L'algèbre

Qu'est ce qu'est l'algèbre ?

La définition pure

L'algèbre représente la branche des mathématiques étudiant les règles (opérations, équations, interprétations...)d'une certaine catégorie d'objets. L'algèbre la plus connue est l'arithmétique : l'algèbre des nombres (aussi nommée algèbre classique) L'ensemble de règles d'un objet se joignent dans un objet nommé une structure algébrique.

Les structures algébriques

Une structure algébrique est un moyen de définir ces règles (avec, bien évidemment, des axiomes), permettant une certaine cohérence entre chaque structures. Selon l'objet étudier, une structure peut être munie de certains règles / opérations bien connues et définies, comme l'addition, la multiplication... Les opérations sont aussi nommées "lois de compositions internes" dans ce contexte là. De même, une loi de composition interne peut aussi obéir à certaines propriétés (plus technique), comme l'associativité, la commutativité... Ici, une loi est associative si x # (y # z) = (x # y) # z, avec # l'opérateur permettant l'application de cette règle. Une loi est commutative si x # y = y # z, avec # l'opérateur permettant l'application de cette règle. Par exemple, dans l'algèbre classique, l'addition obéit à ces deux principes, mais pas la division (vous pouvez le tester en essayant un calcul vite fait). Selon le nombre de lois et leurs propriétés, la structure peut appartenir à une certaine famille de structures algébriques.

Les polynômes

En algèbre, un polynôme est une forme d'expression représentant une somme de puissances d'une variable, multiplié par une autre valeur.

4 * x^{3} + 2 * x^{2} + 3 * x + 5

Les structures algébriques

Axiomatiser les opérations mathématiques

La définition pure

Pour bénéficier d'une rigueur absolue lors de l'utilisation de nombres, les ensembles de nombres ne sont pas suffisants pour faire de l'arithmétique. En effet, il vous faut aussi préciser les opérations possibles sur ces nombres. Pour faire cela, il faut lier les opérations possibles avec l'ensemble concerné, avec ce que l'on appelle une structure algébrique.

Les lois de compositions

Parmi ces mêmes opérations, certaines peuvent être appliquer à deux opérandes similaires (par exemple, pour un nombre a, alors "a + a" est définie) : ce genre d'opérations sont nommées lois de composition interne. Les opérations de ce type les plus connues sont l'addition et la multiplication. En plus, ces mêmes opérations peuvent nécessiter des relations précises entre les opérandes. Une opération est dite associative si l'ordre d'opération lors de l'introduction d'un 3ème élément n'importe pas (quelque soit l'ordre et les éléments).

∀ a, b, c ∈ E, (a . b) . c = a . (b . c) = a . b . c

Dans la même idée, une opération est dite commutative si l'ordre d'opération des deux opérandes n'importe pas(quelque soit l'ordre et les éléments). Ce n'est, par exemple, pas le cas de la division (3 / 2 n'est pas 2 / 3).

∀ a, b ∈ E, a . b = b . a

Si, dans une équation, il existe un moyen de simplifier les deux membres en elevant l'opération, l'opération est dite régulière. Par exemple, l'addition l'est : il est possible de simplifier des membres d'équations en y appliquant une soustraction. Pour une quelconque opération, un élément (si il existe) qui ne modifie pas l'autre opérande de l'opération est dit neutre. Pour l'addition de nombres, il s'agit du nombre 0, et pour la multiplication de nombres, il s'agit du nombre 1.

∀ a ∈ E, a . n = a

Via un élément, vous pouvez retrouver l'élément neutre d'une loi de composition interne A avec un élément E : cet élément s'appelle le symétrique de E par A. Dans le cas de l'addition, cet élément est nommé l'opposé de E. Dans le cas de la multiplication, cet élément est nommé l'inverse de E. Via ces éléments, vous pouvez définir de nouvelles lois de compositions (internes ou externes selon le contexte). En effet, l'addition d'un élément F avec l'opposé d'un autre élément G est nommée la soustraction de F par G. De plus, la multiplication d'un élément F avec l'inverse d'un autre élément G est nommée la division de F par G.

Il est à noter que la fonction inverse est souvent connue comme la fonction "f(x)=1/x", formant deux courbes précises. Or, cette forme n'est valable que pour l'ensemble des nombres réels, elle est différente dans d'autres algèbres.

Les types de structures algébriques

Les magmas, monoïdes et groupes

En algèbre, un magma est une structure algébrique avec une loi de composition interne quelconque. Dans un magma, la loi de composition peur avoir (ou ne pas avoir) n'importe quelle propriété. On peut rendre cette notion plus précise. En effet, un magma où la loi de composition interne est associative et admet un élément neutre est appelé un monoïde. Par exemple, la structure algébrique constituée de l'ensemble des nombres entiers naturels et de la loi d'addition est un monoïde (il obéit aux propriétés nécessaires). Finalement, un monoïde admettant pour chacun de ses éléments un autre éléments symétrique (donnant le neutre de l'opération par cette opérande) par sa loi de composition interne est nommé un groupe. Par exemple, la structure algébrique constituée de l'ensemble des nombres entiers relatifs et de la loi d'addition est un groupe (l'élement symétrique de "a" est "-a"). De même, la structure algébrique constituée de l'ensemble des nombres entiers relatifs et de la loi de multiplication est un groupe (l'élement symétrique de "a" est "1/a"). Si la loi de composition interne est commutative, le groupe est dit abélien.

La théorie étudiant ces structures est nommée la théorie des groupes. L'idée même de cette théorie est de définir une base très stable pour toutes les structures de groupe, très communes en mathématiques.

Les équations

Les équations en mathématiques

Une relation précise

En mathématiques pures, une équation représente une relation entre deux objets mathématiques. Cette relation est en général une égalité, mais aussi une comparaison de plus grand / plus petit, de congruence... Dans cette équation, il y a en général des objets qui peuvent prendre n'importe quelle valeur, nommées des variables / inconnues. La variable la plus utilisée est "x", bien qu'elle peut techniquement prendre tous les noms existants ("y", "t", "var"...). Si l'équation représente seulement un multiple d'une inconnue égale à une valeur quelconque, l'équation (et toutes ses équivalences) est dite linéaire. Cependant, seulement certaines valeurs rendent la relation définie par l'équation juste, ces valeurs sont nommées des solutions. L'étape consistant à trouver les solutions d'une équation est nommée la résolution de l'équation. À l'inverse, une équation où toutes les valeurs possibles des variables sont vraies est nommée une identité. Une équation s'écrit en général comme ça :

42 * x + 7 = 32

Pour résoudre une équation, l'idée est de la transformer en une équation équivalente, jusqu'à isoler les inconnues pour en obtenir leurs valeurs. Deux équations sont dites équivalentes si elles partagent le même ensemble de solutions. Pour cela, pas mal de techniques sont possibles. Par exemple, effectuer la même opération sur les deux membres de l'équation donne une nouvelle équation légèrement différent, mais parfaitement équivalente à la première.

42 * x + 7 = 32

⇔ 42 * x = 25

⇔ x = \frac{25}{42}

Pour généraliser les résolutions d'équations numériques, le plus simple est de ramener un des membres à 0. Dans le cas d'équations linéaires, cela ne sert pas à grand chose. Par contre, quand l'équation se complique, alors la ramener à 0 peut être très utile. Le cas le plus connu est le cas des équations contenant des polynômes, nommées équations polymoniales. Dans le cas d'équations de degrés 2, un très simple algorithme de calcul existe. Dans le cas d'équations de degrés 3 ou 4, des algorithmes un peu plus complexe existent. Dans les autres cas, des algorithmes existent pour estimer les solutions, comme l'algorithme de Newton, mais il n'existe pas de moyen général pour les trouver (démontré par le théorème d'Abel).

Le lien fonction - équation

Il est possible de faire assez facilement un lien entre équation et fonction. En effet, résoudre une équation consiste à trouver toutes les valeurs où une fonction définie comme le membre de gauche est égale à une fonction définie comme le membre de droite. Cela à l'avantage de nous donner un moyen graphique de résoudre une équation.

∀ x ∈ R, f(x) = 42 * x + 7, g(x) = 32

42 * x + 7 = 32 ⇔ 42 * x - 25 = 0

⇔ f(x) = g(x) ⇔ h(x) = 0

Dans certains cas, la fonction à gauche et la fonction à droite peuvent être la même fonction, mais admettant un paramètre différent. Si la fonction est injective (chaque valeur de son ensemble de définition admet une unique image différente de toutes les autres images), alors on peut enlever la fonction des deux côtes de l'équation.

∀ a ∈ R, f(a) = 5 * a + 3

f(45 * x) = f(32)

⇔ 45 * x = 32 ⇔ x = \frac{32}{45}

Les systèmes d'équations

Dans certains cas, il est possible qu'un problème quelconque nécessite que plusieurs équations différentes soit résolues pour obtenir la solution. Pour cela, nous pouvons étudier un ensemble d'équations, nommé un système d'équations. En général, ce genre de système est utilisé si plusieurs variables différentes sont nécessaires dans les équations (comme x et y). C'est le cas de certaines équations nécessitant des vecteurs.

Les différents types d'équations

Les équations fonctionnelles

Algébriquement, il est possible de définir une équation ayant des fonctions comme inconnues : ce sont des équations fonctionelles.

Des fois, nous cherchons une relation entre une fonction et sa dérivée (ou une forme ressemblant à sa dérivée) : ces équations sont dites différentielles. En général, les équations étudiées, (dites différentielles d'ordre un), ont cette forme :

∃a, b, f∈R vers R, f' - a * f = b ⇔f' = a * f + b

Ce genre d'équations sont assez simple à résoudre, grâce à la fonction exponentielle (sa dérivée étant elle même). En effet :

∀r∈ {R, f = r * e}^{a * x} - \frac{b}{a}

Comme "r" peut être n'importe quel nombre, il y a une infinité de valeur possibles. Si b est égal à 0, l'équation est dite homogène. Dans certains cas, la valeur "y" pour un certain "x" de cette fonction peut être connue. Donc pour résoudre l'équation, il faut prendre la valeur pour ce "x", ce qui donne a * f = b - 1.

Les équations carthésiennes

Les polynômes

Une forme d'expression mathématique

Les polynômes formels

Le terme de "polynôme formel" est confondu avec le terme de "polynôme" vu au lycée. En mathématiques, un polynôme formel est une forme mathématique, s'écrivant comme la somme de produit d'une puissance d'un inconnu avec un nombre quelconque.

P = a_{0} + a_{1} x^{1} + a_{2} x^{2} + ... + a_{1n} x^{n}

Algébriquement, les éléments "a" peuvent être n'importe quoi défini dans un anneau. L'ensemble des polynômes possibles sur un anneau "A" est noté "A[x]" : il s'agit lui aussi d'un anneau (plus précisément, "A" est un sous-anneau de "A[x]"). On peut aussi définir un polynôme avec une série mathématique, surtout si ce dernier a un développement infini. La valeur de l'exposant "n" maximal de ce polynôme est nommé le degré du polynôme. Un polynôme de degré 1 est nommé un monôme, et un polynôme de degré 0 est constant.

Si l'expression d'une fonction se note comme un polynôme, la fonction est dite polynomiale. La fonction forme une courbe, comportant autant d'extremums que son degré auquel on soustrait 1. Grâce à ça, on peut appliquer tous les outils des fonctions sur une forme polymoniale.

Les racines d'un polynôme

En algèbre, une équation constituée d'un polynôme "P" tel que "P(x) = 0" est nommée une équation polynomiale. L'intérêt de ces équations est la facilité que représente le fait de passer d'une équation quelconque à une équation polymoniale. Les valeurs de "x" rendant cette équation vraie sont nommées les racines du polynome "P". Il est à noter qu'un polynôme ne peut avoir au maximum que le même nombre de racines que sont degré, qui peuveut se situer dans un corps supérieur.

Ce concept est décrit par deux théorèmes, généralement appelés "théorème fondamentaux de l'algèbre des polynômes". Le premier est le théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme complexe et non-constant de degré "n" compte "n" racines. Ce théorème implique pleins de choses très pratique en algèbre. Le deuxième est le théorème de d'Abel : il est impossible de trouver directement les racines d'un polynôme de degré 5 (ou plus) via une formule directe. Cela est possible pour un degré 1 (simple résolution d'équation avec un quotient), pour un degré 2 (discriminant et formules basique), pour un degré 3 (méthodes de Cardan entre autres) et même pour un degré 4 (méthode de Ferrari).

Les opérations sur les polynômes

La division

Il est possible de défnir une division euclidienne dans un anneau de polynômes. En effet, pour deux polynômes "X" et "Y", il existe (au moins) deux autres polynômes "Z" et "W" tel que "X = ZY + W".

Les matrices

Qu'est ce qu'est une matrice ?

La définition précise

Les matrices représentent un moyen d'effectuer des opérations sur plusieurs nombres en même temps. Elles sont beaucoup utilisées en algèbres linéaires. Une matrice représentent un ensemble structuré de plusieurs nombres, représentable comme une sorte de tableau. Elle est définie par le nombre de dimension qu'elle contient, ainsi que la taille de chacune de ses dimensions. Ici, une dimension représente une "colonne dans l'espace" de nombres, similaire à la notion de dimensions en géometrie. Donc, une matrice à deux dimensions représente un tableau de nombres. Les plus utilisées sont les matrices à deux dimensions.

4 -8 -2 -5 38

L'algèbre des matrices

L'algèbre des matrices forment une extension de l'algèbre de l'objet qu'elles couvrent. Si l'objet couvert le permet, la structure algébrique des matrices est un groupe abélien (ou groupe commutatif). En d'autres termes, il existe une opération (loi de composition interne) représentant une addition de matrices. Cette même opération contient un élément nul (qui ne modifiera pas le calcul) : la matrice nulle (une matrice remplie de l'élément nul de l'algèbre de l'objet contenu dans la matrice). Bien évidemment, il est possible de définir pleins d'autres opérations (lois de composition externe) grâce à ces vecteurs. Par exemple, il est possible de multiplier une matrice par un objet, si cet objet est multipliable avec les objets contenus dans la matrice. Il est aussi possible de multiplier deux matrices entre elles, dans ce que l'on appelle le produit matriciel.

4 -8 -5 3 + 23 -1 4 = 6 -5 -6 7, 3 * 23 -1 4 = 69 -3 12

Les matrices ont beaucoup d'utilités en mathématiques. Elles permettent de définir des vecteurs (avec des matrices à 1 dimension, de la même taille que le nombre de dimension de l'espace vectoriel). Il est possible de définir plusieurs types de matrices permettant d'effectuer des opérations facilement sur ces vecteurs, comme des applications linéaires. Un exemple assez simple représente les matrices rotations, permettant d'effectuer une rotation sur un vecteur. Elles permettent aussi de résoudre plusieurs types d'équations linéaires.

Les séries

Étudier des suites mathématiques

Qu'est ce qu'est une suite ?

En mathématiques, une suite est une fonction définie sur l'ensemble des nombres entiers naturels. Le résultat de cette fonction peut être n'importe quoi : nombre entier, nombre réel...

∀ n ∈ N, s(n) = x

L'utilité d'une suite est de définir un objet de forme abstraite, représentable dans pleins de situations réelles. En général, un ensemble dénombrable peut être représenté comme une suite, plus ou moins facile à représenter. Via ces formes, nous pouvons en trouver des propriétés / formules très génériques, simples, et applicables dans pleins de cas différents. Nous pouvons par exemple trouver la somme des éléments d'une suite directement, selon la forme que prend la suite. Il existe beaucoup de suites précises et célèbres : suite de Fibonacci, suite de Conway...

Selon la façon dont est définie cette suite, on peut l'étudier plus efficacement grâce à des formules très générales. Si la suite nécessite qu'un premier élément soit défini de base pour connaitre les autres, la suite est dite définie par récurrence. Dans ce genre de suite, les termes suivants sont obstensibles via les termes précédents. Parmi ces suites, les suites où l'on peut savoir quel sera le prochain élément de la suite via une simple multiplication avec un facteur constant (nommé raison de la suite) de l'élément précédent est nommée une suite géométrique. Ce nom vient du fait qu'un terme (qui n'est pas le premier) est la moyenne géométrique du terme le précédant et du terme le suivant. Cependant, si l'opération nécessaire pour obtenir le prochain terme de la suite est une addition, alors on parle de suite arithmétique. Le nom vient encore du fait qu'un terme (qui n'est pas le premier) est la moyenne, ici arithmétique, du terme le précédant et du terme le suivant. Il est aussi possible de lier les deux (où la raison est une multiplication et une addition, et donc un terme affine) avec les suites arithmético-géométriques. Toutes les formules de ces suites sont énumérées dans un tableau en dessous.

Les séries mathématiques

Qu'est ce qu'est une série mathématique ?

Il est possible d'obtenir la somme de termes d'une suite. Or, le terme de "somme" est trop léger si nous voulons obtenir la somme de tous les termes d'une suite (une infinité de terme). En fait, une série mathématique représente une somme d'une infinité de terme. Un exemple très simple est la série permettant d'écrire le nombre "21748". En effet, on peut l'écrire sous la forme d'une série de nombre, représentant la valeur de chaque parties du nombre (unité, décimal, centaine...), multipliée par l'exposant de 10 correspondant. Dans cette somme, nous avons donc une infinité de "0", avant la virgule, et après le 2. De cette manière, nous pouvons aussi écrire le nombre "pi", avec toutes les décimales déjà connues jusque ici, ou même n'importe quel nombre réel calculable.

La série peut donner vers une valeur précise, comme devenir chaotique. Si, plus on avance dans le calcul de la série, plus on se rapproche d'une valeur précise, la suite est dite convergente vers cette valeur précise. À l'inverse, elle est dite divergente.

Selon la suite sur lesquelles elles sont construites, on peut y définir différentes propriétés précises. Si la suite utilisée est géométrique, alors la série est dite géométrique, et nous pouvons démontrer la valeur vers laquelle elle converge (ou si elle ne converge pas) grâce à la formule de la somme d'une suite géométrique, doublée de la notion de limite. Théoriquement, c'est aussi possible pour une suite arithmétique, mais dans ce cas, la suite diverge obligatoirement.

Les séries connues

Le nombre "e" est obstensible facilement via une série. En effet, prenons le polynôme P, et cherchons un polynôme tel que sa dérivée soit... P. En fait, P représente un polynôme formel sous forme d'une suite, défini comme ça :

P = Somme \frac{x}{n!}

En fait, ce polynôme représente la fonction exponentielle. Remplacez "x" par 1, et vous obtenez "exp(1)", soit "e". Ici, le calcul représente une somme infinie, et donc une série.