bijective de "N" vers "N sans 0".

\forall n \in N*, \exists! k \in N, n = successeur(k)

Par définition pure, chaque élément de l'ensemble des nombres entiers naturels possède un seul élément étant son successeur. Donc, cet objet est bien une application.

\forall m \in N, \exists! n \in N, n = successeur(m)

\forall m [m \in N \Rightarrow \exists! n \in N, n = successeur(m)

]

En suite, par définition, pour tout nombre entier naturel qui n'est pas 0, le nombre s'écrit sous la forme d'un successeur d'un autre nombre. \forall n \in N*, \exists k \in N, n = successeur(k)

Par définition de la surjectivité, cette application est donc surjective.

De plus, par définition de l'objet "successeur", on sait que :

\forall m, n \in N*, successeur(m) = successeur(n) \Leftrightarrow n = m

Par définition de l'injectivité, cette application est donc injective.

Cette application est injective et surjective : selon la définition de la bijectivité, elle est bijective.

Donc, tout nombre venant de "N sans 0" admet un unique antécédent par la fonction successeur. L'application "successeur" est une application bijective de "N" vers "N sans 0".

\forall n \in N*, \exists! k \in N, n = successeur(k)

1.2.0.1

Prouvons que, pour tout nombre entier naturel "n", "n + successeur(0) = successeur(0) + n". Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel "n",P(n) ="n +successeur(0) =successeur(0) +n".
Déjà,par définition de l'addition :

0 + successeur(0) = successeur(0) = 1

successeur(0) + 0 = successeur(0) = 1

Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall k \in N, k + successeur(0) = successeur(0) + k

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.0.0) :

k + successeur(0) = successeur(0) + k \Leftrightarrow successeur(k + successeur(0)) = successeur(successeur(0) + k)

Selon la définition de l'addition :

successeur(k + successeur(0)) = k + successeur(successeur(0)) = k + successeur(successeur(0) + 0) = k + successeur(0) + successeur(0) = successeur(k) + successeur(0)

De plus, toujours selon la définition de l'addition :

successeur(successeur(0) + k) = successeur(0) + successeur(k)

Donc :

successeur(k) + successeur(0) = successeur(0) + successeur(k)

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall n \in N, n + successeur(0) = successeur(0) + n

L'opération addition

1.2.1.0

Prouvons que l'addition entre tous nombres entiers naturels donne un nombre entier naturel (et donc que l'addition est stable sur l'ensemble des nombres entiers naturels, selon le chapitre 2). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel m,P(m) ="pour tout nombre entier naturel n,n +m est un nombre entier naturel".
Déjà,par définition de l'addition,pour tout nombre entier naturel "n","n +0 =n". Comme nous l'avons dit,"n" est un nombre entier naturel. Donc,P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall n, k \in N, \exists q \in N, n + k = q

Déjà, comme P(k), alors q est un nombre entier naturel. Par définition de N, successeur(k) = k + 1 est un nombre entier naturel. Comme on rajoute un "+ 1" (et donc, que l'on applique la fonction successeur) à gauche de l'égalité, on doit en rajouter un à droite de l'égalité pour en obtenir une équivalence (comme nous l'avons vu plus haut, dans le théorème 1.2.0.0). Donc :

n + k = q \Leftrightarrow successeur(n + k) = n + successeur(k) = successeur(q) = n + k + 1 = q + 1

Ici, par définition de N, successeur(q) un nombre entier naturel. Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall n, k \in N, \exists a \in N, n + k = a

1.2.1.1

Démontrons que, pour tout nombre entier naturel a, b et c : (a + b) + c = a + (b + c) (et donc, que les parenthèses / ordre des additions n'ont pas d'importance, ou que l'addition est associative dans l'ensemble des nombres entiers naturels selon le chapitre 2). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel c,P(c) ="pour tout nombre entier naturel a et b,(a +b) +c =a +(b +c)".
Déjà,par définition de l'addition,si c =0,alors :

(a + b) + c = a + b

a + (b + c) = a + (b) = a + b

Donc, P(0) est vraie. Maintenant, cherchons P(1).

(a + b) + c = (a + b) + 1 = successeur(a + b)

a + (b + c) = a + (b + 1) = a + successeur(b) = successeur(a + b)

Donc, P(1) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque supérieur ou égal à 1, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall a, b \in N, (a + b) + k = a + (b + k)

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.0.0, en rajoutant des parenthèses) :

\forall a, b \in N, (a + b) + k = a + (b + k) \Leftrightarrow ((a + b) + k) + 1 = (a + (b + k)) + 1

Dans le cas de nos deux formes appliquons l'hypothèse de récurrence :

\forall a, b \in N, ((a + b) + k) + 1 = (a + (b + k)) + 1 = (a + b) + (k + 1) = a + ((b + k) + 1)

Réappliquons-là à droite :

\forall a, b \in N, (a + b) + (k + 1) = a + ((b + k) + 1) = a + (b + (k + 1))

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) et P(1) est vraie et P(k) pour tout cas supérieur ou égal à 1 implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b, c \in N, (a + b) + c = a + (b + c)

1.2.1.2

Démontrons que, pour tout nombre entier naturel "a" et "b" : "a + b = b + a" (et donc, que l'addition est commutative dans l'ensemble des nombres entiers naturels selon le chapitre 2). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel b,P(b) ="pour tout nombre entier naturel a,a +b =b +a".
Déjà,par définition de l'addition,si b =0,alors :

a + b = a + 0 = 0 + a = a

Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque supérieur ou égal à 0, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

a + k = k + a

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.0.0, en rajoutant des parenthèses) :

a + k = k + a \Leftrightarrow successeur(a + k) = successeur(k + a)

Par définition de l'addition, selon la partie gauche de notre relation :

successeur(a + k) = a + successeur(k)

Selon la partie droite :

successeur(k + a) = k + successeur(a) = k + (a + successeur(0))

Or, selon la règle d'associativité (théorème 1.2.1.1) et selon le fait que nous pouvons interchanger la place de successeur(0) (théorème 1.2.0.1) :

k + (a + successeur(0)) = k + (successeur(0) + a) = (k + successeur(0)) + a = successeur(k) + a

Donc :

a + successeur(k) = successeur(k) + a = a + (k + 1) = (k + 1) + a

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) pour tout "k" supérieur à 0 implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b \in N, a + b = b + a

1.2.1.3

Démontrons que, pour tout nombre entier naturel "a", "b" et "n" : "a = b équivaut à dire que a + n = b + n". Cette proposition est équivalente à dire que l'application allant de "N" vers "N" et transformant les éléments de départ "a" en éléments d'arrivée "a + n" est injective. Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel n,P(n) ="pour tout nombre entier naturel a et b,a =b équivaut à dire que a +n =b +n".
Déjà,par définition de l'addition,pour tout nombre entier naturel "a" et "b","a +0 =a" et "b +0 =b". Par transitivité de l'égalité : "a =b =a +0 =b +0". Donc,"a =b équivaut à dire que a +0 =b +0". Finalement,P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall a, b, k \in N, a = b \Leftrightarrow a + k = b + k

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.0.0, en rajoutant des parenthèses) :

\forall a, b \in N, a + k = b + k \Leftrightarrow successeur(a + k) = successeur(b + k)

Par définition de l'addition :

\forall a, b \in N, a = b \Leftrightarrow a + k = b + k \Leftrightarrow a + successeur(k) = b + successeur(k)

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall n, k \in N, \exists a, b, n \in N, a = b \Leftrightarrow a + n = b + n

L'opération multiplication

1.2.2.0

Prouvons que la multiplication entre tous nombres entiers naturels donne un nombre entier naturel (et donc que la multiplication est stable sur l'ensemble des nombres entiers naturels, selon le chapitre 2). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel m,P(m) ="pour tout nombre entier naturel n,n * m est un nombre entier naturel".
Déjà,par définition de la multiplication,pour tout nombre entier naturel "n","n * 0 =0". Bien évidemment,"0" est un nombre entier naturel. Donc,P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall n, k \in N, \exists q \in N, n * k = q

Déjà, comme P(k), alors q est un nombre entier naturel. Selon la proposition 1.2.1.0, additionner "q" est n'importe quel nombre entier naturel donne un nombre entier naturel. Selon le théorème 1.2.1.3, nous pouvons donc additionner "n" aux deux membres de la relation pour obtenir une équivalence. Donc :

n + k = q \Leftrightarrow n + k + n = q + n

Selon la définition de la multiplication :

n + k + n = n * successeur(k) = n * (k + 1) = q + n

Pour rappel, "q + n" est un nombre entier naturel. De plus, nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall n, k \in N, \exists a \in N, n * k = a

1.2.2.1

Démontrons que, pour tous nombres entiers naturels a, b et c : "a * (b + c) = a * b + a * c" (et donc, que l'opération multiplication est distributive à gauche par rapport à l'addition dans les nombres entiers naturels). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel a,P(a) ="pour tout nombre entier naturel b et c,a * (b +c) =a * b +a * c".
Déjà,par définition de l'addition,si a =0,alors :

a * (b + c) = 0

a * b + a * c = 0 + 0 = 0

Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall b, c \in N, k * (b + c) = k * b + k * c

Selon le théorème 1.2.1.3, nous pouvons donc additionner "(b + c)" aux deux membres de la relation pour obtenir une équivalence.

\forall b, c \in N, k * (b + c) = k * b + k * c \Leftrightarrow k * (b + c) + (b + c) = k * b + k * c + (b + c)

Pour la forme à gauche, nous pouvons utiliser la définition de la multiplication :

k * (b + c) + (b + c) = successeur(k) * (b + c) = (k + 1) * (b + c) = k * b + k * c + (b + c)

Pour la forme à gauche, selon la règle d'associativité de l'addition (théorème 1.2.1.1) :

(k + 1) * (b + c) = (k * b + b) + (k * c + c)

Ré-utilisons la définition de la multiplication :

(k + 1) * (b + c) = (k * b + b) + (k * c + c) = successeur(k) * b + successeur(k) * c = (k + 1) * b + (k + 1) * c

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b, c \in N, a * (b + c) = a * b + a * c

Démontrons maintenant que, pour tous nombres entiers naturels a, b et c : "(b + c) * a = b * a + c * a" (et donc, que l'opération multiplication est distributive à droite par rapport à l'addition dans les nombres entiers naturels). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel a,P(a) ="pour tout nombre entier naturel b et c,(b +c) * a =b * a +c * a".
Déjà,par définition de l'addition,si a =0,alors :

(b + c) * a = 0

b * a + c * a = 0 + 0 = 0

Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall b, c \in N, (b + c) * k = b * k + c * k

Selon le théorème 1.2.1.3, nous pouvons donc additionner "(b + c)" aux deux membres de la relation pour obtenir une équivalence.

\forall b, c \in N, (b + c) * k = b * k + c * k \Leftrightarrow (b + c) * k + (b + c) = b * k + c * k + (b + c)

Pour la forme à gauche, nous pouvons utiliser la distributivité à gauche, puis définition de la multiplication :

(b + c) * k + (b + c) = (b + c) * (k + 1) = (b + c) * successeur(k) = (b + c) * (k + 1)

Pour la forme à droite, selon la règle d'associativité de l'addition (théorème 1.2.1.1) :

b * k + c * k + (b + c) = (b * k + b) + (c * k + c)

Ré-utilisons la définition de la multiplication :

(b * k + b) + (c * k + c) = b * successeur(k) + c * successeur(k) = b * (k + 1) + c * (k + 1)

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b, c \in N, (b + c) * a = b * a + c * a

1.2.2.2

Démontrons que, pour tout nombre entier naturel a, b et c : (a * b) * c = a * (b * c) (et donc, que les parenthèses n'ont pas d'importance, ou que la multiplication est associative dans l'ensemble des nombres entiers naturels selon le chapitre 2). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel c,P(c) ="pour tout nombre entier naturel a et b,(a * b) * c =a * (b * c)".
Déjà,par définition de l'addition,si c =0,alors :

(a * b) * c = 0

a * (b * c) = a * 0 = 0

Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall a, b \in N, (a * b) * k = a * (b * k)

Selon le théorème 1.2.1.3, nous pouvons donc additionner "k" aux deux membres de la relation pour obtenir une équivalence.

\forall a, b \in N, (a * b) * k = a * (b * k) \Leftrightarrow (a * b) * k + (a * b) = a * (b * k) + (a * b)

Pour la forme à gauche, nous pouvons utiliser la définition de la multiplication :

(a * b) * k + (a * b) = (a * b) * successeur(k) = (a * b) * (k + 1) = a * (b * k) + (a * b)

Pour la forme à droite, nous pouvons utiliser la définition de la multiplication pour rajouter un "* 1", et utiliser P(k) pour moduler tout ça :

(a * b) * (k + 1) = a * (b * k) + (a * b) * 1 = a * (b * k) + a * (b * 1)

Comme la multiplication est distributive par rapport à l'addition (théorème 1.2.2.1) :

(a * b) * (k + 1) = a * (b * k) + a * (b * 1) = a * (b * k + b * 1) = a * (b * k + b)

Finalement, ré-utilisons la définition de la multiplication :

(a * b) * (k + 1) = a * (b * k + b) = a * (b * (successeur(k))) = a * (b * (k + 1))

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) et P(1) est vraie et P(k) pour tout cas supérieur ou égal à 1 implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b, c \in N, (a * b) * c = a * (b * c)

1.2.2.3

Démontrons que, pour tout nombre entier naturel a et b : a * b = b * a (et donc, que la multiplication est commutative dans l'ensemble des nombres entiers naturels selon le chapitre 2). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel b,P(b) ="pour tout nombre entier naturel a,a * b =b * a".
Déjà,par définition de l'addition,si b =0,alors :

a * b = a * 0 = 0 * a = 0

Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque supérieur ou égal à 0, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

a * k = k * a

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.1.3) :

a * k = k * a \Leftrightarrow a * k + a = k * a + a

Par définition de la multiplication, selon la partie gauche de notre relation :

a * k + a = a * successeur(k)

Selon la partie droite (et selon le théorème 1.2.1.2 et la distributivité à droite) :

k * a + a = k * a + 1 * a = (k + 1) * a = successeur(k) * a

Donc :

a * successeur(k) = successeur(k) * a = a * (k + 1) = (k + 1) * a

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) pour tout "k" supérieur à 0 implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b \in N, a * b = b * a

1.2.2.4

Démontrons que tout nombre entier naturel est soit un nombre premier, soit peut s'écrire comme le produit de nombres premiers. Procédons par récurrence forte.

Posons la proposition P tel que, pour tout "n" dans "N", "n + 2 est soit un nombre premier, soit un produit de nombre premier". Déjà "2" est premier. Donc, P(0) est vérifié.

Démontrons que, pour tout "m" inférieur ou égal à un nombre entier naturel "k", la conjonction (le ET logique) de tous les "P(m)" possibles prouvent "P(k + 1)". Pour "P(k + 1), il y a deux possibilités. Si "P(k + 1)" est premier, alors c'est réglé. Sinon, "P(k + 1)" est produit de deux valeurs. Selon les propriétés de la multiplication, ces deux valeurs, que nous nommerons "a" et "b" sont strictement inférieures à "k + 1". Cela implique que "P(a)" et "P(b)" sont vérifiés par hypothèse de récurrence. Donc, "a × b = k + 1" respecte aussi cette propriété. Pour finir, la conjonction de tous les "P(m)" possibles implique "P(k + 1)".

Finalement, "P(0)" est vérifié est la conjonction de tous les "P(m)" possibles avec "m" inférieur ou égal à un "k" entier naturel implique "P(k + 1)". Donc, pour tout "n" appartenant à "N", "P(n)" est vérifié. En conclusion, tout nombre entier naturel est soit premier, soit le produit de nombres premiers.

L'opération puissance

Les opérations secondaires

1.2.4.0

Prouvons que si deux nombres entiers naturels "a" et "b" vérifient la relation "a est supérieur ou égal à b", alors "a - b" est un nombre entier naturel.

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow a - b \in N

Déjà, écrivons "a" et "b" sous la forme d'une addition obtensible grâce à la définition de la relation "supérieur ou égal" :

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow \exists! c \in N, b + c = a

Par définition de la soustraction :

\forall a, b \in N, \exists c, a - b = c \Leftrightarrow a = b + c

Selon le théorème 1.2.1.2, nous pouvons échanger "a" et "b + c".

a = b + c \Leftrightarrow b + c = a

Nous reconnaissons la forme obtenue via la relation "supérieur ou égal". Or, toujours selon cette définition, ce "c" est un nombre entier naturel. Donc, "a - b" l'est aussi. Donc, par transitivité de l'équivalence :

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow a - b \in N

Les relations d'ordre

1.2.5.0

Prouvons que, dans l'ensemble des nombres entiers naturels, la relation "supérieur ou égale" est une relation d'ordre. Rappelons la définition de cette relation :

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow \exists c \in N, a = b + c

Vérifions si cette relation est réflexive.

\forall a \in N, a \geq a \Leftrightarrow \exists c \in N, a = a + c \Leftrightarrow a = a

Ici, dire que "a" est supérieur ou égal à "a" est équivalent à dire que "a = a", ce qui est toujours vrai. Donc, la relation est réflexive. Vérifions si cette relation est antisymétrique.

\forall a \in N, a \geq b \land b \geq a \Leftrightarrow \exists c, d \in N, [a = b + c \land b = a + c] \Rightarrow [a = a + (a + c) = a + 2 * c \Leftrightarrow 2 * c = 0 \Leftrightarrow c = 0] \Rightarrow a = b

Ici, supposer que "a est supérieur ou égal à b et b est supérieur ou égal à b" implique que "a = b". Donc, la relation est antisymétrique. Finalement, vérifions si cette relation est transitive.

\forall a, b, c \in N, a \geq b \land b \geq c \Leftrightarrow \exists d, e \in N, [a = b + d \land b = c + e] \Rightarrow [a = c + e + d \Leftrightarrow \exists f \in N, f = e + d, a = c + f] \Rightarrow a \geq c

Si "a est supérieur ou égal à b et b est supérieur ou égal à c", alors "a est supérieur ou égal à c". Donc, la relation est transitive. Cette relation est donc réflexive, antisymétrique et transitive : elle est une relation d'ordre.

En modifiant stratégiquement les "supérieur ou égal" en "inférieur ou égal" et les "a" en "b", alors vous pouvez faire l'exact même démonstration avec la relation "inférieur ou égal".

1.2.5.1

Prouvons que, pour deux nombres entiers naturels "a" et "b", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)".

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow successeur(a) > successeur(b)

Par définition de "supérieur ou égal" :

a \geq b \Leftrightarrow \exists c \in N, a = b + c

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.0.0) :

a = b + c \Leftrightarrow successeur(a) = successeur(b + c) \Leftrightarrow successeur(a) = successeur(b) + c \Leftrightarrow successeur(a) \geq successeur(b)

Or, cela équivaut parfaitement à dire que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)". Donc, dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)".

De plus, par définition de "inférieur ou égal", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "b est inférieur ou égal à a". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)". Or, dire que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)" équivaut à dire que "successeur(b) est inférieur ou égal à successeur(a)". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que"successeur(b) est inférieur ou égal à successeur(a)".

Dans la même idée, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut par définition à dire que "a est supérieur ou égal à b" et que "a n'est pas égal à b". Donc, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)" et que "a n'est pas égal à b". Or, dire que que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)" et que "a n'est pas égal à b" équivaut à dire que "successeur(a) est strictement supérieur à successeur(b)". Donc, "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "successeur(a) est strictement supérieur à successeur(b)".

Finalement, par définition de "strictement inférieur", dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "b est strictement inférieur à a". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "successeur(a) est strictement supérieur à successeur(b)". Or, dire que "successeur(a) est strictement supérieur à successeur(b)" équivaut à dire que "successeur(b) est strictement inférieur à successeur(a)". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que"successeur(b) est strictement inférieur à successeur(a)".

En appliquant l'exact même raisonnement, nous pouvons obtenir le même résultat avevc la fonction "prédécesseur" (en supposant que "a" et "b" ne soit pas "0"). Toujours par des équivalences, vous obtenez les mêmes résultats avec "inférieur ou égal", "strictement supérieur" et "strictement inférieur".

1.2.5.2

Prouvons que, pour trois nombres entiers naturels "a", "b" et "c", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c". Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel "c", P(c) = "pour tout nombres entiers naturels a et b, "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c"".

P(c) = \forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow a + c \geq b + c

Déjà, par définition de l'addition :

\forall a, b \in N, [a + 0 = a, b + 0 = b]

Donc :

c = 0 \Rightarrow a + c \geq b + c \Leftrightarrow a \geq b

Dans le cas où "c = 0", "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c". Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow a + k \geq b + k

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.4.1) :

a + k \geq b + k \Leftrightarrow successeur(a + k) \geq successeur(b + k) \Leftrightarrow a + successeur(k) \geq b + successeur(k)

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b, c \in N, a \geq b \Leftrightarrow a + c \geq b + c

De plus, par définition de "inférieur ou égal", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "b est inférieur ou égal à a". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c". Or, dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c" équivaut à dire que "b + c est inférieur ou égal à a + c". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "b + c est inférieur ou égal à a + c".

Dans la même idée, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut par définition à dire que "a est supérieur ou égal à b" et que "a n'est pas égal à b". Donc, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que que "a + c est supérieur ou égal à b + c" et que "a n'est pas égal à b". Or, dire que que "a + c est supérieur ou égal à b + c" et que "a n'est pas égal à b" équivaut à dire que "a + c est strictement supérieur à b + c". Donc, "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "a + c est strictement supérieur à b + c".

Finalement, par définition de "strictement inférieur", dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "b est strictement inférieur à a". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "a + c est strictement supérieur à b + c". Or, dire que "a + c est strictement supérieur à b + c" équivaut à dire que "b + c est strictement inférieur à a + c". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "b + c est strictement inférieur à a + c".

En appliquant l'exact même raisonnement, nous pouvons obtenir le même résultat avec la soustraction (en supposant que "a" et "b" soit supérieur ou égal à "c"). Toujours par des équivalences, vous obtenez les mêmes résultats avec "inférieur ou égal", "strictement supérieur" et "strictement inférieur".

1.2.5.3

Prouvons que, pour trois nombres entiers naturels "a", "b" et "c" avec "c" supérieur à 0, dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a * c est supérieur ou égal à b * c". Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel "c" supérieur à 0, P(c) = "pour tout nombres entiers naturels a et b, "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a * c est supérieur ou égal à b * c"".

P(c) = \forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow a * c \geq b * c

Déjà, par définition de la la multiplication :

\forall a, b \in N, [a * 1 = a, b * 1 = b]

Donc :

c = 1 \Rightarrow a * c \geq b * c \Leftrightarrow a \geq b

Dans le cas où "c = 1", "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a * c est supérieur ou égal à b * c". Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow a * k \geq b * k

Selon le théorème 1.2.4.2, on peut rajouter "a" à gauche et à droite, en gardant une équivalence. Selon la définition de la multiplication, cela revient à multiplier "a" par "k + 1".

a * k \geq b * k \Leftrightarrow a * k + a \geq b * k + a \Leftrightarrow a * (k + 1) \geq b * k + a

Toujours selon le théorème 1.2.4.2, on peut rajouter "b * k" à gauche et à droite de la proposition "a supérieur ou égal à b". Selon la définition de la multiplication, cela revient à multiplier "b" par "k + 1".

a \geq b \Leftrightarrow b * k + a \geq b * k + b \Leftrightarrow b * k + a \geq b * (k + 1)

Par transitivité de la relation "supérieur ou égal" :

a * (k + 1) \geq b * k + a \land b * k + a \geq b * (k + 1) \Rightarrow a * (k + 1) \geq b * k + a \geq b * (k + 1) \Rightarrow a * (k + 1) \geq b * (k + 1)

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b, c \in N, a \geq b \Leftrightarrow a * c \geq b * c

De plus, par définition de "inférieur ou égal", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "b est inférieur ou égal à a". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "a * c est supérieur ou égal à b * c". Or, dire que "a * c est supérieur ou égal à b * c" équivaut à dire que "b * c est inférieur ou égal à a * c". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "b * c est inférieur ou égal à a * c".

Dans la même idée, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut par définition à dire que "a est supérieur ou égal à b" et que "a n'est pas égal à b". Donc, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que que "a * c est supérieur ou égal à b * c" et que "a n'est pas égal à b". Or, dire que que "a * c est supérieur ou égal à b * c" et que "a n'est pas égal à b" équivaut à dire que "a * c est strictement supérieur à b * c". Donc, "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "a * c est strictement supérieur à b * c".

Finalement, par définition de "strictement inférieur", dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "b est strictement inférieur à a". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "a * c est strictement supérieur à b * c". Or, dire que "a + c est strictement supérieur à b * c" équivaut à dire que "b * c est strictement inférieur à a * c". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "b * c est strictement inférieur à a * c".

En appliquant l'exact même raisonnement, nous pouvons obtenir le même résultat avec la division (en supposant que "a" et "b" soit divisible par "c"). Toujours par des équivalences, vous obtenez les mêmes résultats avec "inférieur ou égal", "strictement supérieur" et "strictement inférieur".

Les nombres entiers relatifs

L'opération addition

1.3.0.0

Prouvant que l'addition de deux nombres entiers relatifs donne un nombre entier relatif (et que l'addition est stable dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b \in Z, a + b \in Z

Soit deux nombres entiers relatifs "a" et "b" :

\forall a, b \in Z, \exists c, d, e, f \in N, a = (c, d), b = (e, f)

Selon la définition de l'addition dans "Z" :

a + b = (c + e, d + f)

Or, selon la définition de l'addition dans "N", "c + e" et "d + f" appartiennent à "N". Donc, le résultat obtenu appartient à "Z". Donc, pour tout "a" et "b", "a + b" appartient aussi à "Z".

\forall a, b \in Z, a + b \in Z

1.3.0.1

Prouvant que l'ordre de réalisation plusieurs additions de nombres entiers relatifs n'importe pas (et que l'addition est associative dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b, g \in Z, (a + b) + g = a + (b + g)

Soit trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "g" :

\forall a, b, g \in Z, \exists c, d, e, f, h, i \in N, a = (c, d), b = (e, f), g = (h, i)

Selon la définition de l'addition dans "Z" :

(a + b) + g = ((c + e) + h, (d + f) + i)

a + (b + g) = (c + (e + h), d + (f + i))

Selon le théorème 1.2.1.1, l'addition est associative dans "N", donc :

(a + b) + g = ((c + e) + h, (d + f) + i) = (c + (e + h), d + (f + i)) = a + (b + g)

Donc, "(a + b) + g = a + (b + g)" Donc, l'ordre de réalisation de plusieurs additions n'importe pas dans "Z" (et l'addition est associative dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b, g \in Z, (a + b) + g = a + (b + g)

1.3.0.2

Prouvant que l'ordre de réalisation plusieurs additions de nombres entiers relatifs n'importe pas (et que l'addition est associative dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b, g \in Z, (a + b) + g = a + (b + g)

Soit trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "g" :

\forall a, b, g \in Z, \exists c, d, e, f, h, i \in N, a = (c, d), b = (e, f), g = (h, i)

Selon la définition de l'addition dans "Z" :

(a + b) + g = ((c + e) + h, (d + f) + i)

a + (b + g) = (c + (e + h), d + (f + i))

Selon le théorème 1.2.1.1, l'ordre de réalisation des additions n'importe pas dans "N", donc :

(a + b) + g = ((c + e) + h, (d + f) + i) = (c + (e + h), d + (f + i)) = a + (b + g)

Donc, "(a + b) + g = a + (b + g)" Donc, l'ordre de réalisation de plusieurs additions n'importe pas dans "Z" (et l'addition est associative dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b, g \in Z, (a + b) + g = a + (b + g)

1.3.0.3

Prouvant que l'ordre des opérandes autour d'une addition de nombres entiers relatifs n'importe pas (et que l'addition est commutative dans "Z", selon le chapitre 2).

Soit deux nombres entiers relatifs "a" et "b" :

\forall a, b \in Z, \exists c, d, e, f \in N, a = (c, d), b = (e, f)

Selon la définition de l'addition dans "Z" :

a + b = (c + e, d + f)

b + a = (e + c, f + d)

Selon le théorème 1.2.1.2, l'ordre des opérandes autour d'une addition n'importe pas dans "N", donc :

a + b = (c + e, d + f) = (e + c, f + d) = b + a

Donc, "a + b = b + a" Donc, l'ordre des opérandes autour d'une addition n'importe pas dans "Z" (et l'addition est commutative" dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b, g \in Z, a + b = b + a

1.3.0.4

Démontrons que, pour tout nombres entiers relatifs "a", "b" et "n" : "a = b équivaut à dire que a + n = b + n". Cette proposition est équivalente à dire que l'application allant de "Z" vers "Z" et transformant les éléments de départ "a" en éléments d'arrivée "a + n" est injective.

\forall a, b, n \in Z, a = b \Leftrightarrow a + n = b + n

Soit trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "n" :

\forall a, b, n \in Z, \exists c, d, e, f, o, p \in N, a = (c, d), b = (e, f), n = (o, p)

Selon la définition de l'addition dans "Z" :

a + b = (c + e, d + f)

Selon le théorème 1.2.1.3, pour tout nombres naturels "k", "l" et "m", "k = l équivaut à dire que k + m = l + m" : utilisons cette propriété sur "c", "d", "e", "f" et "o" et "p".

a = b \Leftrightarrow c = e \land d = f \Leftrightarrow c + o = e + o \land d + p = f + p \Leftrightarrow a + n = b + n

Donc, "a = b équivait à dire que a + b" Donc, pour tout nombres entiers relatifs "a", "b" et "n" : "a = b équivaut à dire que a + n = b + n".

\forall a, b, n \in Z, a = b \Leftrightarrow a + n = b + n

L'opération multiplication

1.3.1.0

Prouvant que la multiplication de deux nombres entiers relatifs donne un nombre entier relatif (et que la multiplication est stable dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b \in Z, a * b \in Z

Soit deux nombres entiers relatifs "a" et "b" :

\forall a, b \in Z, abs(a * b) = abs(a) * abs(b), sign(a * n) = {" + " si sign(a) = sign(b), "-" sinon}

Ici, que la signe soit positif ou négatif ne change rien. De plus, "a * b" est un nombre entier naturel, donc "abs(a * b) = a * b".

\forall a, b \in Z, a * b = + (a * b) \lor a * b = -(a * b)

Dans les deux cas, le résultat est un nombre entier relatif. Donc, pour tout "a" et "b", "a * b" appartient aussi à "Z".

\forall a, b \in Z, a * b \in Z

1.3.1.1

Démontrons que, pour tous nombres entiers relatifs "a", "b" et "c" : "a * (b + c) = a * b + a * c" (et donc, que l'opération multiplication est distributive par rapport à l'addition dans les nombres entiers relatifs).

\forall a, b, c \in Z, a * (b + c) = a * b + a * c

Soit trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "c". Selon la définition de la multiplication :

\exists d \in N, d = abs(a * (b + c)) = abs(a) * abs(b + c)

\Leftrightarrow {d = abs(a) * (abs(b) + abs(c)) si sign(b) = sign(c), [d = abs(a) * (abs(b) - abs(c)) si abs(b) > abs(c), d = abs(a) * (abs(c) - abs(b)) sinon] sinon}

\exists e \in N, e = abs(a * b + a * c)

\Leftrightarrow {e = abs(a * b) + abs(a * c) = abs(a) * abs(b) + abs(a) * abs(c) si sign(a * b) = sign(a * c) \lor [e = abs(a * b) - abs(a * c) = abs(a) * abs(b) - abs(a) * abs(c) si abs(a) * abs(b) > abs(a) * abs(c), e = abs(a * c) - abs(a * b) = abs(a) * abs(b) - abs(a) * abs(c) sinon] sinon}

Selon le théorème 1.2.2.1 (la multiplication est distributive par rapport à l'addition dans "N") :

{e = abs(a) * abs(b) + abs(a) * abs(c) = abs(a) * (abs(b) + abs(c)) si sign(a * b) = sign(a * c) \lor [e = abs(a) * abs(b) - abs(a) * abs(c) = abs(a) * (abs(b) - abs(c)) si abs(a) * abs(b) > abs(a) * abs(c), e = abs(a) * abs(c) - abs(a) * abs(b) = abs(a) * (abs(c) - abs(b)) sinon] sinon}

Ici, "sign(a * b) = sign(a * c)" équivait à dire "sign(b) = sign(c)". En plus, "abs(a) * abs(b) supérieur à abs(a) * abs(c)" équivaut à dire "abs(b) supérieur à abs(c)". Donc :

{e = abs(a) * (abs(b) + abs(c)) si sign(b) = sign(c), [e = abs(a) * (abs(b) - abs(c)) si abs(b) > abs(c), e = abs(a) * (abs(c) - abs(b)) sinon] sinon}

\Leftrightarrow e = d

Ces deux formes ont la même valeur absolue. Prouvons qu'elles ont le même signe.

f = sign(a * (b + c)) = {" + " si sign(a) = sign(b + c), "-" sinon} = {"sign(b + c)" si sign(a) = " + ", "-sign(b + c)" sinon}

g = sign(a * b + a * c) = {"sign(b + c)" si sign(a) = " + ", "-sign(b + c)" sinon}

g = f

Ces deux formes ont le même signe, et la même valeur absolue. Donc, pour tous nombres entiers relatifs "a", "b" et "c" : "a * (b + c) = a * b + a * c".

\forall a, b, c \in Z, a * (b + c) = a * b + a * c

1.3.1.2

Prouvant que l'ordre de réalisation de plusieurs multiplication n'importe pas dans "Z" (et que la multiplication est associative dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b, c \in Z, (a * b) * c = a * (b * c)

Soit trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "c" :

\forall a, b, c \in Z, \exists d, e \in Z, d = (a * b) * c, e = a * (b * c)

Selon le théorème 1.2.2.2 (l'ordre de réalisation de plusieurs multiplication n'importe pas dans "N") :

abs(d) = abs(a * b) * abs(c) = (abs(a) * abs(b)) * abs(c) = abs(a) * (abs(b) * abs(c)) = abs(a) * abs(b * c) = abs(e)

Donc, les deux formes ont la même valeur absolue. Prouvons maintenant qu'elles ont le même signe, avec un raisonnement logique.

sign(d) = {" + " si sign(a * b) = sign(c), "-" sinon} = {" + " si {" + " si sign(a) = sign(b), "-" sinon} = sign(c), "-" sinon}

= {"sign(a)" si sign(b) = sign(c), "-sign(a)" sinon}

sign(e) = {" + " si sign(a) = sign(b * c), "-" sinon} = {" + " si sign(a) = {" + " si sign(b) = sign(c), "-" sinon}, "-" sinon}

= {"sign(a)" si sign(b) = sign(c), "-sign(a)" sinon}

Donc, "d" et "e" ont le même signe et la même valeur absolue. Ils sont donc égaux. Donc, l'ordre de réalisation de plusieurs multiplications n'importe pas dans "Z".

\forall a, b, c \in Z, (a * b) * c = a * (b * c)

1.3.1.3

Prouvant que l'ordre des opérandes autour d'une multiplication n'importe pas dans "Z" (et que la multiplication est commutative dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b \in Z, a * b = b * a

Soit trois nombres entiers relatifs "a", "b" :

\forall a, b \in Z, \exists c, d \in Z, c = abs(a * b) = abs(a) * abs(b), d = abs(b * a) = abs(b) * abs(a)

Selon le théorème 1.2.1.2 (l'ordre des opérandes autour d'une addition n'importe pas dans "N") :

c = abs(a) * abs(b) = abs(b) * abs(a) = abs(b * a) = d

Donc, ces deux formes ont la même valeur absolue. Prouvons qu'elles ont le même signe.

\exists e = sign(a * b) = {" + " si sign(a) = sign(b), "-" sinon}

\exists f = sign(b * a) = {" + " si sign(b) = sign(a), "-" sinon}

Selon les propriétés de l'égalité :

\exists e = sign(a * b) = {" + " si sign(a) = sign(b), "-" sinon} = {" + " si sign(b) = sign(a), "-" sinon} = f

Donc, ces deux formes ont le même signe et la même valeur absolue. Donc, l'ordre des opérandes autour d'une multiplication n'importe pas dans "Z".

\forall a, b, c \in Z, a * b = b * a

Les relations d'ordre

1.3.2.0

Prouvons que, dans l'ensemble des nombres entiers relatifs, la relation "supérieur ou égal" est une relation d'ordre. Si les deux nombres sont positifs, on applique une simple relation d'ordre "supérieur ou égal" dans "N" selon le théorème 1.2.4.0, et elle l'est donc aussi dans "Z".

\forall a, b \in Z, positif(a) \land positif(b) \Rightarrow [a \geq b \Leftrightarrow abs(a) \geq abs(b)]

Si les deux nombres sont négatifs, on applique une simple relation d'ordre "inférieur ou égal" dans "N" selon le théorème 1.2.4.0, et elle l'est donc aussi dans "Z".

\forall a, b \in Z, negatif(a) \land negatif(b) \Rightarrow [a \geq b \Leftrightarrow abs(a) \leq abs(b)]

Si le premier nombre est positif est le second est négatif, la relation donne toujours une proposition vraie.

\forall a, b \in Z, positif(a) \land negatif(b) \Rightarrow [a \geq b]

À l'inverse, si le premier nombre est négatif est le second est positif, la relation donne toujours une proposition fausse.

\forall a, b \in Z, negatif(a) \land positif(b) \Rightarrow \neg [a \geq b]

Dans ces deux cas, la réflexitivé et l'antisymétrie n'importent pas, car les valeurs ne pourront jamais être similaires. Or, la refléxivité est vérifié, en remplaçant "c" par l'élément de même signe que lui. Donc, cette partition de la relation permet d'obtenir une relation d'ordre sur "Z".

En modifiant stratégiquement les "supérieur ou égal" en "inférieur ou égal" et les "a" en "b", alors vous pouvez faire l'exact même démonstration avec la relation "inférieur ou égal".

1.3.2.1

Prouvons que, pour trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "c", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c". Si "a", "b" et "c" sont positifs, on applique une simple équivalence du "supérieur ou égal" dans "N" selon le théorème 1.2.4.2.

\forall a, b, c \in Z, positif(a) \land positif(b) \land positif(c) \Rightarrow [a \geq b \Leftrightarrow a + c \geq b + c]

Si "a", "b" et "c" sont négatifs, on applique une simple équivalence du "inférieur ou égal" dans "N" selon le théorème 1.2.4.2.

\forall a, b, c \in Z, negatif(a) \land negatif(b) \land negatif(c) \Rightarrow [a \geq b \Leftrightarrow -(abs(a)) \leq -(abs(b)) \Leftrightarrow -(abs(a) + abs(c)) \leq -(abs(b) + abs(c)) \Leftrightarrow a + c \geq b + c]

Si "a" et "b" sont positifs et "c" est négatifs, tout dépend de comment "c" se comporte par rapport à "a" et "b". Si la valeur absolue de "c" est inférieure ou égale à celle de "a" et celle de "b", alors on applique une simple équivalence du "inférieur ou égal" dans "N" selon le théorème 1.2.4.2, ici avec la soustraction.

\forall a, b, c \in Z, positif(a) \land positif(b) \land negatif(c) \Rightarrow [a \geq b \Leftrightarrow a - abs(c) \geq b - abs(c) \Leftrightarrow a + c \geq b + c]

Dans le cas où "c" est supérieur à "b" mais inférieur ou égal à "a", alors "b - c" devient négatif, et "a - c" reste positif. Selon la définition de la relation "supérieur ou égal", "a - c" reste supérieur ou égal à "b - c". Finalement, si "c" est supérieur à "a" et à "b", alors nous devons innover. Dans ce cas, "c" peut s'écrire comme la somme de "a" et d'un autre nombre entier naturel "d".

\exists d \in N, c = a + d

Donc, selon les résultats vues plus haut dans cette démonstration, nous pouvons soustraire "a" des deux côtés de la relation, car "a - a" vaut 0, qui est positif, et "b - a" devient négatif.

a > b \Leftrightarrow 0 > b - a

Dans ce cas, nous pouvons additionner les deux nombres par "-d", ce qui est équivalent, car dans ce cas, "0", "b - a" et "-d" serait négaitf (résultat aussi vue plus haut dans cette démonstration).

a > b \Leftrightarrow 0 > b - a \Leftrightarrow -d > (b - a) - d \Leftrightarrow -d > (b + (-a)) + (-d) \Leftrightarrow -d > b + (-a + -d) \Leftrightarrow -d > b + (-(a + d)) \Leftrightarrow a - c \Leftrightarrow b - c

Si "a" et "b" sont négatifs et "c" est positif, tout dépend de comment "c" se comporte par rapport à "a" et "b". Si la valeur absolue de "c" est inférieure ou égale à celle de "a" et celle de "b", alors on applique une simple équivalence du "inférieur ou égal" dans "N" selon le théorème 1.2.4.2, ici avec la soustraction.

\forall a, b, c \in Z, negatif(a) \land negatif(b) \land positif(c) \Rightarrow [a \geq b \Leftrightarrow -(abs(a)) \leq -(abs(b)) \Leftrightarrow -(abs(a) - abs(c)) \leq -(abs(b) - abs(c)) \Leftrightarrow a + c \geq b + c]

Dans le cas où la valeur absolue de "c" est supérieur à celle "b" mais inférieur ou égal à celle "a", alors "a + c" devient positif, et "b + c" reste négatif. Selon la définition de la relation "supérieur ou égal", "a + c" reste supérieur ou égal à "b + c". Finalement, si la valeur absolue "c" est supérieur à celle de "a" et celle de "b", alors nous devons innover. Dans ce cas, "c" peut s'écrire comme la somme de "a" et d'un autre nombre entier naturel "d".

\exists d \in N, c = abs(b) + d = (-b) + d

Donc, selon les résultats vues plus haut dans cette démonstration, nous pouvons soustraire "b" des deux côtés de la relation, car "b - b" vaut 0, qui est positif, et "a - b" devient positif.

a > b \Leftrightarrow a - b > 0

Dans ce cas, nous pouvons additionner les deux nombres par "d", ce qui est équivalent, car dans ce cas, "0", "a - b" et "d" serait positif (résultat aussi vue plus haut dans cette démonstration).

a > b \Leftrightarrow a - b > 0 \Leftrightarrow a + (-b) + d > d \Leftrightarrow a + c > b + (-b) + d \Leftrightarrow a + c \Leftrightarrow b + c

Si "a" est positif et "b" est négatif, nous pouvons utiliser une technique permettant d'éviter d'utiliser directement "c". Dans ce cas, nous pouvons soustraire "b" des deux côtés, ce qui ne change pas le signe de "a - b", qui reste positif, et "b - b" reste négatif (égal à 0) : la relation reste juste.

a > b \Leftrightarrow a - b > 0

Dans ce cas, nous pouvons nous ramener aux cas vue plus haut, avec deux nombres positif. Nous devons juste modifier un petit peu "c" (dans une nouvelle variable nommée "d"), en lui soustrayant la modification apportée, ici "a - b". Maintenant, plus qu'à utiliser "a", "b" et "d" dans la démonstration vue plus haut.

\exists d \in Z, d = c - (a - b)

Tous les cas sont démontrées : pour trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "c", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c".

De plus, par définition de "inférieur ou égal", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "b est inférieur ou égal à a". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c". Or, dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c" équivaut à dire que "b + c est inférieur ou égal à a + c". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "b + c est inférieur ou égal à a + c".

Dans la même idée, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut par définition à dire que "a est supérieur ou égal à b" et que "a n'est pas égal à b". Donc, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que que "a + c est supérieur ou égal à b + c" et que "a n'est pas égal à b". Or, dire que que "a + c est supérieur ou égal à b + c" et que "a n'est pas égal à b" équivaut à dire que "a + c est strictement supérieur à b + c". Donc, "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "a + c est strictement supérieur à b + c".

Finalement, par définition de "strictement inférieur", dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "b est strictement inférieur à a". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "a + c est strictement supérieur à b + c". Or, dire que "a + c est strictement supérieur à b + c" équivaut à dire que "b + c est strictement inférieur à a + c". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "b + c est strictement inférieur à a + c".

1.3.2.2

Prouvons que, pour trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "c" avec "c" supérieur à 0, dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a * c est supérieur ou égal à b * c".

Si "a" et "b" sont positifs, alors on obtient la proposition prouvé au théorème 1.2.4.2.

a \geq b \Leftrightarrow a * c \geq b * c

Dans le cas où "a" et "b" sont négatifs, alors par définition de la relation "supérieur ou égal" dans "Z" :

a \geq b \Leftrightarrow -a -b \Leftrightarrow -a * c -b * c \Leftrightarrow a * c \geq b * c

Finalement, si "a" est positif et "b" est négatif, la multiplication par "c" ne change pas le signe de "a" ou "b". Par définition de la relation d'ordre dans "Z", alors "a" reste supérieur à "b", selon son signe.

a \geq b \Rightarrow a * c \Rightarrow b * c

Il en va de même pour la division (bien évidement, dans le cas où "a" et "b" sont multiples de "c").

a \geq b \Rightarrow a / c \Rightarrow b / c

Par double implication, on obtient l'équivalence souhaitée.

a \geq b \Leftrightarrow a * c \Rightarrow b * c

Tous les cas sont démontrées : pour trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "c" avec "c" supérieur à 0, dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a * c est supérieur ou égal à b * c".

De plus, par définition de "inférieur ou égal", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "b est inférieur ou égal à a". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "a * c est supérieur ou égal à b * c". Or, dire que "a + c est supérieur ou égal à b * c" équivaut à dire que "b * c est inférieur ou égal à a * c". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "b * c est inférieur ou égal à a * c".

Dans la même idée, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut par définition à dire que "a est supérieur ou égal à b" et que "a n'est pas égal à b". Donc, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que que "a * c est supérieur ou égal à b * c" et que "a n'est pas égal à b". Or, dire que que "a + c est supérieur ou égal à b * c" et que "a n'est pas égal à b" équivaut à dire que "a * c est strictement supérieur à b + c". Donc, "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "a * c est strictement supérieur à b * c".

Finalement, par définition de "strictement inférieur", dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "b est strictement inférieur à a". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "a * c est strictement supérieur à b * c". Or, dire que "a * c est strictement supérieur à b * c" équivaut à dire que "b * c est strictement inférieur à a + c". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "b * c est strictement inférieur à a * c".

1.3.2.3

Prouvons que, pour trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "c" avec "c" inférieur à 0, dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a * c est inférieur ou égal à b * c".

Selon la définition de la multiplication,multiplier "a" par "c" et "b" par "c" revient à multiplier "-a" par "-c" et "-b" par "-c". Dans ce cas,par définition des relations d'ordres dans "Z",nous obtenons une équivalence particulière.

$a \geq b \Leftrightarrow -a -b$

Or,"-c" est positif. Donc,dans tous les cas,on en revient au théorème 1.3.2.2. Donc : pour trois nombres entiers relatifs "a","b" et "c" avec "c" inférieur à 0,dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a * c est inférieur ou égal à b * c".

\forall a, b, c \in Z, c < 0 \Leftrightarrow a \geq b \Leftrightarrow a * c b * c

En utilisant l'exact même syntaxe que dans le théorème 1.3.2.2 ou 1.2.4.2, on peut démontrer que cela est exatectement pareil via les relations "inférieur ou égal" vers "supérieur ou égal", "strictement supérieur" vers "strictement inférieur" et "strictement inférieur" vers "strictement supérieur" (toujours dans le cas où "a" n'est pas égal à "c").