Le chapitre 1

Chapitre 1 - démonstrations

Le raisonnement mathématique

La première démonstration mené sera comment la proposition "non (A et B)" peut s'écrire sous la forme "(pas A et pas B) ou (A et pas B) ou (B et pas A)".

Maintenant, démontrons que la proposition "pas (A ou B)" peut s'écrire "pas A et pas B", toujours grâce aux tables de vérités.

La théorie des ensembles

Fonctionnement de la double inclusion

Démontrons que un ensemble A et un ensemble B sont égaux si (et seulement si) A est "inclu ou égal" à B et B est "inclu ou égal" à A.

\forall A \forall B (A \subseteq B \land B \subseteq A \Leftrightarrow A = B)

Si A est "inclu ou égal" à B, alors (par définition) :

\forall A \forall B [A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x (x \in A \Rightarrow x \in B)]

Si B est "inclu ou égal" à A, alors (par définition) :

\forall A \forall B [B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x (x \in B \Rightarrow x \in A)]

Donc, si A est "inclu ou égal" à B ET B est "inclu ou égal" à A, alors :

\forall A \forall B {A \subseteq B \land B \subseteq A \Leftrightarrow [\forall x (x \in A \Rightarrow x \in B)] \land [\forall y (y \in B \Rightarrow y \in A)]}

Par imbrication des deux propositions, on peut obtenir la proposition suivante :

\forall A \forall B [A \subseteq B \land B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x (x \in A \Rightarrow x \in B \land x \in B \Rightarrow x \in A)]

Or, on a une double implication, doit on en déduit une équivalence :

\forall A \forall B [A \subseteq B \land B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B)]

On reconnaît l'axiome d'extensionnalité : un ensemble A et un ensemble B sont égaux si (et seulement si) A est "inclu ou égal" à B et B est "inclu ou égal" à A.

Résultats obtenus grâce à l'axiome de fondation

Démontrons qu'un ensemble ne peut pas appartenir lui même.

Prenons un ensemble quelconque bien fondé (qui respecte donc les axiomes). Il existe donc obligatoire le singleton (bien fondé) ne contenant que cet ensemble.

\forall E, \exists F \forall y [y \in F \Leftrightarrow y = E]

F = {E}

Selon l'axiome de fondation, il existe un élément de ce singleton tel que l'intersection entre cet élément et le singleton donne l'ensemble vide. Or, il n'a qu'un seul élément : l'ensemble de départ, qui doit donc obligatoirement respecter cet axiome.

\forall x [x \neq \emptyset \Rightarrow \exists y (y \in x \land y \cap x = \emptyset)]

\Rightarrow \exists y \in {E}, y \cap {E} = \emptyset

\Rightarrow E \cap {E} = \emptyset

Par définition de l'intersection, cela implique qu'il n'y a aucun élément dans "E" qui ne soit aussi dans "{E}". Cela implique qu'il n'y a pas l'élément "E" dans "E".

\Rightarrow \neg [\exists z \in E, z \in {E}]

\Rightarrow \neg [\exists z \in E, z = E]

\Rightarrow \neg [E \in E]

Au final, un ensemble bien fondé ne peut pas appartenir à lui même.

Démontrons maintenant qu'un ensemble E ne peut pas contenir un ensemble contenant E, où dont un de ces éléments contient E (ou dont un des ces éléments contient E...). Cette démonstration est très similaire à la précédente. En gros, cherchons que la proposition suivante est impossible :

E \in E_{1}, E_{1} \in E_{2}, E_{2} \in E_{3}, ..., E_{n - 1} \in E_{n}, E_{n} \in E

Prenons plusieurs ensembles quelconque bien fondés (qui respecte donc les axiomes), que nous nommerons :

E, E_{1}, E_{2}, ..., E_{n}

Disons que tous les ensembles "k - 1" (pour k strictement plus grand que 0) appartiennent aux ensemble "k" (on efface donc la dernière appartenance de la proposition "problématique", ou "E" appartient à "E de n").

E \in E_{1}, E_{1} \in E_{2}, E_{2} \in E_{3}, ..., E_{n - 1} \in E_{n}

Il existe donc obligatoire l'ensemble contenant tous ces ensembles.

{E_{0}, E_{1}, E_{2}, ..., E_{n}}

Selon l'axiome de fondation, il existe un élément de cet ensemble tel que l'intersection entre cet élément et de l'ensemble donne l'ensemble vide. Or, l'intersection de "E de 1" par cet ensemble donne le singleton "E", l'intersection de "E de 2" par cet ensemble donne le singleton "E de 1"... L'intersection de "E de n" par cet ensemble donne le singleton "E de n - 1". Donc, la seule intersection qui peut donner l'élément vide est celle avec E.

\forall x [x \neq \emptyset \Rightarrow \exists y (y \in x \land y \cap x = \emptyset)]

\Rightarrow \forall k \in {1, 2, ..., n}, E_{k} \cap F = {E_{k - 1}}

\Rightarrow E \cap F = \emptyset

Par définition de l'intersection, cela implique qu'il n'y a aucun élément dans "E" qui ne soit aussi dans "F". Cela implique qu'il n'y a pas l'élément "E de n" (ou "E de 1", "E de 2"... jusqu'à "E de n - 1") dans "E".

\Rightarrow \neg [\exists z \in E, z \in F]

\Rightarrow \neg [\exists z \in E, z = E_{n} \lor z = E_{1} \lor ...]

\Rightarrow \neg [E_{n} \in E]

Au final, des ensembles bien fondés ne peut pas s'appartenir à eux-même de manière cyclique.

Unicité des ensembles admis par les axiomes

Démontrons qu'il n'existe qu'un seul ensemble ne contenant aucun élément : l'ensemble vide. Procédons avec une démonstration par l'absurde.
Supposons l'existence un ensemble E, étant un ensemble ne contenant aucun élément, inégal à l'ensemble vide. Si cet ensemble ne contient aucun élément, selon l'axiome d'extensionnalité, il est égal à l'ensemble vide (que nous avons défini comme impossible). Si cet ensemble contient au moins un élément, selon l'axiome d'extensionnalité, il est inégal à l'ensemble vide... mais il contient au moins un élément (que nous avons défini comme impossible).
Donc, toutes les possibilités mènent à une contradiction, E ne peut pas exister, il n'y a donc qu'un seul ensemble ne contenant aucun élément : l'ensemble vide.

Démontrons qu'il n'existe qu'un seul ensemble qui, pour tout ensemble A et B, représente la paire de A et B. Procédons avec une démonstration par l'absurde, extrêmement similaire à celle utilisée pour démontrer l'unicité de l'ensemble vide.
Supposons l'existence un ensemble E, étant un ensemble contenant la paire de A et B, inégal à l'ensemble vide. Si cet ensemble ne contient que A et B, selon l'axiome d'extensionnalité, il est égal à C (que nous avons défini comme impossible). Si cet ensemble ne contient pas que A et B, selon l'axiome d'extensionnalité, il est inégal à C... mais il ne contient pas A et B.
Donc, toutes les possibilités mènent à une contradiction, E ne peut pas exister, il n'y a donc qu'un seul ensemble ne contenant que A et B : C.

En procédant comme ceci, on peut prouver l'unicité d'énormément d'ensembles définis grâces aux axiomes :
- Singleton d'un objet "A"
- Réunion dans un ensemble "A"
- Ensemble des parties d'un ensemble "A"
- Union et intersection entre deux ensembles "A" et "B"
- Élément provenant de la fonction successeur

Résultats liés au produit cartésien

Prouvons que tout ensemble E et F donne un produit cartésien valide, grâce aux axiomes.

Créons un nouvel ensemble A, étant l'union de E et F :

A = E \cup F

On peut obtenir l'ensemble des parties de A (dont l'existence est garanti par l'axiome de l'ensemble des parties), contenant ainsi toutes les paires possibles entre un élément de E et un élément de F. Il contient aussi tous les singletons des éléments de E et F.

\forall x, y, [{x \in E \land y \in F} \Rightarrow {x, y} \in P(A)]

\forall x [x \in A \Rightarrow {x} \in P(A)]

De manière à ne pas se casser la tête, on peut définir l'ensemble des parties de... l'ensemble des parties de A, contenant toutes les paires définis comme les couples de Kuratowski entre tous x dans E et y dans F.

\forall x, y, [{x, y} \in P(A) \land {x} \in P(A) \Rightarrow {{x}, {x, y}} \in P(P(A))]

\forall x, y, {{x}, {x, y}} = {{x, y}, {x}} = (x, y)

Au final, tous les couples de Kuratowski possibles des éléments de E et F sont définis dans P(P(A)). Finalement, en utilisant le schéma d'axiome de séparation, on peut trouver un moyen d'extraire dans P(P(A)) tous les couples qui nous intéressent, formant le produit cartésien de E et F (ici noter C).

C = {(x, y) \in P(P(A)), x \in E \land y \in F} \Leftrightarrow C = E X F

Cet ensemble existe donc pour tout ensemble E et F.

Relations et applications

Les relations d'équivalences

1.1.0.0

Démontrons que dire que "deux objets ont une propriété f similaire" revient à dire que ces deux objets sont reliés par une relation d'équivalence. Nous travaillerons dans un ensemble "E", avec une relation quelconque "~", représentant deux objets liés par cette propriété. Commenceons par énoncer une propriété "f" quelconque (que nous n'expliciterons pas), représentant un élément d'un autre ensemble quelconque "F".

\forall x \in E, \exists a \in F, f(x) = a

Ici, nous pouvons expliciter la relation "~".

\forall x, y \in E, x ~ y \Leftrightarrow f(x) = f(y)

Par transitivité de l'égalité, nous pouvons prouver que "~" est aussi transitive.

\forall x, y, z \in E, [x ~ y \land y ~ z \Leftrightarrow f(x) = f(y) \land f(y) = f(z)] \Rightarrow [f(x) = f(z) \Leftrightarrow x ~ z]

Par symétrie de l'égalité, nous pouvons prouver que "~" est aussi symétrique.

\forall x, y \in E, [x ~ y \Leftrightarrow f(x) = f(y)] \Rightarrow [f(y) = f(x) \Leftrightarrow y ~ x]

Par réflexitivé de l'égalité, nous pouvons prouver que "~" est aussi réflexive.

\forall x, y \in E, x ~ x \Leftrightarrow f(x) = f(x)

Donc, "~" est réflexive, symétrique et transitive : c'est une relation d'équivalence.

Les injections, surjections et bijections

1.1.1.0

Démontrons que une application mathématique où tous les éléments de l'ensemble de départ sont reliés à au plus 1 objet permet de dire que "a = b" équivaut à dire que "f(a) = f(b)" (et sa réciproque). Définissons notre application.

f : E ⟶ F, x ⟶ f(x)

Supposons que tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont reliés à au plus 1 objet.

\forall z \in F, [\exists! x \in E, f(x) = z \lor (\exists x \in E, f(x) = z)]

Posons deux éléments de "E" quelconques, nommés "x" et "y", et que leur image par "f" est égale.

\forall x, y \in E, f(x) = f(y)

Selon notre première supposition (tous les éléments de l'ensemble de départ sont reliés à au plus 1 objet) :

\forall w \in F, [\exists! x \in E, f(x) = w \lor (\exists x \in E, f(x) = w)]

\forall z \in F, [\exists! y \in E, f(y) = z \lor (\exists y \in E, f(y) = z)]

Comme nous avons supposé que "x" et "y" existent, on peu oublier la deuxième partie de la proposition "OU". Ici, comme "f(x)" et "f(y)" appartiennt à "f", nous pouvons changer "w" et "f(y)", ou "z" et "f(x)", pour obtenir les égalité "f(x) = f(y)".

\exists! x \in E, f(x) = f(y)

\exists! y \in E, f(y) = f(x)

Dans les deux cas, il existe un unique élément étant leur image : "x" et "y". Donc, dans les deux cas, la seule possibilité est que "x = y".

\forall x, y \in E, f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y

1.1.1.1

Démontrons que une application mathématique où tous les éléments de l'ensemble de d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet équivaut à dire que l'application est injective et surjective. Définissons notre application.

f : E ⟶ F, x ⟶ f(x)

Supposons que tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet.

\forall z \in F, \exists! x \in E, f(x) = z

Par définition pure, cette propriété permet de dire que "f" est injective, car tous les éléments d'arrivée sont reliés à 1 ou 0 objet.

\forall z \in F, [\exists! x \in E, f(x) = z \lor (\exists x \in E, f(x) = z)]

Toujours par définition pure, cette propriété permet de dire que "f" est surjective, car tous les éléments d'arrivée sont reliés à au moins un objet.

\forall z \in F, \exists x \in E, f(x) = z

Donc, une application mathématique où tous les éléments de l'ensemble de d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet est injective et surjective.

De plus, si une application est injective et surjective, alors tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont reliés à au minimum un élément. Or, selon l'injectivité, une application injective permet de dire que chaque élément d'arrivée sont reliés à 1 ou 0 élément. Donc, chaque élément de l'ensemble d'arrivée est relié à exactement un élément : si une application est injective et surjective, alors tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont reliés à au minimum un élément.

Par double implication, on conclut donc que application mathématique où tous les éléments de l'ensemble de d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet équivaut à dire que l'application est injective et surjective.

1.1.1.2

Démontrons que une application mathématique où tous les éléments de l'ensemble de d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet équivaut à dire que l'application admet une application réciproque. Définissons notre application.

f : E ⟶ F, x ⟶ f(x)

Supposons que tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet.

\forall z \in F, \exists! x \in E, f(x) = z

Cette définition est pratiquement la même que la définition brute du concept d'application. Formulons une application "g" allant de "F" vers "E" représentant la définition d'une application adaptée.

\forall z \in F, \exists! x \in E, g(z) = x

Composons ces applications "f" et "g" :

\forall x \in E, \exists! a \in E, \exists! b \in F, a = g(x), b = f(g(x))

\Rightarrow [\exists! e \in E, b = f(e)] \land [\exists! h \in F, h = f(a)] \land [\exists! d \in E, g(x) = d] \land [\exists! c \in F, g(c) = a]

\Rightarrow [d = e \land c = h] \Rightarrow [b = x]

Nous retrouvons ici la formule de la bijection. Donc, "g" est l'application réciproque de "f". Faisons dans le sens inverse (ce qui est presque pareil) :

\forall x \in E, \exists! a \in F, \exists! b \in E, a = f(x), b = g(f(x))

\Rightarrow [\exists! e \in F, b = g(e)] \land [\exists! h \in E, h = g(a)] \land [\exists! d \in F, f(x) = d] \land [\exists! c \in E, f(c) = a]

\Rightarrow [d = e \land c = h] \Rightarrow [b = x]

Nous retrouvons ici la formule de la bijection. Donc, "f" est l'application réciproque de "g".

De manière similaire, prouvant que le fait que deux applications "i" et "j" soient réciproques entre elles signifie qu'elles sont bijectives. Définissons nos applications.

i : E ⟶ F, x ⟶ i(x)

j : F ⟶ E, x ⟶ j(x)

Supposons que ces applications soient réciproques entre elles.

i(j(x)) = {Id}_{E}

Par définition d'une application :

\forall p \in E, \exists! y \in F, i(p) = y

\forall q \in F, \exists! z \in E, j(q) = z

Par définition même de leur composition :

\forall q \in F, \exists! p \in E, i(p) = q

Donc, "i" est surjective, car tous les éléments de "F" possèdent au moins un antécédent par "i". De plus, elle est injective, car tous les éléments de "F" possèdent au plus un antécédent par "i". Donc, selon le théorème 1.1.1.1, "i" est bijective, et donc tous les éléments de l'ensemble de d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet. Da mnière parfaitement similaire, on en déduit la même chose de "j".

Donc, par double implication, on en conclut que une application mathématique où tous les éléments de l'ensemble de d'arrivée sont reliés à exactement 1 objet équivaut à dire que l'application admet une application réciproque.

1.1.1.3

Prouvons qu'une bijection de bijection donne... une bijection. Définissons trois applications différentes.

f : E ⟶ F, x ⟶ f(x)

g : F ⟶ G, x ⟶ g(x)

h : E ⟶ G, x ⟶ g(f(x))

Supposons "f" et "g" bijectives.

\forall a \in F, \exists! y \in E, f(a) = y

\forall b \in G, \exists! z \in F, g(b) = z

Donc, pour chaque "z" appartenant à "F", il existe un "y" appartenant à "E" tel que "f(y) = z". Donc :

\forall b \in G, \exists! y \in E, f(g(y)) = z \Leftrightarrow h(x) = z

Or, cela représente exactement la définition d'une bijection. Donc, "h" est aussi une bijection, de "E" vers "G".

Les nombres entiers naturels

Étude de l'objet "successeur"

1.2.0.0

Prouvons que l'objet "successeur" défini par l'axiome de l'infini est une application bijective de "N" vers "N sans 0".

\forall n \in N*, \exists! k \in N, n = successeur(k)

Par définition pure, chaque élément de l'ensemble des nombres entiers naturels possède un seul élément étant son successeur. Donc, cet objet est bien une application.

\forall m \in N, \exists! n \in N, n = successeur(m)

\forall m [m \in N \Rightarrow \exists! n \in N, n = successeur(m)

]

En suite, par définition, pour tout nombre entier naturel qui n'est pas 0, le nombre s'écrit sous la forme d'un successeur d'un autre nombre. \forall n \in N*, \exists k \in N, n = successeur(k)

Par définition de la surjectivité, cette application est donc surjective.

De plus, par définition de l'objet "successeur", on sait que :

\forall m, n \in N*, successeur(m) = successeur(n) \Leftrightarrow n = m

Par définition de l'injectivité, cette application est donc injective.

Cette application est injective et surjective : selon la définition de la bijectivité, elle est bijective.

Donc, tout nombre venant de "N sans 0" admet un unique antécédent par la fonction successeur. L'application "successeur" est une application bijective de "N" vers "N sans 0".

\forall n \in N*, \exists! k \in N, n = successeur(k)

1.2.0.1

Prouvons que, pour tout nombre entier naturel "n", "n + successeur(0) = successeur(0) + n". Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel "n", P(n) = "n + successeur(0) = successeur(0) + n".
Déjà, par définition de l'addition :

0 + successeur(0) = successeur(0) = 1

successeur(0) + 0 = successeur(0) = 1

Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall k \in N, k + successeur(0) = successeur(0) + k

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.0.0) :

k + successeur(0) = successeur(0) + k \Leftrightarrow successeur(k + successeur(0)) = successeur(successeur(0) + k)

Selon la définition de l'addition :

successeur(k + successeur(0)) = k + successeur(successeur(0)) = k + successeur(successeur(0) + 0) = k + successeur(0) + successeur(0) = successeur(k) + successeur(0)

De plus, toujours selon la définition de l'addition :

successeur(successeur(0) + k) = successeur(0) + successeur(k)

Donc :

successeur(k) + successeur(0) = successeur(0) + successeur(k)

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall n \in N, n + successeur(0) = successeur(0) + n

L'opération addition

1.2.1.0

Prouvons que l'addition entre tous nombres entiers naturels donne un nombre entier naturel (et donc que l'addition est stable sur l'ensemble des nombres entiers naturels, selon le chapitre 2). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel m, P(m) = "pour tout nombre entier naturel n, n + m est un nombre entier naturel".
Déjà, par définition de l'addition, pour tout nombre entier naturel "n", "n + 0 = n". Comme nous l'avons dit, "n" est un nombre entier naturel. Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall n, k \in N, \exists q \in N, n + k = q

Déjà, comme P(k), alors q est un nombre entier naturel. Par définition de N, successeur(k) = k + 1 est un nombre entier naturel. Comme on rajoute un "+ 1" (et donc, que l'on applique la fonction successeur) à gauche de l'égalité, on doit en rajouter un à droite de l'égalité pour en obtenir une équivalence (comme nous l'avons vu plus haut, dans le théorème 1.2.0.0). Donc :

n + k = q \Leftrightarrow successeur(n + k) = n + successeur(k) = successeur(q) = n + k + 1 = q + 1

Ici, par définition de N, successeur(q) un nombre entier naturel. Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall n, k \in N, \exists a \in N, n + k = a

1.2.1.1

Démontrons que, pour tout nombre entier naturel a, b et c : (a + b) + c = a + (b + c) (et donc, que les parenthèses / ordre des additions n'ont pas d'importance, ou que l'addition est associative dans l'ensemble des nombres entiers naturels selon le chapitre 2). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel c, P(c) = "pour tout nombre entier naturel a et b, (a + b) + c = a + (b + c)".
Déjà, par définition de l'addition, si c = 0, alors :

(a + b) + c = a + b

a + (b + c) = a + (b) = a + b

Donc, P(0) est vraie. Maintenant, cherchons P(1).

(a + b) + c = (a + b) + 1 = successeur(a + b)

a + (b + c) = a + (b + 1) = a + successeur(b) = successeur(a + b)

Donc, P(1) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque supérieur ou égal à 1, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall a, b \in N, (a + b) + k = a + (b + k)

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.0.0, en rajoutant des parenthèses) :

\forall a, b \in N, (a + b) + k = a + (b + k) \Leftrightarrow ((a + b) + k) + 1 = (a + (b + k)) + 1

Dans le cas de nos deux formes appliquons l'hypothèse de récurrence :

\forall a, b \in N, ((a + b) + k) + 1 = (a + (b + k)) + 1 = (a + b) + (k + 1) = a + ((b + k) + 1)

Réappliquons-là à droite :

\forall a, b \in N, (a + b) + (k + 1) = a + ((b + k) + 1) = a + (b + (k + 1))

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) et P(1) est vraie et P(k) pour tout cas supérieur ou égal à 1 implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b, c \in N, (a + b) + c = a + (b + c)

1.2.1.2

Démontrons que, pour tout nombre entier naturel "a" et "b" : "a + b = b + a" (et donc, que l'addition est commutative dans l'ensemble des nombres entiers naturels selon le chapitre 2). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel b, P(b) = "pour tout nombre entier naturel a, a + b = b + a".
Déjà, par définition de l'addition, si b = 0, alors :

a + b = a + 0 = 0 + a = a

Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque supérieur ou égal à 0, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

a + k = k + a

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.0.0, en rajoutant des parenthèses) :

a + k = k + a \Leftrightarrow successeur(a + k) = successeur(k + a)

Par définition de l'addition, selon la partie gauche de notre relation :

successeur(a + k) = a + successeur(k)

Selon la partie droite :

successeur(k + a) = k + successeur(a) = k + (a + successeur(0))

Or, selon la règle d'associativité (théorème 1.2.1.1) et selon le fait que nous pouvons interchanger la place de successeur(0) (théorème 1.2.0.1) :

k + (a + successeur(0)) = k + (successeur(0) + a) = (k + successeur(0)) + a = successeur(k) + a

Donc :

a + successeur(k) = successeur(k) + a = a + (k + 1) = (k + 1) + a

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) pour tout "k" supérieur à 0 implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b \in N, a + b = b + a

1.2.1.3

Démontrons que, pour tout nombre entier naturel "a", "b" et "n" : "a = b équivaut à dire que a + n = b + n". Cette proposition est équivalente à dire que l'application allant de "N" vers "N" et transformant les éléments de départ "a" en éléments d'arrivée "a + n" est injective. Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel n, P(n) = "pour tout nombre entier naturel a et b, a = b équivaut à dire que a + n = b + n".
Déjà, par définition de l'addition, pour tout nombre entier naturel "a" et "b", "a + 0 = a" et "b + 0 = b". Par transitivité de l'égalité : "a = b = a + 0 = b + 0". Donc, "a = b équivaut à dire que a + 0 = b + 0". Finalement, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall a, b, k \in N, a = b \Leftrightarrow a + k = b + k

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.0.0, en rajoutant des parenthèses) :

\forall a, b \in N, a + k = b + k \Leftrightarrow successeur(a + k) = successeur(b + k)

Par définition de l'addition :

\forall a, b \in N, a = b \Leftrightarrow a + k = b + k \Leftrightarrow a + successeur(k) = b + successeur(k)

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall n, k \in N, \exists a, b, n \in N, a = b \Leftrightarrow a + n = b + n

L'opération multiplication

1.2.2.0

Prouvons que la multiplication entre tous nombres entiers naturels donne un nombre entier naturel (et donc que la multiplication est stable sur l'ensemble des nombres entiers naturels, selon le chapitre 2). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel m, P(m) = "pour tout nombre entier naturel n, n * m est un nombre entier naturel".
Déjà, par définition de la multiplication, pour tout nombre entier naturel "n", "n * 0 = 0". Bien évidemment, "0" est un nombre entier naturel. Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall n, k \in N, \exists q \in N, n * k = q

Déjà, comme P(k), alors q est un nombre entier naturel. Selon la proposition 1.2.1.0, additionner "q" est n'importe quel nombre entier naturel donne un nombre entier naturel. Selon le théorème 1.2.1.3, nous pouvons donc additionner "n" aux deux membres de la relation pour obtenir une équivalence. Donc :

n + k = q \Leftrightarrow n + k + n = q + n

Selon la définition de la multiplication :

n + k + n = n * successeur(k) = n * (k + 1) = q + n

Pour rappel, "q + n" est un nombre entier naturel. De plus, nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall n, k \in N, \exists a \in N, n * k = a

1.2.2.1

Démontrons que, pour tous nombres entiers naturels a, b et c : "a * (b + c) = a * b + a * c" (et donc, que l'opération multiplication est distributive par rapport à l'addition dans les nombres entiers naturels). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel a, P(a) = "pour tout nombre entier naturel b et c, a * (b + c) = a * b + a * c".
Déjà, par définition de l'addition, si a = 0, alors :

a * b + c = 0

a * b + a * c = 0 + 0 = 0

Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall b, c \in N, k * (b + c) = k * b + k * c

Selon le théorème 1.2.1.3, nous pouvons donc additionner "(b + c)" aux deux membres de la relation pour obtenir une équivalence.

\forall b, c \in N, k * (b + c) = k * b + k * c \Leftrightarrow k * (b + c) + (b + c) = k * b + k * c + (b + c)

Pour la forme à gauche, nous pouvons utiliser la définition de la multiplication :

k * (b + c) + (b + c) = successeur(k) * (b + c) = (k + 1) * (b + c) = k * b + k * c + (b + c)

Pour la forme à gauche, selon la règle d'associativité de l'addition (théorème 1.2.1.1) :

(k + 1) * (b + c) = (k * b + b) + (k * c + c)

Ré-utilisons la définition de la multiplication :

(k + 1) * (b + c) = (k * b + b) + (k * c + c) = successeur(k) * b + successeur(k) * c = (k + 1) * b + (k + 1) * c

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b, c \in N, a * (b + c) = a * b + a * c

1.2.2.2

Démontrons que, pour tout nombre entier naturel a, b et c : (a * b) * c = a * (b * c) (et donc, que les parenthèses n'ont pas d'importance, ou que la multiplication est associative dans l'ensemble des nombres entiers naturels selon le chapitre 2). Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel c, P(c) = "pour tout nombre entier naturel a et b, (a * b) * c = a * (b * c)".
Déjà, par définition de l'addition, si c = 0, alors :

(a * b) * c = 0

a * (b * c) = a * 0 = 0

Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall a, b \in N, (a * b) * k = a * (b * k)

Selon le théorème 1.2.1.3, nous pouvons donc additionner "k" aux deux membres de la relation pour obtenir une équivalence.

\forall a, b \in N, (a * b) * k = a * (b * k) \Leftrightarrow (a * b) * k + (a * b) = a * (b * k) + (a * b)

Pour la forme à gauche, nous pouvons utiliser la définition de la multiplication :

(a * b) * k + (a * b) = (a * b) * successeur(k) = (a * b) * (k + 1) = a * (b * k) + (a * b)

Pour la forme à droite, nous pouvons utiliser la définition de la multiplication pour rajouter un "* 1", et utiliser P(k) pour moduler tout ça :

(a * b) * (k + 1) = a * (b * k) + (a * b) * 1 = a * (b * k) + a * (b * 1)

Comme la multiplication est distributive par rapport à l'addition (théorème 1.2.2.1) :

(a * b) * (k + 1) = a * (b * k) + a * (b * 1) = a * (b * k + b * 1) = a * (b * k + b)

Finalement, ré-utilisons la définition de la multiplication :

(a * b) * (k + 1) = a * (b * k + b) = a * (b * (successeur(k))) = a * (b * (k + 1))

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) et P(1) est vraie et P(k) pour tout cas supérieur ou égal à 1 implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b, c \in N, (a * b) * c = a * (b * c)

Les opérations secondaires

1.2.3.0

Prouvons que si deux nombres entiers naturels "a" et "b" vérifient la relation "a est supérieur ou égal à b", alors "a - b" est un nombre entier naturel.

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow a - b \in N

Déjà, écrivons "a" et "b" sous la forme d'une addition obtensible grâce à la définition de la relation "supérieur ou égal" :

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow \exists! c \in N, b + c = a

Par définition de la soustraction :

\forall a, b \in N, \exists c, a - b = c \Leftrightarrow a = b + c

Selon le théorème 1.2.1.2, nous pouvons échanger "a" et "b + c".

a = b + c \Leftrightarrow b + c = a

Nous reconnaissons la forme obtenue via la relation "supérieur ou égal". Or, toujours selon cette définition, ce "c" est un nombre entier naturel. Donc, "a - b" l'est aussi. Donc, par transitivité de l'équivalence :

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow a - b \in N

Les relations d'ordre

1.2.4.0

Prouvons que, dans l'ensemble des nombres entiers naturels, la relation "supérieur ou égale" est une relation d'ordre. Rappelons la définition de cette relation :

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow \exists c \in N, a = b + c

Vérifions si cette relation est réflexive.

\forall a \in N, a \geq a \Leftrightarrow \exists c \in N, a = a + c \Leftrightarrow a = a

Ici, dire que "a" est supérieur ou égal à "a" est équivalent à dire que "a = a", ce qui est toujours vrai. Donc, la relation est réflexive. Vérifions si cette relation est antisymétrique.

\forall a \in N, a \geq b \land b \geq a \Leftrightarrow \exists c, d \in N, [a = b + c \land b = a + c] \Rightarrow [a = a + (a + c) = a + 2 * c \Leftrightarrow 2 * c = 0 \Leftrightarrow c = 0] \Rightarrow a = b

Ici, supposer que "a est supérieur ou égal à b et b est supérieur ou égal à b" implique que "a = b". Donc, la relation est antisymétrique. Finalement, vérifions si cette relation est transitive.

\forall a, b, c \in N, a \geq b \land b \geq c \Leftrightarrow \exists d, e \in N, [a = b + d \land b = c + e] \Rightarrow [a = c + e + d \Leftrightarrow \exists f \in N, f = e + d, a = c + f] \Rightarrow a \geq c

Si "a est supérieur ou égal à b et b est supérieur ou égal à c", alors "a est supérieur ou égal à c". Donc, la relation est transitive. Cette relation est donc réflexive, antisymétrique et transitive : elle est une relation d'ordre.

En modifiant stratégiquement les "supérieur ou égal" en "inférieur ou égal" et les "a" en "b", alors vous pouvez faire l'exact même démonstration avec la relation "inférieur ou égal".

1.2.4.1

Prouvons que, pour deux nombres entiers naturels "a" et "b", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)".

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow successeur(a) > successeur(b)

Par définition de "supérieur ou égal" :

a \geq b \Leftrightarrow \exists c \in N, a = b + c

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.0.0) :

a = b + c \Leftrightarrow successeur(a) = succeseur(b + c) \Leftrightarrow successeur(a) = successeur(b) + c \Leftrightarrow successeur(a) \geq successeur(b)

Or, cela équivaut parfaitement à dire que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)". Donc, dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)".

De plus, par définition de "inférieur ou égal", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "b est inférieur ou égal à a". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)". Or, dire que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)" équivaut à dire que "successeur(b) est inférieur ou égal à successeur(a)". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que"successeur(b) est inférieur ou égal à successeur(a)".

Dans la même idée, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut par définition à dire que "a est supérieur ou égal à b" et que "a n'est pas égal à b". Donc, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)" et que "a n'est pas égal à b". Or, dire que que "successeur(a) est supérieur ou égal à successeur(b)" et que "a n'est pas égal à b" équivaut à dire que "successeur(a) est strictement supérieur à successeur(b)". Donc, "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "successeur(a) est strictement supérieur à successeur(b)".

Finalement, par définition de "strictement inférieur", dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "b est strictement inférieur à a". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "successeur(a) est strictement supérieur à successeur(b)". Or, dire que "successeur(a) est strictement supérieur à successeur(b)" équivaut à dire que "successeur(b) est strictement inférieur à successeur(a)". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que"successeur(b) est strictement inférieur à successeur(a)".

En appliquant l'exact même raisonnement, nous pouvons obtenir le même résultat avevc la fonction "prédécesseur" (en supposant que "a" et "b" ne soit pas "0"). Toujours par des équivalences, vous obtenez les mêmes résultats avec "inférieur ou égal", "strictement supérieur" et "strictement inférieur".

1.2.4.2

Prouvons que, pour trois nombres entiers naturels "a", "b" et "c", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c". Procédons par récurrence.

Posons l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel "c", P(c) = "pour tout nombres entiers naturels a et b, "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c"".

P(c) = \forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow a + c \geq b + c

Déjà, par définition de l'addition :

\forall a, b \in N, [a + 0 = a, b + 0 = b]

Donc :

c = 0 \Rightarrow a + c \geq b + c \Leftrightarrow a \geq b

Dans le cas où "c = 0", "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c". Donc, P(0) est vraie.

En suite, prouvons que si P(k) avec k un nombre entier naturel quelconque, alors P(k + 1). Commençons par supposer que P(k) soit vrai.

\forall a, b \in N, a \geq b \Leftrightarrow a + k \geq b + k

Appliquons notre équivalence vue plus haut (avec le théorème 1.2.4.1) :

a + k \geq b + k \Leftrightarrow successeur(a + k) \geq successeur(b + k) \Leftrightarrow a + successeur(k) \geq b + successeur(k)

Nous reconnaissons donc la forme de P(k + 1). Donc, si P(k) est vraie, P(k + 1) l'est aussi.

Donc, P(0) est vraie et P(k) implique P(k + 1). Selon le principe de récurrence, P est vraie pour tout nombre entier naturel. Finalement :

\forall a, b, c \in N, a \geq b \Leftrightarrow a + c \geq b + c

De plus, par définition de "inférieur ou égal", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "b est inférieur ou égal à a". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c". Or, dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c" équivaut à dire que "b + c est inférieur ou égal à a + c". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "b + c est inférieur ou égal à a + c".

Dans la même idée, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut par définition à dire que "a est supérieur ou égal à b" et que "a n'est pas égal à b". Donc, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que que "a + c est supérieur ou égal à b + c" et que "a n'est pas égal à b". Or, dire que que "a + c est supérieur ou égal à b + c" et que "a n'est pas égal à b" équivaut à dire que "a + c est strictement supérieur à b + c". Donc, "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "a + c est strictement supérieur à b + c".

Finalement, par définition de "strictement inférieur", dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "b est strictement inférieur à a". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "a + c est strictement supérieur à b + c". Or, dire que "a + c est strictement supérieur à b + c" équivaut à dire que "b + c est strictement inférieur à a + c". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "b + c est strictement inférieur à a + c".

En appliquant l'exact même raisonnement, nous pouvons obtenir le même résultat avec la soustraction (en supposant que "a" et "b" soit supérieur ou égal à "c"). Toujours par des équivalences, vous obtenez les mêmes résultats avec "inférieur ou égal", "strictement supérieur" et "strictement inférieur".

Les nombres entiers relatifs

L'opération addition

1.3.0.0

Prouvant que l'addition de deux nombres entiers relatifs donne un nombre entier relatif (et que l'addition est stable dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b \in Z, a + b \in Z

Soit deux nombres entiers relatifs "a" et "b" :

\forall a, b \in Z, \exists c, d, e, f \in N, a = (c, d), b = (e, f)

Selon la définition de l'addition dans "Z" :

a + b = (c + e, d + f)

Or, selon la définition de l'addition dans "N", "c + e" et "d + f" appartiennent à "N". Donc, le résultat obtenu appartient à "Z". Donc, pour tout "a" et "b", "a + b" appartient aussi à "Z".

\forall a, b \in Z, a + b \in Z

1.3.0.1

Prouvant que l'ordre de réalisation plusieurs additions de nombres entiers relatifs n'importe pas (et que l'addition est associative dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b, g \in Z, (a + b) + g = a + (b + g)

Soit trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "g" :

\forall a, b, g \in Z, \exists c, d, e, f, h, i \in N, a = (c, d), b = (e, f), g = (h, i)

Selon la définition de l'addition dans "Z" :

(a + b) + g = ((c + e) + h, (d + f) + i)

a + (b + g) = (c + (e + h), d + (f + i))

Selon le théorème 1.2.1.1, l'addition est associative dans "N", donc :

(a + b) + g = ((c + e) + h, (d + f) + i) = (c + (e + h), d + (f + i)) = a + (b + g)

Donc, "(a + b) + g = a + (b + g)" Donc, l'ordre de réalisation de plusieurs additions n'importe pas dans "Z" (et l'addition est associative dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b, g \in Z, (a + b) + g = a + (b + g)

1.3.0.2

Prouvant que l'ordre de réalisation plusieurs additions de nombres entiers relatifs n'importe pas (et que l'addition est associative dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b, g \in Z, (a + b) + g = a + (b + g)

Soit trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "g" :

\forall a, b, g \in Z, \exists c, d, e, f, h, i \in N, a = (c, d), b = (e, f), g = (h, i)

Selon la définition de l'addition dans "Z" :

(a + b) + g = ((c + e) + h, (d + f) + i)

a + (b + g) = (c + (e + h), d + (f + i))

Selon le théorème 1.2.1.1, l'ordre de réalisation des additions n'importe pas dans "N", donc :

(a + b) + g = ((c + e) + h, (d + f) + i) = (c + (e + h), d + (f + i)) = a + (b + g)

Donc, "(a + b) + g = a + (b + g)" Donc, l'ordre de réalisation de plusieurs additions n'importe pas dans "Z" (et l'addition est associative dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b, g \in Z, (a + b) + g = a + (b + g)

1.3.0.3

Prouvant que l'ordre des opérandes autour d'une addition de nombres entiers relatifs n'importe pas (et que l'addition est commutative dans "Z", selon le chapitre 2).

Soit deux nombres entiers relatifs "a" et "b" :

\forall a, b \in Z, \exists c, d, e, f \in N, a = (c, d), b = (e, f)

Selon la définition de l'addition dans "Z" :

a + b = (c + e, d + f)

b + a = (e + c, f + d)

Selon le théorème 1.2.1.2, l'ordre des opérandes autour d'une addition n'importe pas dans "N", donc :

a + b = (c + e, d + f) = (e + c, f + d) = b + a

Donc, "a + b = b + a" Donc, l'ordre des opérandes autour d'une addition n'importe pas dans "Z" (et l'addition est commutative" dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b, g \in Z, a + b = b + a

1.3.0.4

Démontrons que, pour tout nombres entiers relatifs "a", "b" et "n" : "a = b équivaut à dire que a + n = b + n". Cette proposition est équivalente à dire que l'application allant de "Z" vers "Z" et transformant les éléments de départ "a" en éléments d'arrivée "a + n" est injective.

\forall a, b, n \in Z, a = b \Leftrightarrow a + n = b + n

Soit trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "n" :

\forall a, b, n \in Z, \exists c, d, e, f, o, p \in N, a = (c, d), b = (e, f), n = (o, p)

Selon la définition de l'addition dans "Z" :

a + b = (c + e, d + f)

Selon le théorème 1.2.1.3, pour tout nombres naturels "k", "l" et "m", "k = l équivaut à dire que k + m = l + m" : utilisons cette propriété sur "c", "d", "e", "f" et "o" et "p".

a = b \Leftrightarrow c = e \land d = f \Leftrightarrow c + o = e + o \land d + p = f + p \Leftrightarrow a + n = b + n

Donc, "a = b équivait à dire que a + b" Donc, pour tout nombres entiers relatifs "a", "b" et "n" : "a = b équivaut à dire que a + n = b + n".

\forall a, b, n \in Z, a = b \Leftrightarrow a + n = b + n

L'opération multiplication

1.3.1.0

Prouvant que la multiplication de deux nombres entiers relatifs donne un nombre entier relatif (et que la multiplication est stable dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b \in Z, a * b \in Z

Soit deux nombres entiers relatifs "a" et "b" :

\forall a, b \in Z, abs(a * b) = abs(a) * abs(b), sign(a * n) = {" + " si sign(a) = sign(b), "-" sinon}

Ici, que la signe soit positif ou négatif ne change rien. De plus, "a * b" est un nombre entier naturel, donc "abs(a * b) = a * b".

\forall a, b \in Z, a * b = + (a * b) \lor a * b = -(a * b)

Dans les deux cas, le résultat est un nombre entier relatif. Donc, pour tout "a" et "b", "a * b" appartient aussi à "Z".

\forall a, b \in Z, a * b \in Z

1.3.1.1

Démontrons que, pour tous nombres entiers relatifs "a", "b" et "c" : "a * (b + c) = a * b + a * c" (et donc, que l'opération multiplication est distributive par rapport à l'addition dans les nombres entiers relatifs).

\forall a, b, c \in Z, a * (b + c) = a * b + a * c

Soit trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "c". Selon la définition de la multiplication :

\exists d \in N, d = abs(a * (b + c)) = abs(a) * abs(b + c)

\Leftrightarrow {d = abs(a) * (abs(b) + abs(c)) si sign(b) = sign(c), [d = abs(a) * (abs(b) - abs(c)) si abs(b) > abs(c), d = abs(a) * (abs(c) - abs(b)) sinon] sinon}

\exists e \in N, e = abs(a * b + a * c)

\Leftrightarrow {e = abs(a * b) + abs(a * c) = abs(a) * abs(b) + abs(a) * abs(c) si sign(a * b) = sign(a * c) \lor [e = abs(a * b) - abs(a * c) = abs(a) * abs(b) - abs(a) * abs(c) si abs(a) * abs(b) > abs(a) * abs(c), e = abs(a * c) - abs(a * b) = abs(a) * abs(b) - abs(a) * abs(c) sinon] sinon}

Selon le théorème 1.2.2.1 (la multiplication est distributive par rapport à l'addition dans "N") :

{e = abs(a) * abs(b) + abs(a) * abs(c) = abs(a) * (abs(b) + abs(c)) si sign(a * b) = sign(a * c) \lor [e = abs(a) * abs(b) - abs(a) * abs(c) = abs(a) * (abs(b) - abs(c)) si abs(a) * abs(b) > abs(a) * abs(c), e = abs(a) * abs(c) - abs(a) * abs(b) = abs(a) * (abs(c) - abs(b)) sinon] sinon}

Ici, "sign(a * b) = sign(a * c)" équivait à dire "sign(b) = sign(c)". En plus, "abs(a) * abs(b) supérieur à abs(a) * abs(c)" équivaut à dire "abs(b) supérieur à abs(c)". Donc :

{e = abs(a) * (abs(b) + abs(c)) si sign(b) = sign(c), [e = abs(a) * (abs(b) - abs(c)) si abs(b) > abs(c), e = abs(a) * (abs(c) - abs(b)) sinon] sinon}

\Leftrightarrow e = d

Ces deux formes ont la même valeur absolue. Prouvons qu'elles ont le même signe.

f = sign(a * (b + c)) = {" + " si sign(a) = sign(b + c), "-" sinon} = {"sign(b + c)" si sign(a) = " + ", "-sign(b + c)" sinon}

g = sign(a * b + a * c) = {"sign(b + c)" si sign(a) = " + ", "-sign(b + c)" sinon}

g = f

Ces deux formes ont le même signe, et la même valeur absolue. Donc, pour tous nombres entiers relatifs "a", "b" et "c" : "a * (b + c) = a * b + a * c".

\forall a, b, c \in Z, a * (b + c) = a * b + a * c

1.3.1.2

Prouvant que l'ordre de réalisation de plusieurs multiplication n'importe pas dans "Z" (et que la multiplication est associative dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b, c \in Z, (a * b) * c = a * (b * c)

Soit trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "c" :

\forall a, b, c \in Z, \exists d, e \in Z, d = (a * b) * c, e = a * (b * c)

Selon le théorème 1.2.2.2 (l'ordre de réalisation de plusieurs multiplication n'importe pas dans "N") :

abs(d) = abs(a * b) * abs(c) = (abs(a) * abs(b)) * abs(c) = abs(a) * (abs(b) * abs(c)) = abs(a) * abs(b * c) = abs(e)

Donc, les deux formes ont la même valeur absolue. Prouvons maintenant qu'elles ont le même signe, avec un raisonnement logique.

sign(d) = {" + " si sign(a * b) = sign(c), "-" sinon} = {" + " si {" + " si sign(a) = sign(b), "-" sinon} = sign(c), "-" sinon}

= {"sign(a)" si sign(b) = sign(c), "-sign(a)" sinon}

sign(e) = {" + " si sign(a) = sign(b * c), "-" sinon} = {" + " si sign(a) = {" + " si sign(b) = sign(c), "-" sinon}, "-" sinon}

= {"sign(a)" si sign(b) = sign(c), "-sign(a)" sinon}

Donc, "d" et "e" ont le même signe et la même valeur absolue. Ils sont donc égaux. Donc, l'ordre de réalisation de plusieurs multiplications n'importe pas dans "Z".

\forall a, b, c \in Z, (a * b) * c = a * (b * c)

1.3.1.3

Prouvant que l'ordre des opérandes autour d'une multiplication n'importe pas dans "Z" (et que la multiplication est commutative dans "Z", selon le chapitre 2).

\forall a, b \in Z, a * b = b * a

Soit trois nombres entiers relatifs "a", "b" :

\forall a, b \in Z, \exists c, d \in Z, c = abs(a * b) = abs(a) * abs(b), d = abs(b * a) = abs(b) * abs(a)

Selon le théorème 1.2.1.2 (l'ordre des opérandes autour d'une addition n'importe pas dans "N") :

c = abs(a) * abs(b) = abs(b) * abs(a) = abs(b * a) = d

Donc, ces deux formes ont la même valeur absolue. Prouvons qu'elles ont le même signe.

\exists e = sign(a * b) = {" + " si sign(a) = sign(b), "-" sinon}

\exists f = sign(b * a) = {" + " si sign(b) = sign(a), "-" sinon}

Selon les propriétés de l'égalité :

\exists e = sign(a * b) = {" + " si sign(a) = sign(b), "-" sinon} = {" + " si sign(b) = sign(a), "-" sinon} = f

Donc, ces deux formes ont le même signe et la même valeur absolue. Donc, l'ordre des opérandes autour d'une multiplication n'importe pas dans "Z".

\forall a, b, c \in Z, a * b = b * a

Les relations d'ordre

1.3.2.0

Prouvons que, dans l'ensemble des nombres entiers relatifs, la relation "supérieur ou égal" est une relation d'ordre. Si les deux nombres sont positifs, on applique une simple relation d'ordre "supérieur ou égal" dans "N" selon le théorème 1.2.4.0, et elle l'est donc aussi dans "Z".

\forall a, b \in Z, positif(a) \land positif(b) \Rightarrow [a \geq b \Leftrightarrow abs(a) \geq abs(b)]

Si les deux nombres sont négatifs, on applique une simple relation d'ordre "inférieur ou égal" dans "N" selon le théorème 1.2.4.0, et elle l'est donc aussi dans "Z".

\forall a, b \in Z, negatif(a) \land negatif(b) \Rightarrow [a \geq b \Leftrightarrow abs(a) \leq abs(b)]

Si le premier nombre est positif est le second est négatif, la relation donne toujours une proposition vraie.

\forall a, b \in Z, positif(a) \land negatif(b) \Rightarrow [a \geq b]

À l'inverse, si le premier nombre est négatif est le second est positif, la relation donne toujours une proposition fausse.

\forall a, b \in Z, negatif(a) \land positif(b) \Rightarrow \neg [a \geq b]

Dans ces deux cas, la réflexitivé et l'antisymétrie n'importent pas, car les valeurs ne pourront jamais être similaires. Or, la refléxivité est vérifié, en remplaçant "c" par l'élément de même signe que lui. Donc, cette partition de la relation permet d'obtenir une relation d'ordre sur "Z".

En modifiant stratégiquement les "supérieur ou égal" en "inférieur ou égal" et les "a" en "b", alors vous pouvez faire l'exact même démonstration avec la relation "inférieur ou égal".

1.3.2.1

Prouvons que, pour trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "c", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c". Si "a", "b" et "c" sont positifs, on applique une simple équivalence du "supérieur ou égal" dans "N" selon le théorème 1.2.4.2.

\forall a, b, c \in Z, positif(a) \land positif(b) \land positif(c) \Rightarrow [a \geq b \Leftrightarrow a + c \geq b + c]

Si "a", "b" et "c" sont négatifs, on applique une simple équivalence du "inférieur ou égal" dans "N" selon le théorème 1.2.4.2.

\forall a, b, c \in Z, negatif(a) \land negatif(b) \land negatif(c) \Rightarrow [a \geq b \Leftrightarrow -(abs(a)) \leq -(abs(b)) \Leftrightarrow -(abs(a) + abs(c)) \leq -(abs(b) + abs(c)) \Leftrightarrow a + c \geq b + c]

Si "a" et "b" sont positifs et "c" est négatifs, tout dépend de comment "c" se comporte par rapport à "a" et "b". Si la valeur absolue de "c" est inférieure ou égale à celle de "a" et celle de "b", alors on applique une simple équivalence du "inférieur ou égal" dans "N" selon le théorème 1.2.4.2, ici avec la soustraction.

\forall a, b, c \in Z, positif(a) \land positif(b) \land negatif(c) \Rightarrow [a \geq b \Leftrightarrow a - abs(c) \geq b - abs(c) \Leftrightarrow a + c \geq b + c]

Dans le cas où "c" est supérieur à "b" mais inférieur ou égal à "a", alors "b - c" devient négatif, et "a - c" reste positif. Selon la définition de la relation "supérieur ou égal", "a - c" reste supérieur ou égal à "b - c". Finalement, si "c" est supérieur à "a" et à "b", alors nous devons innover. Dans ce cas, "c" peut s'écrire comme la somme de "a" et d'un autre nombre entier naturel "d".

\exists d \in N, c = a + d

Donc, selon les résultats vues plus haut dans cette démonstration, nous pouvons soustraire "a" des deux côtés de la relation, car "a - a" vaut 0, qui est positif, et "b - a" devient négatif.

a > b \Leftrightarrow 0 > b - a

Dans ce cas, nous pouvons additionner les deux nombres par "-d", ce qui est équivalent, car dans ce cas, "0", "b - a" et "-d" serait négaitf (résultat aussi vue plus haut dans cette démonstration).

a > b \Leftrightarrow 0 > b - a \Leftrightarrow -d > (b - a) - d \Leftrightarrow -d > (b + (-a)) + (-d) \Leftrightarrow -d > b + (-a + -d) \Leftrightarrow -d > b + (-(a + d)) \Leftrightarrow a - c \Leftrightarrow b - c

Si "a" et "b" sont négatifs et "c" est positif, tout dépend de comment "c" se comporte par rapport à "a" et "b". Si la valeur absolue de "c" est inférieure ou égale à celle de "a" et celle de "b", alors on applique une simple équivalence du "inférieur ou égal" dans "N" selon le théorème 1.2.4.2, ici avec la soustraction.

\forall a, b, c \in Z, negatif(a) \land negatif(b) \land positif(c) \Rightarrow [a \geq b \Leftrightarrow -(abs(a)) \leq -(abs(b)) \Leftrightarrow -(abs(a) - abs(c)) \leq -(abs(b) - abs(c)) \Leftrightarrow a + c \geq b + c]

Dans le cas où la valeur absolue de "c" est supérieur à celle "b" mais inférieur ou égal à celle "a", alors "a + c" devient positif, et "b + c" reste négatif. Selon la définition de la relation "supérieur ou égal", "a + c" reste supérieur ou égal à "b + c". Finalement, si la valeur absolue "c" est supérieur à celle de "a" et celle de "b", alors nous devons innover. Dans ce cas, "c" peut s'écrire comme la somme de "a" et d'un autre nombre entier naturel "d".

\exists d \in N, c = abs(b) + d = (-b) + d

Donc, selon les résultats vues plus haut dans cette démonstration, nous pouvons soustraire "b" des deux côtés de la relation, car "b - b" vaut 0, qui est positif, et "a - b" devient positif.

a > b \Leftrightarrow a - b > 0

Dans ce cas, nous pouvons additionner les deux nombres par "d", ce qui est équivalent, car dans ce cas, "0", "a - b" et "d" serait positif (résultat aussi vue plus haut dans cette démonstration).

a > b \Leftrightarrow a - b > 0 \Leftrightarrow a + (-b) + d > d \Leftrightarrow a + c > b + (-b) + d \Leftrightarrow a + c \Leftrightarrow b + c

Si "a" est positif et "b" est négatif, nous pouvons utiliser une technique permettant d'éviter d'utiliser directement "c". Dans ce cas, nous pouvons soustraire "b" des deux côtés, ce qui ne change pas le signe de "a - b", qui reste positif, et "b - b" reste négatif (égal à 0) : la relation reste juste.

a > b \Leftrightarrow a - b > 0

Dans ce cas, nous pouvons nous ramener aux cas vue plus haut, avec deux nombres positif. Nous devons juste modifier un petit peu "c" (dans une nouvelle variable nommée "d"), en lui soustrayant la modification apportée, ici "a - b". Maintenant, plus qu'à utiliser "a", "b" et "d" dans la démonstration vue plus haut.

\exists d \in Z, d = c - (a - b)

Tous les cas sont démontrées : pour trois nombres entiers relatifs "a", "b" et "c", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c".

De plus, par définition de "inférieur ou égal", dire que "a est supérieur ou égal à b" équivaut à dire que "b est inférieur ou égal à a". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c". Or, dire que "a + c est supérieur ou égal à b + c" équivaut à dire que "b + c est inférieur ou égal à a + c". Donc, dire que "b est inférieur ou égal à a" équivaut à dire que "b + c est inférieur ou égal à a + c".

Dans la même idée, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut par définition à dire que "a est supérieur ou égal à b" et que "a n'est pas égal à b". Donc, dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que que "a + c est supérieur ou égal à b + c" et que "a n'est pas égal à b". Or, dire que que "a + c est supérieur ou égal à b + c" et que "a n'est pas égal à b" équivaut à dire que "a + c est strictement supérieur à b + c". Donc, "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "a + c est strictement supérieur à b + c".

Finalement, par définition de "strictement inférieur", dire que "a est strictement supérieur à b" équivaut à dire que "b est strictement inférieur à a". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "a + c est strictement supérieur à b + c". Or, dire que "a + c est strictement supérieur à b + c" équivaut à dire que "b + c est strictement inférieur à a + c". Donc, dire que "b est strictement inférieur à a" équivaut à dire que "b + c est strictement inférieur à a + c".