L'arithmétique

Qu'est ce qu'est l'arithmétique ?

La définition algébrique

L'arithmétique représente l'étude des nombres en mathématiques. En arithmétique, les nombres sont retranchés dans plusieurs ensembles différents, sous forme hiérarchique.

Les ensembles dénombrables

Les nombres naturels et relatifs

L'ensemble de nombre le plus intuitif est l'ensemble des nombres naturels. L'ensemble des nombres naturels représente tous les nombres qui peuvent représenter dans la réalité une quantité entière. Par exemple, si nous voulons compter le nombre d'un certain objet dans un système, les nombres naturels sont largement suffisants.

Bien évidemment, l'écriture d'un nombre entier naturel se fait par l'assemblage de chiffres. En général, les chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Quand on arrive au nombre après 9, alors on rajoute un "1" avant, et un "0" après : le nombre suivant "9" est "10". Ce même 0 deviendra un 9, qui demandera en suite d'ajouter 1 au nombre d'avant, pour devenir un "2" suivi d'un "0" : le nombre suivant "19" est "20".

Les entiers naturels sont très bien axiomatisés. En effet, pour définir les entiers naturels, il existe une axiomatisation particulièrement simple : les axiomes de Peano. Le premier axiome admet l'existence du premier élément des entiers naturels : 0. Le deuxième axiome admet que tout nombre naturel possède un successeur (dans le cas de 0, le successeur est 1). Le troisième axiome dit que 0 ne peut pas être un successeur d'un autre nombre. Le quatrième définit deux entiers naturels ayant le même successeur comme égaux. Finalement, le dernier axiome décrit l'ensemble (de manière ensembliste) des entiers naturels comme un ensemble ayant 0, et le successeurs de 0 et les successeurs de tous les autres successeurs. Avec cette axiome, nous pouvons créer une algèbre des nombres entiers naturels, comme un groupe contenant une opération de composition interne d'addition. L'axiome 3 garanti que 0 est l'élément neutre du groupe des entiers naturels. Grâce à l'axiome 2 et 4, nous pouvons définir l'addition dans le groupe des entiers naturels : a + b représente la valeur obtenue après être passé de successeur en successeur b fois, en partant de a. C'est une reformulation de la définition intuitive de l'addition.

Les nombres rationnels

Un ensemble abordé dés l'entré au collège est l'ensemble des nombres rationnels. Un nombre rationnel représente l'ensemble de nombres pouvant s'écrire comme une division d'un nombre relatif "a" et d'un nombre naturel positif "b", sous la forme de ce que l'on appelle une fraction. Ici, "a" est nommé le numérateur, et "b" est nommé le dénominateur. Si "b" est égal à 1, alors la fraction est aussi un nombre entier naturel. Cependant, si "b" peut s'exprimer sous la forme d'une puissance de 10, alors le nombre est dit décimal, et il est possible de l'écrire comme un nombre avec virgule, et avec une quantité finie de caractères nécessaires. Si ce n'est pas possible, alors une propriété basique des fractions assurent que, au bout d'un moment, leur écriture devient périodique : elle se répète indéfiniment via la même suite de chiffres.

Les fractions sont soumise à une algèbre assez connue et intuitive. L'addition de deux fractions représente une fraction de numérateur la somme du dénominateur de la première fraction multiplié par le numérateur de la deuxième fraction et du dénominateur de la deuxième fraction multiplié par le dénominateur de la deuxième fraction, et de dénominateur le produit des deux dénominateur. Elle permet de donner à la structure algèbrique des fractions munie de l'addition la propriété d'être un groupe abélien. De plus, la multiplication de deux fractions représente une fraction de numérateur le produit des numérateurs des deux fonctions, et de dénominateur le produit des dénominateurs des deux fonctions. Elle permet de donner à la structure algèbrique des fractions munie de l'addition et de la multiplication la propriété d'être un corps commutatif. Avec des mots plus simples : toutes les techniques opératoires basiques (de collège / lycée) sont applicables aux fonctions. De plus, l'addition et la multiplication nécessite les propriétés calculatoires... des nombres naturels / relatifs, rendant le calcul très simple. Toutes les opérations en dépendant respectent les mêmes propriétés découlantes. Une relation d'égalité est bel est bien définie : deux nombre rationnels sont égaux si le produit du numérateur du premier par le dénominateur du second est égal au produit du numérateur du second par le dénominateur du premier. Cela implique quelque chose d'assez étrange : deux nombre rationnels peuvent être égaux même si ils n'ont pas le même numérateur / dénominateur. En effet, le quotient de deux nombres peut être le même que celui de deux nombres différents (comme 4/2 = 8/4). Ici, la fraction la plus simple représente celle qui est la plus proche de 0, et où aucune simplification n'est possible : on parle de fraction irréductible. L'irréductibilité de deux fractions implique que le numérateur et le dénominateur soient premiers entre eux.

L'obtension de la forme décimale d'un nombre rationnel depuis la fraction est une étape assez intéressante dans leur étude. En effet, si la fraction peut être écrite avec, comme dénominateur, une puissance de la base souhaitée (via une multiplication), alors on peut décomposer le numérateur sous la forme de la somme de produit d'une partie du nombre (après multiplication) et d'une puissance de la base souhaitée. En suite, vous devez adapter l'écriture à la puissance choisie en dénominateur, pour obtenir le développement nécessaire. C'est la façon la plus simple et intuitive de faire. Dans le cas de la base 10, alors on obtient le développement précis du nombre décimal. Si ce n'est pas possible, alors une autre méthode est de multiplier le nombre par une puissance de la base, et d'effectuer des divisions euclidiennes pour obtenir un développement décimal, jusqu'à trouver une forme périodique.

La division de nombres entiers

Multiples et division euclidienne

En arithmétique de nombres naturels, la division est une opération assez peut utiliser, puisque le résultat qu'elle retourne n'est pas toujours un nombre naturel. Par exemple, 4 divisé par 3 est 1.333..., qui n'est pas un nombre naturel. Il est préférable d'inverser les rôles, en parlant de multiples. En effet, un nombre a est multiple d'un autre nombre b si a représente b multiplié par un nombre entier quelconque c, donc a = b * c. Dans ce cas, la division de a par b est entière, est b est un diviseur de a. Cependant, dans certains cas, a n'est pas un multiple de b. Donc, a représente la multiplication de b d'un nombre entier quelconque, auquelle on additione un autre nombre entier d. Dans ce cas, nous obtenons a = b * c + r : cette opération représente la division euclidienne de a par b, avec c nommé le quotient de la division et r nommé le reste de la division. Pour que cette opération soit simple, nous prenons le c le plus grand possible, et le r le plus petit possible. De plus, r doit être inférieur à b, car un r égal ou supérieur à b implique qu'il est possible d'additionner 1 à c, qui n'est donc pas le plus grand possible.

Modulos et congruences

Pour deux nombres entiers quelconques b et a, leur division euclidienne donne un certain reste r. Cependant, pour d'autres entiers quelconques c et a, leur division euclidienne peut donner le même reste r. Si deux nombres b et c (différents) ont le même reste pour une division par a (supérieure à 0), alors b et c sont dit congrus modulo a. Cela implique une autre propriétés similaires : leur différence est divise par a. En effet :

Les restes de nombres crées par une congruence modulo n sont liés par une relation d'équivalence. Venons en au fait : la somme de deux nombres a et b entiers congrus à c et d modulo n est congru à la somme de c et d. De plus, le produit de deux nombres a et b entiers congrus à c et d modulo n est congru au produit de c et d. En toute logique, l'exposant possède la même propriété. La démonstration est assez simple.

Plus grand commun diviseur

En arithmétique, deux nombres entiers naturels ont au moins 2 diviseurs, dont 1 pour les deux : 1 est un diviseur commun de tous les nombres entiers naturels. Cependant, deux nombres peuvent avoir d'autres diviseurs en commun : le plus grand de ces diviseurs communs est nommé le plus grand commun diviseur, ou PGCD. Pour trouver ce diviseur, il existe un algorithme assez pratique : l'algorithme d'Euclide. L'idée est de trouver le reste de la division euclidienne ces deux nombres, et de continuer la recherche en remplaçant le plus grand des deux nombres par le reste. On s'arrête quand le reste est égal à 0 : le dernier reste est le plus grand commun diviseur des deux nombres. En toute logique, pour chaque étape de l'algorithme, on peut écrire le reste comme une combinaison linéaire des deux nombres. Donc, à la prochaine étape, on peut écrire le prochain reste comme une combinaison linéaire du petit nombre et du reste (et donc une combinaison linéaire plus complexe), mais parfaitement fonctionnel. Cela sera aussi le cas pour le dernier reste : le PGCD. Donc, le PGCD de deux nombres a et b peut s'écrire avec une combinaison linéaire des nombres de départ : cela s'appelle l'identité de Bézout.

Ce théorème peut être très pratique dans certains cas spéciaux. Mais, avant, il faut savoir que certains nombres n'ont que 1 comme diviseur commun. Deux nombres entiers naturels n'ayant que 1 comme diviseur commun sont dits premiers entre eux. Donc, leur PGCD est de 1. Donc, pour a et b deux nombres entiers naturels premiers entre eux, leur identité de Bézout vaut 1 : leur existence est justifiée par le théorème de Bézout.

Cette définition permet quelque chose de très pratique : multiplié des 2 côtés par un nombre entier x permet de trouver une combinaison linéaire de a et b valant x. Ce théorème permet d'en démontrer un autre assez utile : le lemme de Gauss. En effet, le lemme de Gauss dit que si deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux et que a divise b * c, alors a divise c. La démonstration est assez simple : PGCD(a, b) = 1 et a = b * c, donc a divise ac (logique) et bc, mais aussi PGCD(ac, bc) selon le théorème de Bézout (propriété des combinaisons linéaires), qui est c : a divise c. Grâce à ce lemme, on peut en déduire un autre beaucoup plus ancien : le lemme d'Euclide (proposition 32 du livre 7 des éléments d'Euclide). Le lemme d'Euclide stipule qui si un nombre entier a divise le produit de deux nombres entiers b et c, alors a divise b ou c (version moins générale du lemme de Gauss). Ces deux théorèmes provoquent une conséquence très importante : les nombres premiers ne peuvent jamais être un produit, et donc a n'existe pas : ils sont irréductibles. Les autres ne le sont pas, et ont peut leur appliquer le lemme de Gauss pour obtenir des b et c soit premiers (et donc irréductibles), soit non-premiers, auquel on peut réitérer l'expérience. À la fin, on aura toujours des produits de nombres premiers, et donc irréductibles. Donc, un nombre peut toujours s'écrire comme le produit de nombres premiers : c'est le théorème fondamental de l'arithmétique.