L'analyse

Qu'est ce qu'est l'analyse ?

Le concept de fonction

Les fonctions représentent un moyen de lier un objet mathématique (appelé ici antécédent, ou variables) avec une transformation de ce dernier, et d'étudier l'objet transformé (appelée image). Tous les objets transformables de la fonction sont définis dans un ensemble, nommé ensemble de définition. En général, cet ensemble est composé de nombres, mais il est aussi possible qu'une fonction puisse prendre n'importe quelle autre type de valeur. De plus, une fonction peut prendre 1 seul antécédent, ou plusieurs antécédents. De même manière, une fonction peut transformer ses antécédents en 1 ou plusieurs images. L'ensemble de toutes les valeurs obtensibles via une fonction est nommé l'ensemble d'arrivée de la fonction.

Comme tout objets mathématiques, elle a un nom, et tout un système de notation dédié pour les utiliser. Par exemple, définissons une fonction "f" prenant un antécédent "x" défini sur l'ensemble "E". Une image "i" de "f" pour un certain "x" s'écrit :

f(x) = i

Cependant, quand on connait la fonction, le plus utile est d'indiquer la transformation qu'effectue "f" pour "x", appelée l'expression de la fonction :

f(x) = 3 * x + 2

Visualiser les fonctions

Pour visualiser une fonction, la manière la plus simple et connue de faire est le graphe de fonction. En analyse, un graphe de fonction est une représentation des valeurs de la fonction (généralement facilement représentable sous forme graphique), en liant chaque endroit où la fonction est définie avec sa valeur via cette fonction. On rencontre aussi souvent ce concept sous le nom de "représentation graphique de fonction". D'un point de vu géométrique, ce graphe est un ensemble de point, formant donc une forme géométrique. Bien évidemment, le cas le plus connue est celui pour les fonctions réelles à valeur réelles.

Bien évidemment, nous avons besoin d'un plan sur lequel tracer la fonction. Cependant, dans des cas de fonctions plus complexes (comme des fonctions sur $R^{2}$ ), un plan ne suffit pas. En toute logique, il faudrait représenter ça sur un plan, sur lequel on rajoute en relief les valeurs de chaque point (et donc, dans un espace 3D). En effet, un graphe de fonction se dessine sur le produit cartésien de l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivé. Par exemple une fonction complexe donnant en résultat un complexe nécessite... 4 dimensions pour être représenté (bien que certaines techniques permettent de remplacer la 4ème avec une couleur, ou de ne représenter que la valeur réelle / imaginaire / argument / module...).

Les espaces fonctionnels

Entre deux ensembles, on peut catégoriser l'ensemble des applications possibles entre les deux. En effet, un espace fonctionnel est un ensemble d'applications (et donc, de fonctions) entre deux ensembles X et Y. Bien que cet espace peut représenter toutes les fonctions possibles, on peut aussi ne spécifier qu'un certains type de fonctions (fonctions linéaires, fonction continue...).

Les limites mathématiques

Utiliser l'infini en mathématiques

Qu'est ce qu'est une limite mathématique ?

En mathématiques, le concept de limite est un moyen de parler d'analyser l'infini. En effet, une limite mathématique est un outil / un opérateur permettant d'approximer une "infinité de fois" une valeur. Dans le cas d'une suite, une limite de suite est la valeur vers laquelle on se rapproche si on prend des valeurs "toujours plus proches de l'infini". Dans le cas d'une fonction, une limite de fonction en une valeur "v" est la valeur vers laquelle on se rapproche si on prend des valeurs "toujours plus proches de v". Bien évidemment, la définition dans le cas de la suite est aussi utilisable avec les fonctions (vers + l'infini ou - l'infini). En théorie, ce n'est pas possible "d'approximer une infinité de fois". En pratique, ce n'est pas grave. Effectivement, dans le cas d'une fonction, l'idée est de pouvoir dire que "plus on se rapproche de la valeur voulue, plus la valeur obtenue est proche de celle de la limite".

Cependant, cette définition dépend beaucoup de ce que l'on veut dire / comment on fait pour "approximer une infinité de fois".

La continuité mathématique

Le concept de limite permet d'introduire à un autre concept : la continuité mathématique. En mathématiques, la continuité mathématique représente un concept suggérant la possibilité de se rapprocher indéfiniment d'une valeur dans un espace, quelque soit la façon dont vous faites. Prenons l'exemple le plus simple : les fonction mathématiques. En effet, une fonction mathématique est continue en une valeur "a" si il existe une limite vers "a". Ce concept permet de justifier que nous pouvons nous rapprocher indéfiniment d'une valeur, pour utiliser divers outils (impliquant des limites) sur cette fonction à cette valeur.

Ce concept permet aussi l'introduction à la topologie.

L'intégration de fonctions

Une opération de calcul infinitésimal

La défintion, via un graphique

Pour une fonction continue prenant un inconnu, on peut tracer sa représentation sur un graphique. Dans ce même graphique, l'aire entre la droite des abscisses et la courbe tracé par la fonction "f" entre deux absisse "a" et "b" est nommée "intégrale de f entre a et b". Pour obtenir cette aire, on peut définir "n" rectangles entre la courbe et la droite des abscisses, et obtenir une approximation de l'aire avec la somme de l'aire de ces rectangles.

Le théorème fondamental de l'analyse

Le théorème fondamental de l'analyse, démontré par (entre autre) Isaac Newton, affirme que l'intégrale d'une fonction peut s'obtenir avec sa primitive. En réalité, l'intégrale de la fonction "f" entre "a" et "b" est une fonction primitive de "f" (idéalement, s'annulant en "a") à la valeur "b", auquelle on enlève une valeur constante (qui dépend de la primitive utilisée). Cette constante est dû au fait que une fonction a une infinité de primitives, avec une seule correspondant exactement à son intégrale (et les autres devant être corrigés par une valeur constante). Donc, cela équivaut à dire que l'intégrale de la fonction "f" entre "a" et "b" est la différence entre la primitive généralisée de "f" pour b et la primitive généralisée de "f" pour a.

F(x) = f(t)dt

D'un point de vue "épistémologique", ce théorème est parfaitement logique. En effet, le nombre dérivé d'une valeur de fonction est la variation infinitésimal de la fonction à cette valeur. Pour rappel, une variation infinitésimal de la fonction de départ fait... varier la fonction de départ. En toute logique, l'obstention d'une fonction par sa dérivée se fait en appliquant toutes les valeurs de la dérivée en tant que variation infinitésimale de la fonction. Donc, la primitive d'une fonction en "x" représente la somme infinitésimale de toutes les valeurs précédentes de "x" dans la fonction, interprétées comme variations de la primitive. On peut représenter ces valeurs infinitésimals comme l'aire précise sous cette valeur de la fonction (de largeur infinitésimale). Donc, la primitive d'une fonction représente la somme de toutes ces aires, et donc l'intégrale (aire sous la courbe) de la fonction.

Ce théorème permet de démontrer rigoureusement pleins de propriétés (en réalité, assez triviales). Par exemple, les intégrales peuvent se calculer avec la relation de Chasles.

∫ x_{y} f(t)dt + ∫ y_{z} f(t)dt = ∫ x_{z} f(t)dt

Il est aussi possible de découper des intégrales pour calculer ces parties dans des intégrales différentes (et plus simple). Ce concept s'appelle l'intégration par partie.

∫ x_{y} u(t)*v'(t)dt = [u(t)*v(t)] x_{y} - ∫ x_{y} u'(t)*v(t)dt

La fonction exponentielle

Introduction historique

Les tables de logarithmes

L'introduction historique est particulièrement pratique dans l'étude des logarithmes. Entre le XIIIème et le XVIIème siècle, l'astronomie se développe, et les calculs associés aussi. Pour des observations précises, un haut degré de précision est nécessaire, et les mathématiciens vont redoubler d'efforts pour obtenir cette précision plus efficacement, mais aussi plus vite. Pour cela, dans le cas de la simplification des multiplications, l'outil nécessaire, déjà observé à de multiples reprises par, entre autres, ou , est la suite géométrique. En effet, selon eux, on peut trouver une correspondance particulièrement pratique entre les indices et les valeurs de la suite à ces indices.

Cette propriété seule ne sert pas à grand chose. En effet, la réalisation d'un calcul, par exemple 21448 * 24147, implique que vous devez chercher ces nombres dans la suite (bonne chance pour trouver ça dans la suite " $u_{n}$ "). Il est à noter que le deuxième exemple ci-dessus est "tiré" du mathématicien dans des travaux datant de entre 1605 et 1620. Cependant, l'idée qui va tout changer à l'arrivée du mathématicien . Pour la présenter, rappelons que la formule pour obtenir la valeur d'une suite géométrique à l'indice "n" est $u_{n} = u_{0} * r^{n}$ . Cette règle est bien évidemment vérifier dans tous les cas au dessus. Neper va répondre à une question essentielle : peut-on calculer le cas où "n" n'est pas un nombre naturel, et trouver une réponse extraordinaire : oui, même avec uniquement des tables de logarithmes. Pour cela, il faut remarquer quelque chose : dans le deuxième exemple, on peut observer que 1,00001 (la raison de la suite) exposant 20 fait monter la première valeur de la suite de 20001. En faisant une division entre $u_{0}$ et $u_{20}$ , on se rend compte que la première valeur a été multiplié par 1,0002 pour arriver à la 20ème : 1,00001 exposant 20 vaut environ 1,0002(1,000200019 pour être précis, mais résultat trop précis pour l'époque). Il est à noter que les premières valeurs des suites des tables de l'époques étaient énormes, pour faciliter les calculs et ne pas se perdre avec des valeurs décimales. Pour des raisons de compréhensions (et de modernité), prenons une suite plus simple.

Comme on l'a vue, selon la méthode vu plus haut, on comprend que 1,001 exposant 3 vaut environ 1,03003. En continuant se raisonnement, on peut atteindre / encadrer n'importe quel chiffre, comme 15, entre 2709 et 2710, et 7, entre 1946 et 1947. Maintenant, utilisons l'argument de Neper, pour trouver les valeurs du logarithme base 15, tel que 15 exposant "b" vale ce que bon nous semble. Imagineons la distance D entre 0 (premier indice de la suite) et 2710 (la valeur valant environ 15). Prenons deux points : "A" et "B" voyageant sur cette distance, et partant du début de la suite (à la valeur 0). Dans ce contexte, "A" va nous permettre d'atteindre une valeur "c" choisit à l'avance, disons 7, et donc de savoir à quel "b" la valeur 15 exposant "b" vaut "c" (et donc 7). Ici, "B" a une vitesse constante, de disons une fois D par seconde, soit de 2710 unités. Or, pendant ce temps là (une seconde), disons que "A" aura voyager jusqu'à la valeur valant "c" dans notre distance, soit 1947 unités. On peut commencer à obtenir un ratio de la vitesse à laquelle la suite de raison "1,001" atteint "c" / 7 par rapport à 15, soit $\frac{1947}{2710} = 0,718$ environ. Reformulons ce calcul, en utilisant les propriétés extrêmement basiques de l'exposant naturel.

15 ≅ u_{2710} = {1,001}^{2710}

7 ≅ u_{1947} = {1,001}^{1947}

7 ≅ {1,001}^{1947} = {1,001}^{2710 * (1947 / 2710)} = 15^{(1947 / 2710)}

Qu'est ce qu'est la fonction exponentielle ?

La définition brute

En analyse fonctionelle réelle, la fonction exponentielle est une fonction n'ayant qu'une seule dérivée : elle même. Cette fonction est assez facilement déductible avec des équations différentielles. En gros, en cherchant une valeur commune aux tengantes de cette fonction, on remarque que cette fonction, n'ayant qu'une seule dérivée (elle même), est un nombre élevé à la puissance x. Ce nombre est appelé nombre exponentiel, est appelé "e" (ou nombre d'Euler), et vaut approximativement 2,71828. Elle est continue et dérivable sur R. Donc, pour tout x appartenant à R :

exp(x) = e^{x} | exp'(x) = exp(x) = e^{x}

Cependant, le nom "fonction exponentielle" peut aussi désigner des fonctions similaires, mais pas exactement égales à la fonction que nous venons de voir. En effet, une fonction exponentielle peut être n'importe qu'elle fonction suivant cette forme:

exp(x) = {ae}^{bx}

Les logarithmes

La fonction réciproque de la fonction exponentielle est nommée la fonction logarithme. Elle permet de faire le lien entre la valeur d'une puissance et la puissance utilisé. D'un point de vu mathématique :

exp(log(x)) = e^{log(x)} = x

Grâce aux propriétés de l'exponentiel, on peut généraliser pour n'importe quelle valeur.