Le chapitre 1
Le raisonnement mathématique
Le coeur des mathématiques
Le concept de proposition et d'inférence
Cette partie aura pour tâche de rappeler les concepts vus au chapitre 0 de ce cours. Pour cela, nous avons besoin de la définition des mathématiques et de la logique, que nous ne rappellerons pas ici.
En mathématiques, les informations que l'on cherche a démontrer sont formulées dans ce qui est nommé une "proposition". En effet, une proposition logique est une information quelconque, possédant une valeur de vérité (elle est soit vraie, soit fausse). En réalité, cette définition peut s'appliquer à d'autres mots, qui représentent le même objet (tournée de manière plus ou moins similaire) : assertion, énoncé, question... Théoriquement, il est possible de considérer tout ce qui a une valeur de vérité comme une proposition.
En pratique, les propositions suivent une syntaxe assez précise, et assez claire. Pour rappel,
Cependant, utiliser l'égalité en logique est peut recommander. En effet, dans notre exemple, on dit que "P" est forcément égal à la proposition "je suis majeur". Or, imaginez la proposition "Q" égal à la phrase "je remplis toutes les conditions nécessaires pour être majeur". Dans les deux cas, vous êtes majeur, mais "P" ne s'écrit pas comme "Q". Si "P" ne s'écrit pas exactement comme "Q", alors "P" n'est pas égale à "Q". Or, elles ont le même sens, on peut donc se demander si il existe un symbole remplaçant l'égalité, mais n'agissant que sur le sens de la proposition. Ce symbôle existe : il s'agit du symbôle "équivaut"(que nous ré-étudierons plus tard), et qui s'écrit comme ceci :
Pour trouver correctement la valeur de vérité d'une proposition, il faut s'y prendre... correctement. La façon la plus utilisée est un procédé nommé l'inférence. Une inférence est une façon de démontrer logiquement une proposition (nommée "conclusion"), en s'appuyant sur d'autres propositions appelées "prémisses". Aussi effrayante que semble être cette définition, c'est en réalité très simple, et en voici un exemple (probablement le plus connu). Nous avons deux propositions de bases : "tous les hommes sont mortels" et "Socrate est un homme". Ici, une inférence consiste à dire que "Socrate est un homme, DONC il est mortel", aussi simple que ça. Socrate est utilisé dans l'exemple car il est l'une des grandes inspirations du concept (avec entre autres Aristote, Platon...). L'écriture mathématique actuelle (simplifiée) consiste en quelque chose comme ça :
Les théories mathématiques
Pour déduire des théorèmes, il faut (comme nous l'avons vu) des propositions "de départs" nommées des axiomes. Pour rappel, les axiomes sont des propositions théoriquement indémontrées (mais qui, en pratique, sont tout à fait """"logiques""""" / évidentes, en accord avec les autres sciences et ne nécessitent pas de démonstration) qui servent de bases à toutes les mathématiques. Cependant, il existe un moyen de créer une quantité "infinie" d'axiomes, en définissant un plan pour définir cette quantité infinie d'axiome : les schémas d'axiomes. Les schémas d'axiomes sont un moyen de définir un "plan" (ou un schéma) pour créer une quantité infinie d'axiome. Cependant, une question peut se poser : pourquoi n'est-il pas possible de formuler ces fameux "schéma" sous la forme d'un seul et unique axiome ? En fait, un axiome ne peut pas utiliser directement dans sa formulation l'ensemble des propositions déduites de cette théorie. Cependant, certaines théories nécessitent que des axiomes puissent utiliser toutes ces autres propositions, démontrées avec les autres axiomes: ce concept est là pour ça. Il est à noter que ce concept est extrêmemnt abstrait : nous en présenterons des exemples clairs dans quelques lignes.
Maintenant, faisons un rappel sur les théories en mathématiques. Pour rappel, une théorie axiomatique est un ensemble d'axiomes, permettant de déduire / démontrer énormément de propositions (incluses dans la théorie). Avant de parler de la théorie axiomatique la plus importante (que nous présenterons dans la suite de ce cours), présentons quelques propriétés importantes sur les théories axiomatiques. Déjà, une théorie axiomatique est dite cohérente (ou consistante) si elle ne contient pas de contradiction logique (une contradiction serait une proposition "A est vrai et A n'est pas vrai"). En logique classique, si "A" est vrai, alors il ne peut pas être faux (parfaitement évident, principe nommé "tiers exclu"). Cependant, si la théorie dit que "A" est vrai et fausse en même temps, elle est incohérente. En général, on ne croise jamais de théorie non-cohérente, car elles sont abandonnées à la premère incohérence trouvée.
Les différentes logiques possible
Maintenant que nous savons ce qu'est une proposition, et que nous savons déduire des propositions complexes de propositions plus simple, il ne nous reste plus qu'à savoir comment "déduire" des propositions, et donc comment utiliser des inférences. En effet, comme nous l'avons vu au chapitre 0 de ce cours, plusieurs écoles de philosophies des mathématiques existent pour "démontrer" un propos, et donc pour utiliser les inférences. Selon les auteurs (et leur "philosophie des mathématiques"), les inférences possibles entre plusieurs propriétés peuvent différer, et il est courant d'appeler les différents ensembles d'inférences possibles des "logiques différentes". Il est donc primordial de savoir avec quelle "logique" on va travailler dans la suite.
La logique des propositions / prédicats
La logique classique
Parmi toutes les "logiques" qui existent, une est assez intéressante pour comprendre comment les mathématiciens en sont arrivés là : la logique classique. Historiquement parlant, la logique classique est la première tentative de "parfaitement" formaliser la logique en mathématique au XIXème siècle. Cette logique apparaît au alentour des années 1880 grâce à un mec intelligent, et son livre "Begriffsschrift" ("L'idéographie" en français), bien que très vite rendu obsolète dans les années à venir. Dans les années 1890, le "prussien" (il est né en Prusse-Orientale) un mec intelligentpropose une logique améliorée, beaucoup plus proche de la logique actuelle.
En logique classique, dans un contexte donné, une proposition est soit vrai soit fausse (jamais les deux). En d'autres termes, la valeur de vérité d'une proposition peut se représenter avec seulement 1 information (vrai ou faux). Cependant, si le contexte change, la valeur de vérité de la proposition peut changer. Bien que le nombre de contexte est souvent incommensurable, la proposition est, dans chacun de ces contextes, soit vraie, soit fausse. Même si ce concept peut paraître assez évident en logique, dans des cas où une formule dépend d'autres formules, établir sa valeur de vérité en fonction de ses propositions constituantes peut-être un peu dur. Heureusement, comme, dans tous les cas, une proposition est soit vrai soit fausse, c'est aussi le cas pour n'importe quelle proposition, aussi complexe soit elle (et aussi pour ses composantes). Donc, pour une proposition quelconque composée de "n" propositions différentes, ces "n" propositions peuvent toutes être soit vrai, soit fausse, et selon leurs valeur de vérité, la proposition composée est, elle aussi, soit vrai, soit fausse. Or, il est possible de représenter intuitivement cela, grâce à ce que l'on appelle une table de vérité. Une table de vérité est un moyen de représenter les valeurs de vérités une proposition composée selon chaque valeur possibles de chacune de ses propositions composantes. Ce concept peut être très pratique pour illustrer (voir démontrer) comment une proposition complexe se comporte avec ses propositions composantes. Voici deux exemples : une où la proposition "C" est vraie si "A" et "B" le sont toutes les deux (et fausses sinon), et "F" est vrai si "A" est vraie seule ou si "B" est vraie seule (et pas les deux en même temps). Théoriquement, on peut définir des proposition avec encore plus de composantes, mais la table devient longue à écrire (nous le démontrerons plus tard, mais la table doit contenir "2 exposant n" lignes).
Travailler avec des propositions
Dans un certain sens, la "logique des propositions" est la version moderne de la "logique classique". En effet, la logique des propositions (aussi nommé "calcul des propositions") est une forme de logique étudiant les propositions et les relations entre les propositions. Cette forme de logique va nous permettre d'introduire une syntaxe très importante pour mieux comprendre la logique mathématique. Effectivement, la logique propositionnelle nous permet de lier / mettre en relation des propositions entre elles, pour faire des propositions plus complexes. Bien évidemment, elle introduit aussi la syntaxe nécessaire pour le faire.
Pour complexifier nos formules, nous allons les écrire avec des connecteurs logiques. Un connecteur logique est un moyen d'écrire une proposition complexe en coupant cette proposition en "sous-propositions", et d'analyser la proposition de départ en analysant ces sous-propositions. Je vais maintenant vous introduire aux deux connecteurs logiques les plus importants : "et" et "ou".
Je vais maintenant vous introduire aux deux connecteurs logiques les plus importants : "et" et "ou".
Le connecteur logique "et" permet de lier deux propositions en une proposition finale "P", qui n'est vrai QUE SI les deux propositions de bases ("proposition 1" ET "proposition 2") sont vraies (sinon, elle est fausse). Donnons un exemple : "je suis de nationalité française ET je suis majeur". Pour l'analyser, on peut découper cette proposition comme cela : "je suis de nationalité française" ET "je suis majeur". Dans ce cas, on peut analyser indépendamment ces deux propositions. Si les deux sont vraies, alors "je suis de nationalité française ET je suis majeur" l'est aussi. D'ailleurs, cette proposition représente la définition même d'être "citoyen français". Donc, "je suis citoyen français" est vrai si "je suis de nationalité française" ET "je suis majeur" le sont aussi. Cette exemple est assez simple, puisque la phrase de départ comporte le mot "et", cependant, il y a des cas où il faut une certaine analyse pour comprendre les propositions a tirer. D'ailleurs, une proposition qui s'écrit avec un "ET" est nommée une conjonction. Si une proposition "P" s'écrit "A et B" (avec A et B deux autres propositions quelconques), alors on peut écrire "P" sous cette forme, avec un symbôle "chapeau" (représentant le "et") :
En pratique, personne ne va vous insulter si vous écrivez "ET" à la place de ce chapeau. Sa table de vérité est :
Le connecteur logique "ou" permet de lier deux propositions en une proposition finale "P", qui n'est vrai QUE SI l'une des deux propositions de bases ("proposition 1" OU "proposition 2") est vraie, ou si les deux sont vraies (sinon, elle est fausse). Donnons un exemple : "je suis employé OU je suis patron". Pour l'analyser, on peut découper cette proposition comme cela : "je suis employé" OU "je suis patron". Comme dans notre exemple pour le "et", on peut analyser indépendamment ces deux propositions. Si l'une des deux est vraie (ou les deux sont vraies, ce qui est possible si vous êtes un auto-entrepreneur), alors "je suis employé OU je suis patron" l'est aussi. D'ailleurs, cette proposition représente la définition même d'être un "travailleur". Donc, "je suis travailleur" est vrai si "je suis employé", OU si "je suis patron", ou si je suis les deux. Encore une fois, cette exemple est assez simple, puisque la phrase de départ comporte le mot "et", cependant, il y a des cas où il faut une certaine analyse pour comprendre les propositions a tirer. D'ailleurs, une proposition qui s'écrit avec un "OU" est nommée une disjonction. Si une proposition "P" s'écrit "A ou B" (avec A et B deux autres propositions quelconques), alors on peut écrire "P" sous cette forme, avec un symbôle "chapeau" inversé (représentant le "ou") :
En pratique, comme avec le "et", personne ne va vous insulter si vous écrivez "OU" à la place de ce chapeau. D'ailleurs, demanière assez évidente, si "A et B" est vraie, alors "A ou B" est vraie (cependant, l'inverse n'est pas vraie : si "A ou B" est vraie, "A et B" ne l'est pas forcément). Sa table de vérité est :
Le principe du tiers-exclus et la négation logique
En logique classique, le "principe du tiers-exclus" est une forme d'axiome. En effet, le principe du tiers-exclu est un principe logique qui stipule que une proposition NE PEUT QU'ÊTRE vraie ou fausse, mais pas les deux en même temps. Il s'agit d'une loi logique extrêment (particulièrement) évidente : si A est vraie, alors A n'est pas fausse (wow).
Pour bien utiliser ce concept, il faut introduire un nouvel outil de langage : la négation logique d'une proposition. La négation d'une proposition A représente une autre proposition qui est égale à "A est fausse", aussi notée "pas A" ou "non A". Selon la logique que nous avons déjà vu : "A ou pas A". La négation de la proposition "A" s'écrit avec un petit symbôle :
Bien qu'elle ne soit pas très intéressante, on peut construire sa table de vérité :
Cependant, en observant cette table, on peut remarquer quelque chose d'intéressant : la table de vérité de "pas A" est la table de vérité de "A" où les V et les F ont été inversés. En fait, la négation d'une proposition quelconque a pour table de vérité la table de vérité de la proposition de départ où on inverse les V et les F (les parties vraies deviennent fausses, et les parties fausses deviennent vraies). Si on essaye de construire la table de vérité de "pas (pas P)", on remarque qu'elle est parfaitement similaire à celle de P : donc "pas (pas P)" est égal à "P". Démontrer une proposition en démontrant que sa négation est fausse (ou mène à une contradiction logique absurde) est une méthode de raisonnement nommée le raisonnement par l'absurde.
On peut donc chercher la négation du "ET" et du "OU" (démontrée juste ici) :
Avec quelques observations, on se rend compte que la négation de "A et B" est "(pas A et pas B) ou (A et pas B) ou (B et pas A)". La négation de "A ou B" est "pas (A et B)". Donc, si nous avons une proposition quelconque, on peut en déduire sa négation, et si nous démontrons la validité / fausseté de la négation, alors on obtient la fausseté / validité de la proposition de départ. Si la négation est plus simple à démontrer que la proposition de départ, alors cela peut être un bon moyen de gagner du temps.
L'implication et l'équivalence
Maintenant, je vais vous présenter deux autres connecteurs, qui, quand on les découvrent, peuvent paraître plus abstrait : l'implication et l'équivalence.
Le connecteur logique "implique" permet de lier deux propositions en une proposition finale "P", qui, si "A implique B" n'est vrai QUE SI la proposition A n'est vraie QUE QUAND la proposition B l'est aussi. À l'inverse des deux autres connecteurs, nous ne pouvons pas intervertir A et B. En général, en français, le connecteur logique "A implique B" se traduit par "si A alors B". Pour l'analyser, prenons un exemple très proche de l'exemple du "ET" : "si je suis citoyen français, je suis de nationalité française". Dans ce cas, on peut analyser indépendamment les propositions "je suis citoyen français" et "je suis de nationalité française". Bien évidemment, si vous êtes citoyen français, vous êtes de nationalité française : "je suis citoyen français" implique "je suis de nationalité française", et ceux dans tous les cas. Cependant, l'inverse ("je suis de nationalité française" implique "je suis citoyen français") est fausse : un mineur de nationalité française n'est pas un citoyen français. Dans le cas de propositions quelconques "A" et "B", si vous avez une proposition P "A implique B", alors la proposition "B implique A" (où l'on inverse le A et le B) est nommée la réciproque de P (comme nous l'avons expérimenté, elle n'a pas toujours la même valeur de vérité que P).
La table de vérité de l'implication est assez difficile à déduire. Essayons de la construire pour la proposition P stipulant "A implique B". Pour rappel, Le connecteur logique "implique" permet de lier deux propositions en une proposition finale "P", qui, si "A implique B" n'est vrai QUE SI la proposition A n'est vraie QUE QUAND la proposition B l'est aussi. Donc, si "A et B", alors P est vraie. Or, si "pas A et pas B", alors rien n'empêche P d'être vraie. Finalement, si "B et pas A" est vraie, c'est la même chose : rien n'empêche P d'être vraie. Cependant, si "A et pas B" est vraie, alors "A" est vraie quand "B" ne l'est pas : l'implication est fausse. D'ailleurs, la proposition "A et pas B" est la négation de l'implication.
L'implication se note avec une sorte de double flèche (ici, "A implique B") :
L'implication est au coeur d'une loi logique assez évidente, mais qui est une règle d'inférence primaire de la logique : le modus ponens. Le modus ponens est est une loi logique affirmant que si "A implique B" et "A" est vraie, alors "B" est vraie. Cependant, ce n'est pas la seule loi d'inférence commenceant par "modus" : on dénombre aussi le modus tollens. le modus ponens est est une loi logique affirmant que si "A implique B" et "A" est vraie, alors "B" est vraie. Historiquement parlant, ces lois font parties d'un ensemble de lois similaires, développés par les grecques dans leur étude de la logique.
Il existe un moyen de démontrer plus facilement une implication : la contraposée. La contraposée est un moyen de prouver une implication P "A implique B", en prouvant que "pas A implique pas B". En d'autres termes : si A est fausse, alors B est aussi fausse. Ce raisonnement peut être plus simple dans certains cas.
Nous avons vu l'implication dans le cas où nous ne connaissons pas le comportement de sa réciproque. Cependant, si une implication et sa réciproque sont vraies, nous avons un nouveau type de connecteur : l'équivalence. Le connecteur logique "équivaut" permet de lier deux propositions en une proposition finale "P", qui n'est vraie QUE SI les deux propositions de bases sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses (elles ont l'exact même valeur de vérité). Dans ce cas, sa table de vérité est exactement la même que celle de "(A implique B) ET (B implique A)". Réciproquement, d'une équivalence, on peut en déduire ces deux implications comme vraies. On peut en déduire que, dans une équivalence, l'ordre ne change pas ("A équivaut à B" est parfaitement... équivalent à "B équivaut à A"). D'ailleurs, démontrer "A équivaut à B" revient souvent à démontrer que "(A implique B) et (B implique A)". Un exemple assez simple est encore l'exemple du "ET" : comme nous l'avons prouvé, la proposition "être de nationalité française ET être majeur" est équivalente à la proposition "être citoyen français" (sauf si les institutions ne font pas leur travail, mais cela reste rare). Une propriété très intéressante : si deux propriétés sont équivalentes, alors remplacer l'une d'elle par l'autre ne change absolument pas les valeurs de vérités, et donc ne pose aucun problème logique.
L'équivalence se note comme l'implication, avec une flèches sur les deux bords :
Travailler avec les prédicats
Pour l'instant, nous nous sommes mis d'accord sur le fait que toute proposition est soit vraie, soit fausse, et pas les deux. Cependant, imaginez une proposition "le nombre n est pair". Sa véracité dpend entièrement du nombre "n", qui est une variable : elle peut donc être vraie ou fausse selon n, ce qui, au mieux, rentre en contradiction avec la définition de proposition, et au pire pose de gros problèmes de logique. Heureusement, pour travailler avec des variables dans des propositions, on peut utiliser un autre objet : un prédicat. Un prédicat est un schéma de proposition utilisant une variable externe, qui permet d'obtenir une proposition concrète (soit vraie soit fausse) selon la valeur précise de la variable. Dans ce cas, "le nombre n est pair" est un prédicat, qui est vrai si... n est pair (2, 4, 6...).
Cependant, il est possible de transformer un prédicat en une proposition, de manière assez simple. En effet, reprenons notre prédicat d'exemple : "le nombre n est pair". Vu comme ça, nous ne pouvons pas en tirer grand chose. Cependant, il existe un objet mathématique qui va nous permettre d'en obtenir une proposition : les quantificateurs. En logique mathématique, un quantificateur est un objet mathématique utilisable pour poser le contexte d'utilisation de la variable d'un prédicat (la transformant en proposition). En fait, avec un quantificateur, on transforme le prédicat en une proposition, en changeant la façon dont le prédicat doit interpréter la variable (de telle manière que le prédicat devient une proposition). D'un point de vu purement vocabulaire, la quantification (en logique mathématique) est l'action de quantifier un prédicat quelconque. Pour bien comprendre, il nous faut voir les deux quantificateurs principaux : le quantificateur universel et le quantificateur existentiel.
Le premier quantificateur utilisé est le quantificateur universel. Le quantificateur universel transforme un prédicat en une proposition vraie si TOUTES les propositions formulables avec ce prédicat sont vraie. En d'autres termes, si la proposition constitué d'un quantificateur universel d'une variable et un prédicat est vraie, alors toutes les propositions de ce prédicat seront vraie, quelle qu'elle soit. Généralement, pour une variable "x", ce quantificateur se traduit à l'écrit sous la forme "pour tout x", "tous les x"... Dans notre exemple, on peut formuler la proposition sous cette forme : "tous les nombres n sont pairs", une proposition qui est fausse. En effet, il existe des nombres entiers "n" qui ne sont pas pair (comme 3). Cependant, la proposition "tous les nombres n admettent un élément supérieur, noté n + 1" est vraie (testez avec tous les nombres "n" que vous voulez, il y aura toujours un nombre "n + 1"). Pour un prédicat "P(n)", la proposition "pour tout n, P(n)" s'écrit comme ça (avec un "A" verticalement inversé, représentant le quantificateur universel, venant du mot allemand "alle", voulant dire "tous") :
Ici, il manque juste la mention de "nombres", que nous introduirons plus tard. Sans cette mention, il est admis que la nature du "n" dépend du contexte de la formule.
Le deuxième quantificateur utilisé est le quantificateur existentiel. Le quantificateur existentiel transforme un prédicat en une proposition vraie si il existe AU MOINS UNE proposition vraie formulable avec ce prédicat. En d'autres termes, si la proposition constitué d'un quantificateur existentiel d'une variable et un prédicat est vraie, alors il existe une (ou plusieurs) proposition de ce prédicat vraie. Généralement, pour une variable "x", ce quantificateur se traduit à l'écrit sous la forme "il existe un x tel que". Dans notre exemple, on peut formuler la proposition sous cette forme : "il existe un nombre n pair", une proposition qui est vraie. En effet, il existe au moins un (et même, une infinité) nombre entier "n" qui est pair : 2. Cependant, la proposition "il existe un nombre n admettant une partie décimale non nulle" est fausse (de manière assez évident, aucun nombre entier ne s'écrit avec des nombres après la virgule). Pour un prédicat "P(n)", la proposition "il existe un n tel que P(n)" s'écrit comme ça (avec un "E" horizontalement inversé, représentant le quantificateur existentiel) :
Même problème que pour le quantificateur universal : il manque la mention de "nombres", que nous introduirons aussi plus tard. Comme pour avant, sans cette mention, il est admis que la nature du "n" dépend du contexte de la formule.
Comme nous l'avons évoqué, il est possible de formuler la négation de propositions construites avec un quantificateur. Dans le cas du quantificateur universel, une proposition utilisant le quantificateur universel pour une variable "n" est fausse si il existe un (ou plusieurs) "n" quelconque donnant une proposition fausse. Donc :
Dans le cas du quantificateur existentiel, une proposition utilisant le quantificateur existentiel pour une variable "n" est fausse si TOUS les "n" donnent une proposition fausse. Donc :
La théorie des ensembles
La théorie centrale des mathématiques
La théorie des ensembles "ZFC"
Maintenant que nous avons les bases de la logique, nous pouvons aborder notre première théorie mathématique importante : la théorie des ensembles "ZFC". La théorie des ensembles est une théorie mathématique développé à la fin du XIXème siècle, pour être utilisée comme socle des mathématiques. Son principal fondateur est le mathématicien allemand un mec intelligent, qui l'a proposé dans une suite d'articles mathématiques entre 1874 et 1900. L'idée semblait être complexe : unir toutes les mathématiques (nombres, géométries, fonctions...) sous une seule théorie. Même si, historiquement, cette théorie a mis beaucoup de temps à se faire accepter, elle a finalement réussi sa mission : presque toutes les mathématiques modernes en dépend.
Ici, un ensemble est un objet mathématique qui peut "contenir" d'autres objets (on dit que ces objets appartiennent à l'ensemble). Une façon intéressante d'en représenter un peut être la suivante (ici, l'ensemble des nombres impairs entre 0 et 10) :
Il existe un symbôle précis pour indiquer qu'on objet "a" appartient à un ensemble "S" :
D'ailleurs, "l'objet "a" appartient à l'ensemble "S"" est une proposition, dont la véricaté dépend de... beaucoup de choses (généralement dépendant du contexte précis de "a" ou "S"). Ce symbôle permet de faire quelque chose de très intéressant : on peut utiliser ce symbôle dans un quantificateur logique, pour spécifier qu'on objet que l'on quantifie appartient à un certain ensemble. Nous pouvons donc répondre à la question de tout à l'heure "comment spécifier que notre proposition "pour tout n, P(n)" ne fonctionne qu'avec des nombres" : on a juste à rajouter ce symbôle (on admet pour l'instant que "N" est l'ensemble des nombres entiers naturels) :
La première version de la théorie proposée par Cantor n'était pas très bien axiomatisée. Une version plus solide apparaîtra entre les années 1908 et 1920 : la théorie des ensembles "ZFC". La théorie des ensemble "ZFC" (pour Zemerlo - Fraenkel - choix) est une version axiomatisée et cohérente (pour l'instant) de la théorie des ensembles de Cantor. Comme son nom l'indique, elle a été développée par 2 mathématiciens majoritairement : un mec intelligentet un mec intelligent. Le suffixe "choix" représente un axiome précis, que l'on peut ignorer (dans ce cas, on parle de théorie des ensembles "ZF"). Présentons les axiomes de cette théorie.
Le premier axiome est l'axiome d'extensionnalité. L'axiome d'extensionnalité dit que si deux ensembles possèdent exactement les mêmes éléments, alors ils sont égaux. Dans le cas d'ensembles normaux, l'ordre des éléments n'importe pas. De manière illustré, l'axiome confirme cette égalité :
Cet axiome permet d'introduire une première manière de définir un ensemble : la définition par extension. Un ensemble est dit "défini par extension" quand il est défini par une égalité avec un ensemble dont les éléments sont explicitement indiqués. Ce nom vient du fait que c'est l'axiome d'extension qui permet d'attribuer les éléments voulus à l'ensemble. Voici quelques exemples de définitions par extension :
De manière purement mathématique, l'axiome peut s'énoncer de plusieurs manières équivalentes. La première n'utilise que des équivalences, et la deuxième découpe la première équivalence en deux implications (généralement plus utilisé dans les démonstrations). Pour une traduction mathématique - français, lisez "pour tout ensemble A et B, A et B sont égaux si (et seulement si) tous les éléments de B sont des éléments de A, et tous les éléments de A sont des éléments de B".
Le deuxième axiome est l'axiome de l'ensemble vide. L'axiome de l'ensemble vide est un axiome garantissant l'existence d'un ensemble vide dans la théorie. Comme son nom l'indique : l'ensemble vide est un ensemble ne contenant aucun élément. Par définition, la proposition "l'élément "e" appartient à l'ensemble vide" est toujours fausse. Selon l'axiome d'extensionnalité, on en déduit qu'il n'y en a qu'un seul (démontré ici). En réalité, certains auteurs négligent cet axiome, car il peut être déduit grâce à des théorèmes beaucoup (mais alors, vraiment beaucoup) plus complexes. Cet ensemble se note ainsi :
De manière purement mathématique, cet axiome est assez simple à énoncer. Pour une traduction mathématique - français, lisez "il existe un ensemble noté [symbôle de l'ensemble vide] tel que, pour tout "x", "x" n'appartient pas à [symbôle de l'ensemble vide]".